数学问题解决教育启发

一、加强对数学知识的发生过程的教学，既要注意学生的认知过程的特点，又要注意数学知识的逻样性、连续性、系统性

根据创造力来自基本的认知过程的观点，数学教学必须强调认知活动的全面性，使学生的认识真正有机会经历“基本认知过程”，这样才能使创造力的培养真正落在实处。一个比较可行的做法是为学生提供尽可能丰富的知识背景(其中包括与知识有关的课堂以外的生产、生活实际)，让学生通过对知识背景的分析、归纳、抽象和概括而获得相应的理论知识。这样做至少有两个好处:一是丰富的知识背景使学生在面临问题时，能对问题及解决问题所需知识都作出适宜的解释，从而获得知识与问题之间的丰富联结，并选择出创造性的联结方式，获得新颖独特的问题解决方式;二是使所学的知识条件化，使学生懂得在什么样的场合下可以运用相应的知识。教师经常会遇到这样的情况:学生在学习某一概念、定理的当时，能用它来解决相应的问题，但过后，一旦情况发生变化，学生就不知道该如何用它。特别是在解决综合问题、实际问题时，虽然学生具备解决问题的所有知识，但学生却不知道该怎样运用这些知识。究其原因，主要是在单一情景中获得的知识之间的联结也只能是简单而贫乏的，一旦背景发生变化，知识的表征就会发生困难，联结也就难以形成。而使学生在丰富的知识背景中，通过自己主动的思维活动来获取知识，可以使学生在记忆该知识时，将运用该知识的“触发”条件结合起来，从而形成条件化的知识。这样，当学生面临问题时便能迅速、准确的从大脑中检索、提取与任务相关的知识，形成知识与问题之间的丰富联系，并最终选择出解决问题的最佳方案。值得指出的是，“知识的发生发展过程”是对知识原发现过程进行教学法加工后获得的，与“问题解决教学”倡导者所强调的“非常规性”问题解决过程是有区别的。我们认为，系统的知识学习必然表现出与客观实在之间的相对脱离，不可能是对客观现实的真实复制，而学校教育的经济性也要求学生在学习知识时走一条“再创造”的捷径，但“非常规性”间题解决过程则比较强调问题的客观性，要求将实际中的许多不确定性、各种环境条件等都考虑进去，这样，由于问题复杂，影响因素过多，学生的认识水平不高，使学生难以辩明问题的结构，造成思维混乱，问题不能得到解决，系统的知识学习也难以保证。

二、充分认识数学基础知识教学的重要性，使学生通过主动学习而建立起结构功能良好的数学认知结构

前已述及，任何问题的解决，任何发明创造的实现，都需要相应知识领域的大量专门知识。我们认为，要使学生获得的知识能真正地用来解决问题，关键是要引导学生主动地学习，使他们通过学习.，既掌握知识，又懂得在什么情况下使用知识;既掌握知识的具体事实和细节，又掌握知识的纵横联系、层次结构，把注意力放在知识的概括化和结构化上，形成一种从复杂的联系中思考问题的良好习惯;从而使重要知识、原理与它们的产生条件及相关方面建立起紧密的联系，并达到自动化的程度，从而将重要的知识、原理表征为一个知识组块，以使学生在面临问题时，能把问题的各个方面与重要知识、一般原理联系起来，促成对当前问题的顿悟和解决。当代认知心理学强调知识在学生身心发展中的重要性，强调认知因素(认知加工过程、认知结构)在学习与发展中的直接作用，认为知识在学生信息加工(信息输人的选择、编码、储存和提取等)能力的提高中起到至关重要的作用，认知结构的发展既是学生身心发展的重要标志之一，也是学生身心发展的主要动力之一。特定的知识、技能的缺陷是导致学习能力低下的主要原因。所有这些观点，对我们在数学教学中处理好知识学习与能力(特别是创造力)培养之间的关系都具有重要的指导意义。问题解决教学的倡导者提出，数学课堂教学要以“问题”为中心，认为数学知识的学习可以在问题解决的过程中进行。我们暂且不论包含系统知识的“问题”是否存在，单从知识学习与创造力培养之间的关系来看，这样的做法也是不合适的，事实上是颠倒了两者的关系。我们认为，从意识到问题的存在，到发现问题的所在、寻找解题策略、确定解题策略、对解题过程进行反思，整个问题解决过程中处处都体现着知识的作用，而创造性地解决问题所需要的相应知识的重新表征、知识与知识之间的新颖独特的联结也是要在具备相关知识的基础上才能获得的，因此，企图通过脱离数学基础知识的系统教学而培养学生的问题解决能力的做法就好象造房子而不管打地基一样。心理学的研究也表明，只有将一般认识能力训练与科学知识学习相结合，才能更有助于解决问题能力的培养。否则，数学知识的学习会变得零零碎碎，学生无法学到系统的数学基础知识，而解决问题能力的培养也会失去必要的数学基础知识的保障。

