例析不求反函数解析式的几个策略

摘 要: 反函数是函数中最基本的概念,在历年的高考中常以客观题形式考查。本文根据近年来的高考试题,谈谈不求反函数解析式的几个策略。

关键词: 求解 反函数 问题 策略

对于一些求解反函数问题,只要充分理解反函数的概念,弄清原函数和反函数的定义域、值域之间的关系,了解互为反函数的图像间的关系,运用反函数等价式,则可不必求出反函数的解析式也能迅速获解。

一、利用原函数与反函数的定义域值域正好相反策略

例1:(2009年陕西卷理3文3)函数f(x)=(x≥4)的反函数为()。

A.f(x)=x+2(x≥0)B.f(x)=x+2(x≥2)

C.f(x)=x+4(x≥0)D.f(x)=x+4(x≥2)

【解析】由x≥4,得≥2,所以原函数的定义域为[4,+∞),值域为[2,+∞),则反函数的定义域为[2,+∞),值域为[4,+∞)。通过观察四个选项,知答案为D。

例2:(2008年天津卷文3)函数y=1+(0≤x≤4)的反函数是( )。

A.y=(x-1)(1≤x≤3) B.y=(x-1)(0≤x≤4)

C.y=x-1(1≤x≤3)D.y=x-1(0≤x≤4)

【解析】当时0≤x≤4时,1+∈[1,3],反函数的定义域为[1,3],排除B、D,值域为[0,4]排除C,选A。

点评:利用互为反函数的两个函数的定义域、值域间的互换关系解题,可化繁为简,快速准确。

二、利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称策略

例3:(2009年湖北卷文2)函数y=(x∈R,且x≠-)的反函数是( )。

A.y=(x∈R,且x≠)

B.y=(x∈R,且x≠-)

C.y=(x∈R,且x≠1)

D.y=(x∈R,且x≠-1)

【解析】由点(0,1)在原函数的图像上,所以点(1,0)在反函数的图像上,排除A、B、C,从而选D。

例4:(2006年重庆卷文10)设P(3,1)为二次函数f(x)=ax-2ax+b(x≥1)的图像与其反函数y=f(x)的图像的一个交点,则( )。

A.a=,b= B.a=,b=-

C.a=-,b=D.a=-,b=-

【解析】P(3,1)为二次函数f(x)=ax-2ax+b(x≥1)上的点得1=9a-6a+b。①

又P(3,1)为反函数上的点,则P(1,3)在原函数上,?圯3=a-2a+b。②

联立①②解得a=-,b=。

点评:若函数y=f(x)的图像经过点(a,b),则它的反函数y=f(x)的图像必过点(b,a),反之也成立。利用这一结论,可避繁就简,轻松解题。

三、利用原函数与反函数的等价式f(a)=b?圳f(b)=a策略

例5:(2009年重庆卷文12)记f(x)=log(x+1)的反函数为y=f(x),则方程f(x)=8的解x=。

【解析】因为f(x)=8,所以x=f(8)=log(8+1)=2。

例6:(2007年江西卷文15)已知函数y=f(x)存在反函数y=f(x),若函数y=f(1+x)的图像经过点(3,1),则函数y=f(x)的图像必经过点。

【解析】若函数y=f(1+x)的图像经过点(3,1),则有1=f(3+1)?圯f(4)=1?圯f(1)=4。所以函数y=f(x)的图像必经过点(1,4)。

点评:设函数f(x)的反函数为f(x),则f(a)=b?圳f(b)=a。本题巧妙利用这一结论,回避了求反函数f(x),解法简捷明快。

参考文献:

[1]薛金星.中学教材全解•高一数学(上).陕西人民教育出版社,2008.

[2]任志鸿.赢在课堂•高一数学(上).西苑出版社,2009.

[3]薛金星.2009年全国及各省市高考试题全解.人民日报出版社,2009.

[4]2009年高考数学试题分类解析(二)――函数.中国数学教育(高中版),2009,(7-8).