初中实数运算问题的一些技巧

摘 要: 针对初中数学中考及各类竞赛,本文作者提出了多年教学经验中积累下来的有关实数计算的各种教学经验,并以例子讲解的方式供读者参考。

关键词: 初中数学 实数运算问题 技巧

实数是整个初中,甚至整个中学数学的基础,搞好实数这一部分的教学有着极其重要的意义,本文通过下述关于实数的具体问题的演练给出多年教学经验积累下来的解题技巧。

例1:(2002年全国竞赛题)若S=,则S的整数部分是。

解:分母M=++…+含22项。

M>且M

例2:求不定方程(+x)(+y)=的有理数解。

解:方程可变形为(xy+2)+(x+y-1)=0……(*),因为x,y为有理数,所以xy+2,x+y-1为有理数,故(*)等价于xy+2=0x+y-1=0,所以x=2y=-1或x=-1y=2即为所求的有理数解。

例3:3个有理数a,b,c两两不等,那么,,中有个负数。

解:因为••=1故,,中必有一个正数,不妨设>0则有两种情况:(1)当a>b>c时,,均为负数。(2)当a

例4:设a,b,c,d都是实数,若|a+b|=4,|c+d|=2,且|a-c+b-d|=c-a+d-b,求a+b+c+d的最大值。

解:由已知|a-c+b-d|=c-a+d-b=-(a-c+b-d)知a-c+b-d≤0,即a+b2=|c+d|,所以a+b=-4,c+d=2或c+d=-2,所以a+b+c+d=-4±2=-6或-2。所以,当c+d=2时,a+b+c+d的最大值为-2。

例5:一个四位数乘以4后为它的反序数(数码相同而次序相反的自然数),求这个四位数。

解:设此四位数为据题意:×4=,因为

例6:若P=-,Q=-,R=-,那么P,Q,R的大小关系为( )。

A.P>Q>R B.P

解:设a=1998,则P=-=,Q=-=,R=-=,显然P=R

故选D。

例7:计算:++ +…+。

解:====2(-),

原式=2(-)+2(-)+…+2(-)=2(-)=。

例8:计算:1+2+3+…+(n-1)+n。

解:设S=1+2+3+…+(n-1)+n。

S=n+(n-1)+(n-2)+…+1,

2S=n(n+1),S=。

例9:计算:1++++…+。

解:设S=1++++…+(1),

则2S=2+1++++…+(2),

(2)-(1)得S=2-。

例10:当1≤x≤2时,化简根式-的结果是( )。

A.0 B.2C.2 D.-2

解:-=-=-=(+1)-(1-)=2,故选C。

例11:设x,y,a都是实数,并且满足|x|=1-a,|y|=(1-a)(a-a-1),试求|x|+y+a+1。

解:|x|≥0,|y|≥0,

1-a≥0(1-a)(a-a-1)≥0,即1-a≥0(1-a)(a-a+1)≤0。

又a-a+1=(a-)+>0,

原不等式等价于1-a≥01-a≤0,

a=1,从而|x|=|y|=0,x=y=0,

|x|+y+a+1=2。

例13:求证:任何有理数的平方都不等于2。

证明:假设有理数(p,q是互质的整数,p≠0)满足()=2,则有p=2q,从而p是2的倍数,为偶数。p也为偶数,设p=2k,则4k=2q,即2k=q,从而q也为偶数,这与p,q互质矛盾,故假设不成立,所以任何有理数的平方都不等于2。

例14:设x,y,z为实数,A=x-2y+,B=y-2z+,C=z-2x+,证明:A,B,C中至少有一个为正数。

证明:由题设得:

A+B+C=(x-2y+)+(y-2z+)(z-2x+)

=(x-2x+1)+(y-2y+1)+(z-2z+1)+(π-3)

=(x-1)+(y-1)+(z-1)+(π-3)>0,

A,B,C中至少有一个为正数。

例15:关于x的方程kx-(k-1)x+1=0有有理数根,求整数k的值。

解:(1)当k=0时,x=-1,方程有有理根。

(2)当k≠0时,方程有有理根,=(k-1)-4k=k-6k+1必为完全平方数,不妨设k-6k+1=m(m为非负整数),

(k-3)-m=8,即(k-3+m)(k-3-m)=8,又(k-3+m)与(k-3-m)奇偶性相同,且k-3+m≥k-3-m,从而有k-3+m=4k-3-m=2或k-3+m=-2k-3-m=-4,解得k=6或k=0(舍去)。

综合(1),(2)可知,方程kx-(k-1)x+1=0有有理数根,整数k的值为0或6。

参考文献:

[1]黄东坡.数学培优竞赛新帮手[M].武汉:湖北辞书出版社,2007.

[2]盛磊,范丽,何晓.奥林匹克竞赛辅导•数学[M].延吉:延边人民出版社,2008.

[3]项昭义,陈斌,周春荔.全国奥林匹克初三竞赛教材(数学)[M].北京:京华出版社,2008.

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