数学纠错教学的三重境界

高中数学教学中，总会面对着学生或这样或那样的错误，这些错误很多时候很让教师头疼（当然这其中更多的是因为应试需要而产生的焦躁心态），也是因为有些错误老是一错再错.事实上，对于学生错误的研究多年以来一直是一个热点，但总似乎没有一个相对普遍的教学策略.在这种情况下，笔者决意以纠错教学为研究主题，展开了持续的探究，实践下来取得了一些新的认识，也发现学生的错误很多时候确实是一种教学资源.在此基础上，笔者发现了纠错教学中的三种境界：纠错、究错和救错.下面分别对此进行说明.

一、纠错，基于正确解题思路的直觉

学生出错之后，教师的第一反应是帮学生纠错，而学生发现了自己的错误之后第一反应也是纠错.既然是师生双方面的第一反应，那对于这种直觉就不需要拒绝.但是，这需要超越经验层面，具体的做一些细致的、进一步的工作.

这里来看一道习题：给一个命题：若ABC有一内角为π/3，则ABC的三内角成等差数列的“逆命题”是：A.与原命题真值相异；B.与原命题的逆否命题的真值不同；C.与原命题的否命题真值相异；D.与原命题真值相同.学生在面对这一题目的时候，常常会错选A选项.而在看到正确选项之后往往又会选D.选D时学生的思维往往有两种状态：一是赶紧纠错的心态，即先把答案改对再说，答案改过来之后再去思考D选项的合理性；另一种是分析心态，这也是纠错心态的一种，但这个过程相对于前一种心态而言更合理，也更科学，因为分析心态常常是分析D为什么正确，而A为什么错误.有的还会进一步思考当时是什么理由选择A选项的，以清晰地认识到自己思维的误区在哪里.而在经过这样的思维之后，学生往往就可以进一步清晰地认识到逆命题与原命题之间，在题设与结论交换之后是否能够成立的条件的重要性，进而明确原命题、逆命题、否命题、逆否命题是如何判断的.

这样的纠错过程是日常数学学习中的常见过程，也是数学教师或者说学生在数学学习中遇到错误之后最直觉性的反应.应当说作为一种直觉，其是符合数学学习的要求的，但作为对错误的研究尤其是在研究之后获得一种提高，这样的直觉又是不够的.基于错误并研究错误，就成为纠错基础上的新的选择.

二、究错，基于学生学习过程的研究

究错就是研究错误的意思.

对于教师而言，研究错误的过程应当是怎样的呢？笔者的观点是基于学生的学习过程去展开研究.如在解含有参数的集合问题的时候，学生最容易出现的问题就是忽视空集的存在，而这一点往往又会出现屡教不改的情形，也就是说无论教师怎样重复或者提醒，总有一些学生会忽视空集.这其中的原因是什么呢？分析学生的学习过程可知，在学生建立对集合的理解的时候，往往都是基于具体的事例去建立集合概念的，而对于空集这一特殊的集合而言，学生往往无法将之与常见的集合产生联系，因而在解含有参数的集合问题的时候，空集无法进入学生的思维就是可以理解的了.

教师通过研究分析出这一原因之后，最好的策略是引导学生进行自我反思，这就是让学生基于自己的学习过程去展开研究了.笔者在探究中发现，学生在研究自己的错误时，往往会从上面提到的发现正确思路的合理性入手，比如说上面的例子中，学生就是强化自己对空集是任何集合的子集认识入手.这对于一些概念性的知识而言是可以的，但对于一些复杂的需要进行逻辑推理或者是合情推理的数学问题而言就是不够的，这个时候教师还需要引导他们比较正确思路与错误思路的异同，以发现自己的思维缺陷.而对于高中学生来说，做到这一点并非难事，因为高中学生在数学学习中所表现出来的理性思维，常常可以让他们在比较的过程中发现自己思维的不足.

总的来说，究错就是抱着一个研究的态度去面对错误，而有了研究的态度之后，往往可以从面对错误时的感性中走出来，教师不再是一味地责怪学生出错，而学生也不是一味的自责.有了这样的态度，纠错教学就前进了一大步.

三、救错，基于学生认知需要的指导

救错是面向改错的过程而言的，学生在出错之后，如何最终得到正确的答案，这是需要一个过程的，除了上面提到的m错与究错两个过程之外，还有一个重要的收官过程，就是将自己正确的思路用数学语言描述出来.要知道，前面的纠错某种程度上还停留在用正确答案替代错误答案的低水平基础上，而究错则更多的是指向思维过程的，而有正确的思维过程并不意味就有了正确的表达，因此救错就是面向数学表达的.只有用数学语言表达出了正确的结果，才算是真正地完成了认知的一次嬗变.

事实证明，学生在面对错误时是有一种很强烈的认知期待的，而用数学语言描述究错过程中形成的正确思维，关键就在于让学生学会运用数学语言.而这是一个需要重复训练的过程，只要在日常的教学中，教师有意识地培养学生的数学语言运用（而不是模仿）的能力，往往就能有效地完成救错过程.