数学中考面积试题的求解策略

求阴影部分面积的试题是中考命题的热点之一，这类试题涉及知识面宽、综合性强，常常与扇形知识结合在一起，以填空、选择题或解答题的形式出现，所以采用正确、简便的方法解题显得尤为重要。这类题型既利于培养学生对图形的观察、分解、组合能力，又便于考查学生的综合计算能力与应变能力。解这类试题的关键是对图形进行灵活分解、巧妙组合，化不规则图形为规则图形，或者巧妙转化待求面积。现举例说明几种常用方法与技巧。

一、和差计算求解

这是求阴影部分面积的最基本的方法，也是其他解法的基础。阴影部分一般是个不十分规则的图形，其面积多数无法直接用公式计算得出，和差计算法的基本思想是结合已知条件，把阴影部分转化为几个规则图形的和或差来求面积。

例1如图1，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心、AB长为半径画弧BD，又分别以BC和CD为直径在正方形外画半圆，则图中阴影部分的面积为____。

分析观察知，阴影部分面积等于正方形ABCD的面积与扇形ABD的面积之差加上两个半圆的面积。

二、构造全等三角形求解

此类图形较规范，只要我们能巧妙构造全等三角形，将阴影部分借助全等三角形重新组合，即可轻松求解。

例2如图2所示，梯形ABCD的中位线EF的长为a，高为h，求图中阴影部分的面积。

分析延长AF交DC的延长线于点G，则易证ABF≌GCF，所以阴影部分的面积等于FDG的面积，再由三角形及梯形的相关知识来求解。

解延长AF交DC的延长线于点G，则有ABF≌GCF。

三、等积变形求解

有些阴影图形的面积直接求解比较困难，但可借助“同底（或等底）同高（或等高）的三角形”转移等量关系，简化运算。

例3如图3所示，AB切O于点B，O的半径为2，OA=4，弦CB∥OA，连接AC，求阴影部分的面积。

四、部分移动求解

有些图形看上去特别复杂，求其面积时用上述各法也不易奏效，我们不妨换个思路：利用平移、旋转等图形变换方法，可能会收到意想不到的效果。

例4图4由两个圆心角为90°、半径为a的扇形组成。分别在两个扇形中剪掉一个斜边长为a的等腰直角三解形，求剩下部分（阴影部分）的面积。

分析本题的图形给人一种复杂的感觉，但将它的右半部分绕两个扇形的交点顺时针旋转180°，移到左半部分的下面，拼成图4中右边图形的样子，则计算起来就简单多了。

五、图形割补求解

有些图形极不规则，甚至时刻变化着，要直接求它们的面积很难，但若能灵活采用割补法将图形适当转化，则可轻松求得面积。

例5如图5，扇形OAB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为a的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过点A作AFED交ED的延长线于点F，求图中阴影部分的面积。

六、整体求解

这是一种通过仔细观察图形的组合情况，找出各组合图形之间的联系，再灵活分解图形，应用相应的面积公式求解阴影部分面积的一种方法。

例6以边长为R的正方形的两个对角顶点为圆心，R为半径，在正方形内作扇形，如图6所示，求阴影部分的面积。

分析此例如果采用常规解法，先利用扇形、三角形面积求出弓形的面积，再求阴影部分的面积，显然比较复杂。我们注意到图中的阴影部分是两个圆心角为90°、半径为R的扇形的重合部分，故阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。

七、局部求解

整体求解法能从全局的高度解决问题，因此有时显得特别简捷，但不是每道题都行得通。有一部分试题，很难甚至不能用整体求解法解决，而需要将问题分成几个部分，然后逐个突破，进而解决问题。求阴影部分面积时，我们有时也需要将图形进行分割，先求出各个局部的面积，最后再求整体的面积。

例7在边长为1的正方形ABCD中，分别以AB、BC为直径在正方形内部作半圆，两弧相交于点P，如图7所示，求图中阴影部分的面积。

分析本例无法用整体求解法解决，只能按如图所示的方式将阴影部分分成m和n两个部分，然后逐个突破。m和n的面积之和即为阴影部分的总面积。

对于同一道试题，采用不同的方法对图形进行灵活分解或组合，可以得到多种不同的求解方法。我们不妨尝试用不同方法来解答上述例题，然后思考一下怎样才能选择适当的方法求解，以求收到最佳效果。

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”