数学中的分析法与综合法

做任何事情都要讲究方法.古往今来,人们十分重视方法论的研究,力图运用正确的方法来认识世界和改造世界,中学数学教学,要进一步提高教学质量,必须熟悉和灵活运用数学中的科学方法,其中分析与综合是中学数学中最常用的科学方法,在数学教学中,它有各种不同的表现形式,既是研究数学概念的方法,又是解答数学问题证明数学定理的方法.笔者就这两种方法作一阐述.

分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把完整的过程分解到各个阶段,并加以研究的思维方法.在数学中,分析就是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法.例如,为了求多边形的面积,我们可以把多边形分解为若干个三角形,分别进行研究,又如,对于列方程解应用题这一完整过程,可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察,在数学解题中,分析是首先且大量要用到的一种思维方法,因为对于求知的整体事物,要使学生深刻地认识它、理解它,首先就得恰当地分解它、简化它.具体地说,分析法是从数学题的特征结论或要求出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.

例1:如图,P是O外一点,PQ切O于Q,PAB和PCD是割线,∠PAC=∠BAD.求证:PQ■=PA■+AC·AD.

证法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB

要证:PQ■=PA■+AC·AD

只需证:PA·PB= PA■+AC·AD

即证AC·AD= PA■-PA·PB

即AC·AD= PA(PA-PB)

又因PA-PB=AB

只需证AC·AD=PA·AB

即AC/PA=AB/AD

这就将问题转化为证明PAC与ABD相似.

连接BD,因∠PAC是圆内接四边形ABCD的一个外角,故∠PCA=∠ABD.

又∠PAC=∠BAD,故PAC∽DAB,由此命题得证.

综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各个要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法,在数学中综合就是从原因推导到由原因产生的结果的一种思维方法.例如,把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察,对有理数就能有一个完整的认识;把有理数和无理数联结起来研究,则对实数就可以有更深刻的理解.综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起,而是着重于找出其互相联系的规律性.具体地说,综合法是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.

例2:已知a , b ,c, d为正实数,且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求证:a=b=c=d.

证明:(综合法)

由 a■+b■+c■+d■=4abcd

得 a■+b■+c■+d■- 4abcd=0

从而转化成 (a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0

即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0

易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0

又a,b,c,d为正数

故有a=b, c=d,ab=cd

即a=b=c=d.

分析和综合是最基本最常用的思维方法,也是其它各种思维方法的基础,但它们相辅相成、对立统一的,没有分析,就没有综合.分析是综合的基础,首先分析,而后综合,在综合时仍需分析.人的认识就是循着分析—综合—再分析—再综合的辩证过程,一步一步加深对客观事物的认识.数学的教学过程,实质上就是对数学材料不断地进行分析和综合的过程,只有加强分析才能使学生学得深入透彻,不致于囫囵吞枣、一知半解;只有注重综合,才能使学生学得完整系统,不致于断章取义、以偏概全.