情境辅佐,简中求道

【设计理念】

1.情境链简洁些

梳理反比例函数应用的基本知识与技能，合理合情地创设学生熟悉的、源于生活的简洁情境，再将各个情境按照学生的认知结构编排成一条情境链。旨在通过情境链的辅佐达成课堂教学的“简中求道”――知识掌握简单些，技能训练简易些，数学思考自然些，问题解决顺畅些，课堂学习愉悦些……

2.知识掌握简单些

知识是学习的重要基础，因此应围绕核心知识进行设计，让陈述性知识的表述简洁些；让程序性知识的脉络清晰些；让知识间的联系自然些；让知识的再现容易些；让知识的保持长久些。

3.技能训练简易些

技能是学习的一个目标，因此应围绕基本技能进行教学设计，让知识学习的同时提高技能，由于本节课是反比例函数的应用，因此尽可能训练学生的“建模与用模”技能，同时由于八年级学生的抽象思维能力还很弱，因此尽可能训练学生的“由数思形，由形想数”的技能。

4.数学思考自然些

“数学思考”越来越引起专家和教师的重视，这是数学课程改革的必然结果。然而，由于八年级学生自身具有的“数学载体”“数学经验”有限，学生的数学思考可能会磕磕绊绊。但是教师可以设计出一些方案，让学生在磕磕绊绊地“数学思考”中学会数学反思，教师留一些时间，让学生反思，争取做到在习得知识的同时，通过反思觉得：数学味很浓，从数学角度看也“合情合理”，同时既有数学的逻辑成分，又有数学的直觉成分，从心底里觉得其比较自然，逐步步入到数学思考的轨道上。

5.问题解决顺畅些

问题解决是数学学习的主体，情境设置时，各个情境之间要有紧密联系，形成一组或几组问题串，解决前一个问题后，立即生成下一个问题，这就是我课上最常用的“源问题―解决问题―生成新问题―解决问题”问题循环教学模式，能确保问题间联系紧密，问题解决就顺畅些。

6.课堂学习愉悦些

关注学生的情感、态度、价值观是教育的理性回归，教学时设置学生身边的、熟悉的、源于生活的情境，这样学生在学习的过程中就会乐意参与，主动探索，在参与和探索中体验失败的艰辛、成功的喜悦。

【教学目标】

1.知识与技能：

（1）能将实际问题转化为数学中反比例函数的模型；

（2）能用反比例函数的图象与性质，分析和解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法：

（1）在情境链的辅佐下，经历“实际问题―反比例函数模型―解决问题”的过程，提高建模和用模能力；

（2）在情境链的辅佐下，体悟反比例函数中的“数与形”“等与不等”等基本数学哲学雏形。

3.情感、态度、价值观：

（1）在解决身边的、有联系的实际问题的过程中，进一步体会反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型，感受生活中处处有数学，激发用数学的热情；

（2）体会情境的相互联系和转化，体悟到将复杂问题转化成简单熟悉问题是解决问题的基本方法和路径；

（3）随着问题解决的深入，发现数学可以解决身边的很多问题，逐步认识数学的价值，提高学习数学的兴趣。

【教学过程及设计意图】

一、情境引入

今天早上，我早早来到美丽的清江中学，站在校门口，发现同学们来学校的方式不尽相同，如步行、骑自行车和乘公交车，出于好奇也为了上好本节课，我打听来一些情况，下面请大家帮我解决一些问题。

【用比较随意的生活问题情境引入，可以营造一个宽松的氛围，有利于学生的思维自由放飞，快速进入数学思维空间，为逐步体悟“生活处处皆数学”打下伏笔。】

二、解决问题

问题一 上学路上

小省、小清和小中是你们的同学，三位同学距学校分别为2公里、4公里和6公里，他们分别步行、骑自行车和乘公交车来学校，如果他们同时到校，探索速度与时间的关系。

子问题1（小省步行）

（1）如果小省步行的速度是每分钟100米，小省上学路上要花多长时间？

（2）如果小省步行的速度是每分钟v米，小省上学路上要花多长时间？

【1.第（1）问实际上是小学中给定具体数据的“行程计算”问题，第（2）问实际上是一类数据中的行程问题，也可看成是一个公式，其本质是用字母表示数。

2.该问题的教学活动可以是：采用“师生问答”形式，但要注意充分利用情境。设想一下，如果本课采用提问形式复习行程问题公式：“v=”或“t=”，学生会感到枯燥无味。两问是反比例函数的基本问题，条件与结论简单明了，利于学生快速融入课堂；而该设计配上小省上学路上的动画，熟悉、生动的情境，学生倍感亲近、真切，学习兴趣就上来了。

