数学思想在初中数学应用题中的应用分析

【摘要】初中数学中，方程和函数是密切相关的，解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点或交点个数；合参数的方程f（x， y，t）=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。

【关键词】方程 函数 初中数学

在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。函数思想在中考中的应用主要是函数的概念，性质及图象的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

例1：

已知函数y=x3的图象，求解方程x3-x2+1=0。

分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图象与方程结合出来，却完全可以达到事半功倍的效果。

错误解法：完全运用方程的思想。

x3-x2+1=0 x2（x-1）+1=0 x2（x-1）=-1

进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x2这个目前完全大于0的数，所以可以得出：

X=0不成立，x2>0 x-1=-1 x=0 ？ 这里你没有看错，先前我们假定x不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。但是问题出在哪里了呢？此刻我们应当收拾心情，仔细观察一下，将函数的思想带入其中。

正确解法：

同样，将方程式布局整理一番。

x3-x2+1=0 x3= x2-1，这时我们运用函数的思想。将等式两边的x3，x2-1同时设为函数式y= x3，y= x2-1。我们便得到两个函数式，根据已知中我们得知的y= x3的图像，在坐标图上作出y= x2-1的图象，取两个图象的交点，即为问题的答案。不仅方便，而且直观形象，也大大降低了解题的风险。这里，我们可以清楚地看出方程函数思想结合的优势。

例2：

某城市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家庭用水各多少立方米？

分析：这是一道简便通俗的题目。本题中所涉及的是等量关系，可以运用方程，也可以运用基本函数知识来解答。本题的设置是旨在培养学生的思维定性，培养方程函数相结合的思想。

解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米，依题意，可得

5.8-x=3x-0.6 解得x=1.3 5.8-x=4.5

答：生产经营用水为1.3亿立方米，而居民家庭用水为4.5亿立方米。

解法二：设生产经营用水x亿立方米，居民家庭用水y立方米，依题意，可得

x+y=5.8y=5.8 - x

y=3x+0.6y=3x+ 0.6

通过作出两个一次函数的图象，然后取其图象的交点，得出结论。

从以上几个小例子可以观察出，方程与函数的思想在初中数学中占据着极其重要的地位，但是只要我们用心抓住题目中的数量关系，弄清楚方程与函数的区别和联系，灵活运用，问题都会迎刃而解。

综上所述，函数思想指导我们运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想则是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程或不等式来使问题获解，实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的。方程函数思想是初中数学的核心内容，也是打好数学基础的关键，函数和方程相辅相成、共同促进人们对数学知识的深入了解和掌握，学好数学，我们始终都要掌握这样一种融合各种知识、各类方法的意识能力，教师努力思考，不断理解演练，才能在教学道路上教出特色，方能激发初中学生学习数学的兴趣。

参考文献：

[1]李继超.函数与方程思想在教学解题中的应用[J].考试周刊.2010（19）.

[2]董海瑞.函数思想在教学分析中的应用[J].太原教育学院学报.2005（04）.