讨论根的个数的方法范文

讨论根的个数的方法篇1

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性、条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力的提升。

一、把握时机，把分类思想渗透于日常教学中

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等。我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想的好机会。

例如：讲授完“负数、有理数”的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法。如可分为：

有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数 有理数正有理数正整数正分数零负有理数负整数负分数

又如：两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不能互相交叉。

二、思维的严密是解决分类思想的基础

所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的特征，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一小类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：

1.根据数学的概念进行分类

例1：化简：|a+3|+|a-2|

分析：这是按绝对值的意义进行分类，分别以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三种情况来讨论，教会学生注意区分界点的无缝特征。

2.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

例2：解关于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通过移项，不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三种情况分别解不等式。

3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：相离、相切、相交。在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

三、引导探索，循序渐进地提高

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题。只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误以致丢失题目的关键部分。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、严密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一是涉及代数式或函数方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是实数）。如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：切入点应选在是何种函数的讨论上，不同的函数会有不同结局。

解：当m=l时函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m≠1时，函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而当Δ=(m-2)2+4(m-1)=0时，函数与x轴有唯一交点，所以此时m=0。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变成几个大块，然后在各个块中应用常规的办法就可以完美地解决，解题思路非常的清晰。当然，一旦这种方法被学生掌握，不但可以激发学生的兴趣，而且可以激发学生的变通创造力。

讨论根的个数的方法篇2

关键词： 初中数学 分类讨论 应用

我们在研究数学问题时，由于受到各种限制条件的制约和变化因素的影响，往往是根据数学本质属性的相同点和不同点将其分成不同种类进行讨论，这就是数学分类思想方法。这种思想方法在初中数学中得到广泛应用。它不仅是解决数学问题的一种策略，还是训练学生思维方法培养思维能力的重要手段。那么，如何才能使学生形成分类讨论的数学思想呢？下面我结合自己多年的学习心得和经验教训谈谈这个问题。

一、提高一种认识

初中数学的分类思想最初见于有理数的引入，并在以后各章节内容中不断加强。如绝对值性质的讨论，二次根式的化简，一元二次方程根的讨论，三角形、四边形的分类，点、线、圆与圆的位置关系等。在教学过程中，不仅要充分利用这些知识，让学生明白分类讨论是清晰、完整、严密地解答复杂数学问题的方法，还必须让学生认识到，这对提高全面分析问题的思维能力及养成严谨的思维品质是大有益处的。通过这种策略形成学生对分类讨论数学思想重要性的认识，激发他们形成这种思想的积极性和主动性。

二、突破两个难点

关于分类讨论思想的运用，学生常出现的问题有两个方面：一是对于某些应该讨论的问题，因思维不严谨，发现不了可能出现的不同情况，想不到需要讨论；二是发现需要讨论的问题时，划分情况又难做到不重不漏，以及不善安排讨论时机。这是教学过程中必须突破的两个难点。一般地，确定一个题目是否需要讨论，可看该题条件或结论所述对象是否唯一确定；何时进行讨论，要看将要进行的步骤是否有足够的条件。如解答某些问题时，若遇到需要用某一个含字母的式子作除式时，如果问题的条件中缺少判定此式非零的条件，则应据此式能否作除式分情况讨论。再如从二次根式内开出因式前，则应考虑已知条件中是否具备判定此式非负的条件，若不具备，则应讨论。

三、遵循三个步骤

应用分类讨论思想方法解决数学问题的一般分为三步：第一步是确定分类对象，统一分类标准；第二步是逐类讨论，分级进行；第三步是归纳总结，做出结论。如，某问题中涉及关于x的方程ax＋bx＋c＝0，若已知它是“一元二次方程”或“有两根”，则隐含a≠0，不需讨论；若已知它“有根”或“是方程”，则由于不能保证a≠0，故需分a＝0和a≠0两种情况解答。

四、掌握四种形式

1.由数学概念引起的分类讨论，如a的绝对值就要按a>0，a=0，a

2.由定理、公式、运算性质的适用范围引起的分类讨论。如，一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个一次函数的解析式为?摇?摇?摇?摇.

本题的自变量x的取值和函数值的取值的对应关系不明确，因此当x=-3时y=-5，x=6时y=-2；也可以当x=6时y=-5，x=-3时y=-2；于是有：-5=-3k+b-2=6k+b或-5=6k+b-2=-3k+bk=b=-4或k=-b=-3，所求的函数解析式是：y=x-4或y=-x-3.

