数学教学要加强创新思维的训练

【摘要】素质教育的核心内容是创新，创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。因此，培养学生的创新思维能力，这是现代教育的重要任务之一，也是当今教育所要研究的重要课题。本文对启迪学生创新思维的训练谈谈自己的认识。

【关键词】数学教学，创新，思维，训练，方法

需要是发展的动因，思维是创新的保证。古今中外凡有重大建树的各类名人，都有创新独特的创新性思维。现在我们要培养高素质的各类现代化新兴人才，就应首先在思维发展训练方面深入研究与努力探索。在数学教学中应注重以下几点：

1.夯实基础，注重通则通法策略

要培养创新思维能力、实现思维创新，应以常规思维和灵活思维作基础，在教学中，讲好基本知识、基本技能，让学生通过自主学习打下坚实的基础，从而形成数学概念的概括能力、通则通法的应用能力及迁移概括能力，这是进行创新思维的前提，有好的基础“创新”二字就会水到渠成。

2.加强知识点的联系，最近发展区策略

数学思维水平的提高需要以具体的数学知识为基础，其发展过程中沿着创造最近区的轨道前进，教师应带领学生从现有的发展水平出发，通过逐步训练达到可能达到的新的发展水平。

例1:判断命题“若m＞0，则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假。

学生甲：若m＞0 则Δ=1+4m＞0,方程x2+x-m=0有实根，原命题真，故逆否命题也真。

学生乙：逆否命题为：“若x2+x-m=0无实根，则m≤0”。而若x2+x-m=0无实根，则有Δ＜０，m＜-14,故逆否命题为假命题。

剖析：甲对乙错，为什么呢？由我们刚学完的集合的方法，记满足方程x2+x-m=0无实根的m组成的集合为Ａ=m|m＜-14,满足条件m≤0的m组成集合Ｂ={m|m≤0}，显然，若存在m0∈A,则m0∈Ｂ,所以逆命题为真。学生豁然开朗。

由此可见，就近发展，思维更清晰，创新更容易。

3.分析数学思维特征，重视数学思想方法教学策略

注重数学思想方法的教学策略是提高思维水平的重要一环，因为数学思想本身就是对数学的本质的认识，而高层次数学思维同样是抓住数学问题的本质，所以只有在数学教学中不断地引导学生掌握数学思想，才能高屋建瓴，才能不断地提高数学创造性思维能力，提高整体水平。

例2:已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点Ｐ（x0,0）。证明：-a2-b2a＜x0＜a2-b2a

分析：将已知条件等价转化，沟通与求证结论之间的联系：

Ａ、Ｂ是椭圆上两点，Ａ、Ｂ坐标适合椭圆方程。设Ａ、Ｂ坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),则

x21a2+y21b2=1……① x22a2+y22b2=1……②

线段ＡＢ的垂直平分线与x轴相交于点Ｐ（x0,0），Ｐ点到Ａ、Ｂ两点距离相等，则

(x1-x0)2+y21=(x2-x0)2+y22……③

另外还有隐含的条件（结合图形考虑）：

ＡＢ的垂直平分线与x轴相交，不能平行或重合，所以ＡＢ与x轴不垂直，即：x1≠x2.

Ａ、Ｂ是已知椭圆上的两点，有-a≤x1≤a,-a≤x2≤a。

经过以上的转化，证明的方案就很明确了：由①、②两式消去③式中的y1,y2,得到x0与x1,x2间的关系式：x0=x1+x22•a2-b2a2，再由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a，及x1≠x2 ，得-a＜x1+x22＜a，于是证得结论。

本例不但考查了等价转化的思想、数形结合的思想，又考查了函数和方程的思想方法。教学中遇到这样的数学问题要多引导学生从下面两方面试探：

(１)能否将它转化成一个等价的问题？有时可以变换一下观察问题的角度，有时需要将已知条件重新“解释”一下，或者把求解或求证的结论进行变换。

(２)能否结合问题的几何意义考虑。

4.学会总结，反思学习策略

反思学习策略是一个把教学的终点变为新的思考起点的策略，教师要指导学生学会反思，学会反省思维，对以后的思维创新有一个更好的铺垫。

例3:学习完了不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|之后，让学生做以下练习：求函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最小值。学生思维活跃，提出了五种解法。

解法Ⅰ:因为|x+1|≥|x|-1,-|x-2|≥-|x|-2,所以|x+1|-|x-2|≥3,所以x≤-1时，f(x)有最小值-3。

解法Ⅱ:去掉绝对值得f(x)=-3,(x≤-1)2x-1，（-1＜x≤2）3，（x＞2）

所以f(x)min=-3（当x≤-1时取最小值）。

解法Ⅲ：设｜x+1|-|x-2|≥m,则|x-2|-|x+1|≤-m,

因为：|x-2|-|x+1|≤|(x-2)-(x+1)|=3, 所以 |x+1|-|x-2|≥-3,即 f(x)min=-3.

解法Ⅳ：||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3

所以-3≤|x+1|-|x-2|≤3 即 f(x)min=-3

解法Ⅴ：因为|xA-xB|表示数轴上Ａ、Ｂ两点间距离，所以，|x+1|-|x-2|表示ＡＢ与ＡＣ的距离差（如图２）。

引导反思。这五种方法哪一种方法更能揭示本题的实质呢？大家一致认为第五种方法最好。在《向量》一章中学习过向量模的“三角形不等式”，｜a｜-｜b｜≤||a|±|b||≤｜a｜+｜b｜，而|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|实质上可看成“三角形不等式”的一维形式，于是又可总结出：

（ １ ）函数f(x)=|x-a|-|x-b|有最大值｜a-b|，最小值-|a-b|。

（ ２ ）函数f(x)=|x-a|+|x-b|有最小值｜a-b|，没有最大值。

（３）函数f(x,y)=(x-a1)2+(y-b1)2-(x-a2)2+(y-b2)2存在最大值:

d=(a1-a2)2+(b1-b2)2

，最小值为-d。

(４)函数f(x,y)=(x-a1)2+(y-b1)2+(x-a2)2+(y+b2)2存在最小值:

d=(a1-a2)2+(b1-b2)2，没有最大值。

5.发挥集体智慧，合作交流策略

合作交流学习策略应用于课堂教学中，关键在于教师设计有利于思维能力培养的问题，通过在小组合作情况下，组织学生合作探索，交流讨论，让学生的思维相互碰撞、互相补充，就可以使数学规律成为学习主体的再发现，使全组同学的思维水平在指导探索中得到共同的提高。

在实践中，对学生进行创新思维训练的方法是多样的，每位教师都有自己的做法，只要是从思维的广度、深度、速度、精度等方面进行训练，定会取得好的效果。