如何让初中生更好地理解有理数与无理数

【摘 要】《数与代数》中的实数的概念在小学与初中的数学知识中起着承上启下的作用，是学生步入中学数学进行抽象化学习的重要一步。因此，通过本文，希望能帮助一些初中学生更好地理解有理数与无理数的区别。

【关键词】有理数 分数 循环小数 无理数

【中图分类号】O121 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）09-0130-01

在《数与代数》一章中，学生首先接触到“实数”这一概念，在学习这一小节中，经常遇到“下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？”这样的题目，对中学生来说显得有些吃力，但这一类的小题目又不会在升学考试中碰到，因此不够引起学生和老师的重视，本人希望通过下面几个问题让初中学生更好地理解有理数与无理数的区别。

一 有理数与循环小数

首先，有理数的定义是：（正整数、零、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数），整数和分数统称为有理数（整数不再赘述）。

在《高等数学》中，是这样规定有理数的：

全体有理数的集合记做Q，即Q={ |p∈Z，q∈N+且p

与q互质}。

从这一定义可以看出：首先分数线上下的两个数p、q都

为整数，并且p与q互质即没有公约数，例如 、 当q=1，

q为任意整数时， 即为任意整数。可见，在中学数学规定

有理数即整数和分数就更条理化了。

有时还会碰到这样的问题： 要等于 无限循环小数，因

此大家又规定无限循环小数也属于有理数，如 ，在计算器上，

可将1除以17，从而得到0.05882352941176470588235294117 647……即以“0588235294117647”为循环节的无限循环小数。

等号两边是否相等，取决于左边要等于右边，同时，右边也

要等于左边。在 中，通过计算器首先将2除以3得到了 ，

即左边等于右边。如何证明 是否等于 呢？请看下面例题：

例题：将无限循环小数 化为分数。

解析： =0.12+0.0012+0.000012……，易判断此数列表示一个无穷等比数列的各项和，而此数列首相a1=0.12，公比

q=0.01，则 =0.12+0.0012+0.000012+……= 。

使用数列求和公式方法是将无限循环小数化为分数的常

用方法，同样的 也可以通过例题中的方法得到 。有人将

其总结成为一个数学小技巧：设 是个分数， 的循环节为6，把6设为这个分数的分子；在分母上给出与循环节的

位数相同的9的个数即分母为一个9，就是 。所以可将 化

为 这个分数，约分可得 。

这样，就可以证明出右边等于左边了。所以无限循环小数一定可以写成分数，则无限循环小数是有理数。显然，所有的分数都可以写成无限循环小数，而那些能化为无限循环小数的分数都是有理数。

所有分数都是有理数，有限小数或无限循环小数可以互化分数。因此，所有有限小数或无限循环小数都是有理数。有理数包括循环小数。

二 无理数与无限不循环小数

无限不循环小数不能通过上面的方法得到分数。项武义教授说：“无理数本该叫作‘非比数’，即无理数无法用分数表达。”单从字面上理解，学生们总会觉得无理数应该就是“无理的”。由于学生以往所学的概念中绝大部分是肯定概念，这就使得一部分学生学习无理数定义时很不习惯，认为无理数应该没有什么存在的价值。圆周率就是无限不循环小数3.1415926……，它可以由一个希腊字母π表示。π在几何学、物理学中应用十分广泛。那么无理数就不是“无理的”。在中学数学中，无限不循环小数叫无理数。

在学习中，经常要通过把根式化为小数来查看大小，在中学，通过查表只可以得到它的近似值。可通过以下的证明 是无理数。

假设 是有理数，根据高等数学中有理数的定义，可

将 设为 ，p和q互质，然后将两边平方可得到2q2=p2。

由此式可知：p2里面有质数2，因而p中也应含有质因数2，所以可设p=2k（k是自然数），即有（2k）2=2q2化简可得，2k2=q2那么q中也含有质数2的因数，那么p和q就不是互质的，这与题设是矛盾的，因此假设不成立。故有 在实数范围内不是有理数，而是无理数。由此可以得出，只有当 根号下面的自然数n不是平方数，那么 就必为无理数。

三 结束语

在实数范围内，相对于有理数来说，无理数不能用分数表示。无理数的这一属性就是它的特有属性。而对于有理数的循环小数来说，无理数的不循环性也是其特有的属性。

需要注意的是，在数理化计算题中经常会要求把结果通过四舍五入化为与准确值有差异的近似数或者估计一个无理数的值。这样容易误导学生，错误认为分数可以化为无限不循环小数。数学教师应该多向学生强调，将某分数化为小数时，要求约值的意义并非等同于把分数化为小数。

参考文献

[1]王昆扬.谈中学数学课程中“实数”[J].数学通报，2006（12）

[2]舒兴城.谈谈中学生理解无理数概念的困难[J].中等数学，1983（4）

[3]江红光.从证明“2～（1/2）”是无理数所想到的[J].中学数学，1983（4）