3.由图形的不确定性引起的分类讨论，如平面几何中线与线、线与面、面与面的位置关系均有多种可能，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况必须分开来进行研究。例如，已知圆O、圆O外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与圆O、圆O都相切的圆一共可以作出多少个。此题也有两个层次的分类，首先分三种情况：（1）都内切；（2）都外切；（3）一个内切，一个外切。而每种情况又都有两种情形，所以共有6个这样的圆。几何分类讨论问题，通常是按几何图形的特征或几何图形的位置进行分类。它以分析、观察、比较为基础，通过找出共同点和不同点，从而提出分类依据和标准。正确的分类符合两条原则：（1）分类应按同一标准进行；（2）分类应该不重复，不遗漏。如把三角形分成斜三角形和等边三角形两大类就是错误的，因为既有重复（等边三角形是斜三角形），又有遗漏（不包括直角三角形）。分类降低了问题的难度，是一种“分而治之”的解题策略。

4.由参数值的“量变”导致结果发生“质变”，而引起的分类讨论。在研究含参数的函数、方程、不等式等问题时，如（m+1）x+4x+1≤0，需对二次项系数m+1是否等于0进行讨论.又如，关于x的方程kx-4x-3=0有实数根，求k的值.本题首先要考虑到的x系数是字母k，因此要对字母k进行讨论：（1）当k=0时，原方程为一元一次方程，它有实数根，所以k=0；（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，要使它有实数根，则≥0，得到k≥-，所以k≥-且k≠0.综合①、②得到k的取值范围为k≥-.

应注意的是：一道题目是否需要讨论，什么时候讨论，并不是看题目中是否含有参数，而是看它是否影响继续解题。有些题目一开始就要进行分类讨论，有些题目则是在解题过程中进行讨论，甚至可以回避讨论。

总之，分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的标准，应该按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。数学分类思想是以数学知识为载体，以基本的数学方法为工具，以数学问题为背景，通过解决具体的数学问题来形成的。我们必须在认真学习新课标，研究新教材的基础上，使学生逐步形成分类讨论的数学思想，以达到培养学生灵活的思维品质，提高综合能力的目的。

讨论根的个数的方法篇3

在新课程理念指导下，小学数学课堂数学广泛采用了课堂讨论。有的教师盲目追求小学数学课堂表面的气氛活跃。在这热闹景象的背后，也应看到课堂中存在大量低级，虚假、无序的讨论，使课堂教学陷入了形式主义的误区。那么该如何提高小学数学课堂讨论的有效性，让学生享受数学课堂讨论的乐趣呢？我认为应注意以下几个方面：

一、把握思维发散程度

《全日制义务教育数学课程标准》提倡一题多解，培养学生的发散性思维。但并不是所有的数学题都可以一题多解。像求圆的面积、周长这一类题目，只要指导学生把题目中的各个数据代入相应的公式就可以了，没有必要让学生过多地去挖掘题中“一题多解”的角度。而那些具有多元因素的应用题，教师应把握好学生讨论时的思维发散程度，做到能“放得开” 也能“收得拢”。 因为发散不是终极目标，只是培养学生创新思维的手段。在学生讨论过程中，教师要及时了解他们的思维走向 ，遇到有偏颇的讨论应及时加以控制和引导。

题目：求一根外直径10cm,内直径为8cm,长为80cm，求这根钢管的体积{内部为空心的}。可让学生分组讨论如何才能求出这根钢管体积，当学生通过讨论得出：可先求出外钢管体积减去内空管体积。这时还可以让学生思考还有什么方法可求出钢管体积，教师可适时提示这根钢管横截面是环形。这时学生就可以通过讨论得出：钢管体积=圆环面积 ×钢管长。

课堂讨论如果只一味追求发散而忽视了正确引导，对提高学生的发散思维没有好处的。

二、控制问题难易程度

课堂上组织讨论时应注意，能引起课堂讨论的问题，必须在合作学习小组成员的能力范围之内，即小组成员有可能通过讨论解决问题从而获得成功。那些学生个人能独立解决的比较简单的问题，没有讨论的意义，可以让学生自主思考。那些超过学生知识水平的太难太深的问题，会使学生的思维受到阻碍，无法展开讨论；只有那些启发度较大，难易度适当，覆盖面广的问题才能激发学生讨论的兴趣。