三、重视策略化知识的教学，数学教学中尤其要注重数学思想、数学方法的教学

数学思想、数学方法既要理解为数学中的深层次基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家指出，人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。因此，要使元认知在创造性的问题解决过程中发挥作用，就必须在头脑中储存有关如何学习和如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融合的，只要教师在数学课堂教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过教学获得大量的关于解决数学问题懂得一般的和特殊的策略性知识。例如，数学中的配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法等基本方法，既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现;观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考数学问题的一般方法;数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数学具体知识的学习与运用结合起来，成为数学教学整体中的一个有机的组成部分。新修订的高中数学教学大纲中把数学思想和方法列人基础知识的范畴，使数学思想和方法的地位和作用得到了更充分的体现，这有利于促使广大数学教师更加重初扭寸数学思想和方法的教学，从而更有利于培养学生的能力。

四、重视非认知因素的作用

前面我们对动机、态度及认知方式等与创造力之间的关系作了一些论述，从中我们可以看到，发展学生的内在动机，培养学生良好的态度，塑造学生健全的人格，对于发展学生的创造力是至关重要的。就激发学习动机而言，认知心理学关于有意义学习的理论值得我们重视。认知心理学认为，要使学生的学习成为有意义学习，首先学习材料本身必须是有意义的，这种意义包括心理意义和社会意义两个方面，既要使学生感到所学习的数学知识无论对自身发展还是对社会发展都是有用的;第二，学生的认知结构中具有适当的、可以与新知识进行相互联系和作用的知识，从另一个角度上说，就是新知识对学生来说是难度适当的，新知识对学生既有智力的挑战性，又使学生经过努力可以赢得挑战，用维果斯基的话来说，就是新知识是学生的“最近发展区”。知识处于“最近发展区”时，最能激发学生的学习动机。认知心理学还提出了通过引发认知冲突或惊奇感来激发内在动机的做法。学习应当成为学生自己的积极主动的活动，而这需要有学生对任务的持续兴趣作为保障，否则，外部奖赏再诱人也不能维持长时间的艰苦学习。心理学家认为，只有设法使学生“卷入”任务之中，才能达到激励内在动机的目的。促使学生“卷入”学习任务的最佳法方法是使学生经常具有“成功体验”。要做到这一点，除上面所说的学习任务难度适当，学生能“跳一跳摘到果子”外，教师还应向学生传授思维的方法和技巧。另外，“教师应较少详细叙述事实，较多提出问题，较少给予现成答案;要指出所教课程的戏剧性、美妙之处，引发美感;必须引发智力活动过程，必须产生对知识本身的感受。”由以上论述我们可以看到，认知因素与非认知因素事实上是学生认知活动过程中相辅相成、互为条件的两个方面。当然，由于学生认知水平发展的限制，特别是非认知因素的不稳定性，教师的启发诱导就显得极其重要，教师应在组织课堂教学是精心安排教学过程，设法使学生从自己的切身体会出发去学习新知识，使学生的学习变得富有情趣。数学教学中培养学生的创造力，即使时展的要求，也是数学教学内部规律性的体现，并且也是数学学科的优势之一，因此应成为广大数学教师的自觉行动。