函数奇偶性小议

函数奇偶性作为函数的一个重要性质，其地位毋庸置疑。对于函数f（x）定义域中的任意一个x，若有f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数；若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。简单的一个定义，却蕴含着丰富的内容。

一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，然而这一点却往往被许多学生所忽略。

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=x+1（x≥0）；（2）f（x）=。

解析：（1）由于函数定义域为［0，+∞），没有关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数。

（2）此题若忽略了函数定义域而直接求f（-x），则很难与f（x）进行比较判断，最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上，函数定义域为［-2，0）∪（0，2］，满足关于原点对称，此时函数可进一步化简为f（x）==，易知有f（-x）=-f（x），故函数为奇函数。

例2：偶函数f（x）的定义域为（k，2k+3），则函数g（x）=（k+2）x+（k-1）x+3的单调递减区间为 。

解析：f（x）既是偶函数，则其定义域必关于原点对称，于是k+2k+3=0，得k=-1，从而g（x）=x-2x+3，单调递减区间为（-∞，1］。

二、函数奇偶性除了注意其定义域之外，判定时也应注意形式多变，方法多样，只有做到对症下药，解题时才可以得心应手。

例3：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=；（2）f（x）=log（-x）。

解析：（1）易知函数定义域为R（满足关于原点对称），若直接求f（-x），再与f（x）进行比较判断，则容易陷入解题僵局，导致半途而废。事实上，f（-x）+f（x）=+==0，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数。

（2）函数定义域为R（满足关于原点对称），且f（-x）=log（+x）=log=log=log（-x）=-log（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数。

注：第（1）题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用：f（-x）=±f（x）?圳f（-x）±f（x）=0?圳=±1（f（x）≠0）；第（2）题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。

例4：定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）-f（y），证明函数f（x）为偶函数。

解析：对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f（-x）与f（x）的关系，依题意，令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，则f（0）=f（x）-f（-x）=0，即f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数。

三、函数奇偶性有着较多的性质，在解题中有着广泛灵活的运用。

例5：已知函数f（x）=log（x+）是奇函数，则a的值为 。

解析：若直接采用f（-x）=-f（x）两边进行比较求解，很难得出结果。

方法一：采用等价变形f（-x）+f（x）=0，可得log（-x）+log（x+）=log［（-x）（+x）］=0，则log2a=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

方法二：利用奇函数的性质f（0）=0（当x=0时函数有意义），即得：log=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

例6：若f（x）为奇函数，且在（-∞，0）内是增函数，又f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本题可根据题设条件先作出函数f（x）在（-∞，0）内的大致图像，如上图，由对称性（奇函数的图像关于原点对称）及单调性（在（-∞，0）内是增函数）得出f（x）在（0，+∞）的图像，如上图。f（x）为奇函数，且f（-2）=0，f（2）=0。由图像可知：当-2＜x＜0时，f（x）＞0，xf（x）＜0；当0＜x＜2时，f（x）＜0，xf（x）＜0。故不等式xf（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2），答案选A。

例7：设f（x）是奇函数，g（s）是偶函数，且f（x）-g（x）=x-x，求f（x）与g（x）的表达式。

解析：依题意，令h（x）=f（x）-g（x）=x-x①

于是h（-x）=f（-x）-g（-x）=x+x，

又f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），所以有-f（x）-g（x）=x+x②

①+②可得：g（x）=-x，①-②可得：f（x）=-x。

总之，函数奇偶性作为函数的重要内容，在高中数学具有举足轻重的地位。充分挖掘出定义的内在要素，掌握题目要领，及时进行归纳总结，在今后的解题中往往可以取得事半功倍的效果。

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