题目：少先队员在学校种植榕树和桃树，一共栽了120棵，榕树是桃树的4倍。榕树和桃树各栽了多少棵?解法一：根据“榕树棵数＋桃树棵数＝120”，列方程来解。假设桃树栽了x棵，列方程x＋4x＝120；如果设榕树栽了x棵，列方程x＋ x＝120。容易得出结论：榕树栽了96棵，桃树栽了24棵。解法二：已知榕树和桃树棵数比是4比1，可以用按比例分配的方法来解。

这一问题的设计，不仅让学生从多角度去思考，讨论出新意，而且能够提高学生解决问题的能力，同时培养了学生的创新精神。

三、注意认识偏差程度

学生数学学习中产生的认识偏差或错误，来自于学生学习活动本身，教师抓住时机利用它引发讨论，对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲，纠正学生的错误具有很好的效果。

如教师讲授“小数的大小比较”后的学生练习巩固中，有一道选择题：比0.7小而比0.6大的数（ ）[A、一个也没有；B、有1个；C、有9个；D、有无数个]，同学普遍选择A，这时教师要引导学生展开讨论：十分位上是7的两位小数有哪些？三位小数有哪些？通过讨论很快得出正确答案是D。然后再提出：要使答案A正确，该怎样修改题目？让学生继续讨论。

在学生发生偏差时，经过变换角度的讨论，不但能加深对知识的理解，而且能促进学生积极思维。

四、优化时间控制程度

小学高年级学生思维活跃，讨论起来有时没办法控制好时间，教师如果不注意把握，就会影响课堂教学进程。为此教师应以学生为主体，根据不同年级的学生把握好教学进程。 课堂教学必须重点解决主要问题，而组织课堂讨论，也要突出教学重点。

如讲授“公倍数和最小公倍数”第二课时，为了让学生自己能发现求最小公倍数的规律，教师先复习公倍数、最小公倍数的概念，让学生默想如何求两个数的最小公倍数，接着出示问题：“求12和36、7和8、9和18中的每组数的最小公倍数，如能简便，请用简便方法计算；如不行，就用短除法求”，然后在合作小组中交流自己的方法，讨论同伴的方法，学生经过交流讨论，分别从第二组和第三组的简便计算中得到启发，发现：两个数是互质数，最小公倍数是这两个数的乘积；如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。这样不仅突出了这节课的教学重点、解决了难点，而且有效控制了时间，促进了学生思维的发展，起到事半功倍的效果。

在学生讨论前，教师还应该规定讨论的时间，以激发学生的紧迫感，激活学生的思维。同时在学生讨论时，教师还要做巡回指导， 就如何表达自己的看法，如何倾听他人的意见，如何代表小组同学发言交流等技巧进行有针对性的指导，从而提高小组讨论的效率。

五、重视个体差异程度

新课程要求我们在培养和提高学生数学素质时要面向全体学生。课堂讨论要既能调动学生学习数学的积极性，又能发挥学生之间的互助作用，为学生创造主动参与的机会，使他们每个人都能大胆发表自己的看法。特别对那些数学水平不高，性格内向的学生，课堂讨论为他们提供了与其他同学合作竞争的机会。这样既提高了他们的数学水平，又锻炼了他们的胆量意识。

但由于学生的能力有高低之分，个性特点也有许多不同，对于同一问题，不同的学生有不同的思考角度，有不同的理解角度。在组织课堂讨论时，要重视学生程度的差别，进行合理分组。就是根据教学内容的不同和学生综合素质的差异，按照“组间同质，组内异质，优势互补”的原则，优化组合学生。“组间同质”是指各个学习小组的水平要相当。“组内异质”是指同一小组内，应安排不同性别，不同程度的学生在一起。这样有利于不同的学生都有发表自己见解，倾听他人意见，向他人学习的机会。重视学生差异度的优化组合，不仅利于学生素质的互补，还有利于学生个性的发挥。学生在讨论中，学会了分析思考，学会了发现他人的优点和欣赏他人，互相取长补短。

讨论根的个数的方法篇4

一、合理组建合作小组

组织学生进行课堂讨论,不能放任自流,这就要求教师必须具有较强的控制课堂气氛的能力。在组建学习小组时,以前后两座四人一组或同桌两人为一组。集体讨论、小组讨论和同桌讨论的作用各不相同,所适应的问题也不同。比如,我在教学“加法”时,通过创设情境,请3个同学上台来表演一段场景,让学生初步感知加法的含义。我引导学生同桌相互交流:“把你看到的与你同桌的同学互相说一说。”最后,再全班交流。让学生感知:1名同学与2名同学走到一起,把1只红纸鹤与2只蓝纸鹤放到一块儿,就是合起来的意思。又如,我在教学“长短”时,提出了这样一个问题:“你是怎么知道这些物品有长有短的?”让学生通过小组合作探究比较长短的方法。学生就说出了各种不同的方法,有的说“我是看出来的”,有的说“把它们横着平放在桌子上一头对齐比另一端”,有的说“我的把它们竖着戳在手心上来比的”,还有的说“把它们的两头都不对齐也能比较出来”。由于学生观察、比较的方法不同,得出了各种不同的结论,但是这些结论都是有道理的,我都给予了肯定。

在三种讨论方式中,以小组讨论的参与率和有效性较高,也就是以“四人学习小组”为单位的综合编组,在教学中我采用最多的是以小组为单位进行讨论。

二、选择有探讨价值的内容

组织讨论必须把握教材的重点、难点,越是教材的核心问题,越要让学生去主动学习,只有学生积极参与,进入角色,才学有成效。数学中的一些概念,光靠老师的讲解和简单的下定义,学生不但印象不深,而且对根概念的认识也肤浅。例如:“0不能做除数”,光是教师说说,学生往往知其然,而不知其所以然。假如教师能引导学生根据乘除法的互逆关系,通过假设除数是0的情况下将会出现什么样的后果展开讨论,学生对“0为什么不能做除数”的道理必定会有深刻的认识。

有些内容在训练学生的思维方法,培养学生的思维品质乃至促进素质的整体提高方面能起到积极的作用,教师应该舍得花时间组织学生讨论。例如,让学生讨论这样一道题目:“有一次野炊活动,同学们共领了55个碗,其中每人领一个饭碗,两人领一个菜碗,三人领一个汤碗,怎样才能知道这次参加野炊活动的人数呢?”学生发言热烈,想出各种各样的解法,这样不但培养了学生的思维品质,而且激发了学生对数学的兴趣和情感。

三、设计能展开讨论的内容

课堂讨论如果组织不好,往往会出现冷场现象或者偏离中心议题,变成拉呱闲谈,貌似热闹,但没有效果。所以讨论的议题必须富有知识结构和思维内涵,而且难度适中。讨论题的设计可以从以下三个方面考虑:

1.从学生认知方面考虑。要使课堂讨论能够展开,教师要善于寻找疑点,巧设问题,使学生形成认知冲突。特别是那些学生认识一时模糊的问题,非唯一答案的问题,学生有意见分歧有争议的问题,都是容易使学生展开讨论的议题。例如:“怎样判断一个分数能化成什么样的小数?”“有两根同样长的钢管。第一根用去米3/10,第二根用去3/10。哪一根用去的多一些?”这些问题往往使学生争得面红耳赤。

2.从学生情感因素考虑。学生的认知过程必然有情感伴随,只有以情动人,以知为依托,做到情理交融,互相促成,才能使智力因素和非智力因素和谐发展。所以设计问题时除了要切合学生的认知水平外,还要积极有效地创设问题情境,培养学生情趣,激发学生的内部动机,使课堂讨论能在充满情趣且热烈的气氛中进行。例如,学了圆面积计算之后,我让同学们讨论:“一只小羊羔被一条5米长的绳子拴在大草坪中的一根木桩上,这只小羊羔能吃到草的范围有多大呢?”由于把圆的面积计算转化为一个富有故事情节的实际问题,因而很受学生欢迎。

3.从议题难易程度方面考虑。把握议题的难易程度应该以学生的知识基础和认识水平为主要依据,提出的问题应该略高于全班的中等平均水平。难度太高会导致多数学生坐冷板凳,难度太低了,学生对答如流,无须作深层次的思考。这样的讨论都没有意义。

除了按课时计划有目的地安排课堂讨论之外,常常还要根据课的进展需要组织讨论,常言道:“机不可失,时不再来,关键是抓住机遇。”

四、故意示错,开展探讨活动

教师在课堂教学中,根据教材内容的重点、难点或学生容易出现错误处,故意弄出错误,引导学生去探究,让学生来纠正。这对保护学生创新意识,培养学生探究能力很有好处。如教学教材第31页的思考题时,得出结论:右边小猴的桃子比左边小猴的桃子多,有的同学看了书以后马上反对,我则“坚持错误”,要求学生拿出事实依据来,学生兴趣很高,通过小组讨论,跟我据理力争,我终于“认输”并得出结论:“不能确定右边小猴的桃的个数肯定比左边小猴多”,还向学生“道谢”。学生通过讨论,经过跟老师的智力的“搏斗”,最后战胜老师,“夺取”知识。这样的活动,学生得到的不仅仅是知识,更多的是自信和科学的探究精神。

在讨论的过程中,也存在着一些问题,我感觉课堂讨论的参与率不高。根据课堂上的观察,我发现集体讨论的参与率比小组讨论的参与率低,大部分学生只是处在观众地位,坐在那儿一动也不动,等待尖子生回答,没有进入到讨论的气氛之中。在四人一小组的讨论中,一般只是50%的小组讨论比较热烈,而讨论热烈的小组中也只有60%的学生能比较充分地发表自己的意见和看法,讨论不热烈的小组参与率比较低,往往处在冷场的情况。小组讨论时,有时小组会出现“群龙无首”的局面。有班干部或尖子生的小组中,班干部和尖子生只顾发表自己的看法和见解,而没有组织小组全体参与讨论的责任感或意识,使讨论的参与率降低,学习有困难的学生很少有发表意见和提出问题的机会。甚至部分小组在讨论时不以自己的理由去说服持有不同意见的同学,而产生争执。你说等于1,我说等于2,偏偏不说“等于1”或“等于2”的理由,成“顶牛”之势,失去信息交流和思维碰撞。

讨论根的个数的方法篇5

一、知识要点概述

1.分类讨论的思想方法的原理及作用

在研究与解决数学问题时，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.

2.引起分类讨论的原因主要是以下几个方面

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0，a=0，a

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>3时分a>0，a=0，a

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.

二、解题方法指导

1.分类讨论的思想方法的步骤

（1）确定标准；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结.

2.简化分类讨论的策略

（1）消去参数；（2）整体换元；（3）变更主元；（4）考虑反面；（5）整体变形；（6）数形结合；（7）缩小范围等.

3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是

分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.解题时把好“四关”

（1）要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

（2）要找准划分标准，把好“分类关”；

（3）要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

（4）要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

三、分类讨论基本题型

友情提示：解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题一般分四个步骤：

第一步：确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.

第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.

第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.

第四步：汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.

2.由参数变化而引起的分类讨论

友情提示：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.这类问题有两种情形：（1）由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；（2）有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的.

3.根据图形位置或形状分类讨论

例3 如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a（a>0）.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________.

讨论根的个数的方法篇6

【关键词】新课程；改革分类；初中数学；创新教学

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治。波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” .随着课程改革的深入，"应试教育“向”素质教育“转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

1．渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

整数、

分数

正有理数

零

负有理数

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

有理数 有理数

为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

2．学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

2．1　根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1，化简解：

这是按绝对值的意义进行分类。

例2、比较 与 易得 的错误，导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论，既可得到正确的解答：

〉0 时 ，= 0 时 ，< 0 时 ，2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程

用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

例3、解关于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三种情况分别解不等式。

当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是x>

当，a－2＝0，即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1

因为01－1，所以不等式的解是一切实数。

当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是x

2．2　根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

讨论根的个数的方法篇7

例1 解关于x的不等式ax2+2x+1＜0(ar)。

分析：对含参量的一元二次不等式的讨论首先讨论二次项系数，再判断“”与零的关系。一般还要对根的大小进行比较。判断根的大小结合二次函数的图象写解集

解：（1）当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞-■}。

（2）当a>0时，方程ax2+2x+1=0，=4－4a。

①若>0，即0时，方程ax2+2x+1=0的两个解为x1=■，x2=■，x1＜x2。

所以原不等式的解集为{|x＜■,或x＞■ }。

②若=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x≠-1}。

③若1时，原不等式的解集为R。

④当a0，方程 两个解为x1=■，x2=■，且x1>x2。

原不等式的解集为{x|■＜x＜■}。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式""进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法

例2 解关于x的不等式|x2+2x-3|＞a。

错解：|x2+2x-3|＞a。

当x2+2x-3＞a时，解得x＞-1+■。

当x2+2x-3＜-a时，解得-1+■＜x＜-1+■。。

剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a

正确解法：当a

由①解得x＞-1+■或x

由②得(x+1)2

此时分类可知，若 ，解得-1-■

若a≥4，此不等式无解。

综上，当a

当0≤a

当a≥4时，原不等式解集为[x|x＜-1-■]。

总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。

三、含参数的分式不等式的讨论方法

例3 已知 ，解不等式■＞a+1。

分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨论。

解：原不等式化为■＞0①

策略一：分式不等式的最基本形式是 ，对于任意一个分式不等式，应当首先用移项、通分转化为最基本形式。

（1）当a=0时，原不等式为■＜01。

在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。

（2）当a≠0时，原不等式化为■＞a+1。②

对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。

当a>0时，原不等式等价于■＜0。

由于■>1，可解得1＜x＜■。也可先确定两根 ，然后直接写出解集。

当a

由■=1+■＜1。可解得x＜■或x＞1

综上，当a=0时原不等式的解集为(1,+■)。

当a>0时，解集为(1+■)

当a

讨论根的个数的方法篇8

关键词：判别式 值域

判别式在中学数学中很重要的，广泛应用的一种概念。它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式，二次不等式，二次函数等方面有着重要的应用。熟练掌握它的各种用法，可以提高解题能力和知识的综合应用能力，若解题过程中正确巧妙地应用判别式，就能给人一种简单明快，耳目一新的感觉。因此，如何使用判别式法解题的有关问题必须引起我们的高度警惕。

一、基本概念

判别式是一元二次方程的根的重要核心。

任意一个一元二次方程（a0）均可配成，因此，由平方根的意义可知的符号，也可以决定一元二次方程根的情况。

叫做一元二次方程的判别式。记作，（读delta）

下面讨论讨论一元二次方程（a0）的根的情况：

当时，方程有两个不相等的实数根。

当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程没有实数根。

方程有两个实数根，上面结论反过来也成了。可以具体表示：

同样，（1）和（2）合起来：方程有两个实数根时，

二、判别式在解题中的应用

（一）判别式在证明不等式中的应用

用判别式来证明不等式，实际上就是求函数的最大（最小）值或值域。利用这种方法来证明不等式比较简便。

下面主要讨论利用判别式来证明不等式的基本方法和技巧。

例1：证明

证明：设中，则取分母整理得，即 *

时，x=0满足不等式。

时，方程*是关于x的一元二次方程，，

，从而可得，由可得，所以原不等式都成立。，所以原不等式都成立。

（二）判别式在解不等式的解集中的应用

设，是一元二次方程的两个实根且，对一元二次不等式

当a>0是，若>0，则其解集为；若，则其解集为；若

当a0，则其解集为；若，则其解集为。

（三）判别式在判断根的分布中的应用

讨论一元二次方程的根的分布情况时往往归结为不等式组的求解问题，其方法有三种：1.应用求根公式2.应用根与系数关系3.应用二次函数图像，在进行转化时，应保证这种转化的等价性.

例2.关于的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数的取值范围是

解：由题意可知

（四）判别式在集合间的运算中的应用

对于含参数的运算，首先解出不含参数的运算的集合然后根据已知条件求参数。解决集合间的运算中判别式也常用。

例3.设集合，若，求实数a的取值范围

解：因为 所以

对于集合

，因为，所以

（1）当时，即时满足条件

（2）当时，即时也满足条件

（3）当时，即时才能满足条件，由根与系数的关系得，可以得到 ，最后产生矛盾，综上，的取值范围是

首先讨论了已知三角形的两边和其中一边的对角时用余弦定理和判别式来讨论了证明不等式，求解不等式的解集，解决关于集合间的运算，根的分布等方面进行运算时用什么样的方法来把已知的不等式化为方程与判别式之间的关系问题的基本思路。