3.总结归纳提升时，结合反比例函数的表达式，并画出反比例函数的图象，从“数”与“形”两个视角认识具体实际问题中的反比例函数，并从这两个视角归纳出（1）和（2）两问实际上是特殊与一般的关系。】

子问题2（小清骑自行车）

（3）小清骑自行车与小省同时来学校，求小清骑车的速度；

（4）如果小清某天上学的速度为每分钟v1米，放学回家的速度为每分钟v2米，小清上学和放学回家花费的时间之比是多少？

【1.第（3）问要利用第（1）问的结论，抓住“同时到校”这一条件；第（4）问实际上是两个反比例函数问题，列出关系式：v1t1=6000，v2t2=6000，进而得出=。

2.该问题的教学活动可以是：师生共同分析、解答和板书，规范学生的书面表达。有些学生探索第（3）问时，会有少条件的感觉，此时教师要做的是，留足时空，让学生认真审题，必要时可以合作交流，希望出现不同的呈现。第（4）问中，由于距离一定，有些学生会有这样的直觉：时间之比等于对应速度之比的倒数。这是很好的状态！实际上，确定问题解决的方向，体现在解决问题的各个环节，直觉能定下解题方向，而解题方向的确定是解答的第一步，这在教学中非常重要，所以，教学时可以先让学生进行不动笔的独立思考，做整体解题方向的谋划，经常在这一方向上尝试，学生容易找到解答思路。

3.总结归纳提升时，结合反比例函数及其图象，比较子问题1中的特殊与一般的关系，学生体悟到当特殊有序数对（点）动起来，一系列的特殊有序数对（点）就是一般情况的反比例函数（图象），这有助于整体理解反比例函数，也为高中学习函数和解析几何打下基础。】

子问题3（小中乘公交车，带出环境污染）

（5）小中等待公交车约3分钟，如果公交车速度为每分钟300米，小中来学校大约要多长时间？

（6）一次遇上雾霾天气，公交车的平均速度不超过每分钟100米，小中要在7：30之前到校，并要留足等车的时间至少为5分钟，问小中最迟在什么时刻就要到达候车点？

【1.第（1）问仍是问题1第（1）问的变式，第（2）问是前两小问题的综合，要求略高一些。

2.该问题的教学活动可以是：学生口头表述，教师适当板书，在理解问题1和2的基础上，总结解决两个问题的方法，自主探索解决“反比例函数应用”问题的通法，并力求通法的书面表达简洁、完整和规范。本题设计一些较接近真实的实际情境，有一些干扰的情境，因此应分清主次，抓住重点――反比例函数的应用，其他的只是一些简单的调整或补充。

3.总结归纳提升时，要结合前面4个问题，明确（5）（6）两个问题主要内容仍是反比例函数，只是适当改变次要的情境，从而说明“从问题的主要部分入手”是解决问题的常规方法。并提出环境问题已成为全社会关注的热点问题，从而带出问题二。】

问题二 环境整治

子问题1（环境治理）

污水处理厂计划新建一个长方体污水处理池。处理池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系如图。

（1）求处理池的体积，请写出S与h之间的函数关系式；

（2）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，处理池的长和宽最多只能分别设计为40m和30m，那么处理池的深度至少达到多少时才能满足要求（保留两位小数）？

【1.第（1）问，以反比例函数的图象作为已知条件，待定解析式；第（2）问，给出长方体两个量的范围，求第三个量的范围。

2.该问题的教学活动可以是：让学生到讲台上结合图象，边演示边与其他学生交流，教师适当点评。第（1）问，是面对图象情境，培养学生读图、识图和用图能力；第（2）问，让学生建立等与不等之间的联系，逐步认识到等与不等是相对的，即它们既有联系，又有区别，逐步渗透辩证的数学哲学思想，并体验如何将复杂的问题转化成熟悉的问题的思维路径，这里比较陌生的“不等问题”就有两种转化的路径：借助函数的图象直观和运用熟悉函数的等式形式。

3.总结归纳提升时，从“数”与“形”两个方面分别归纳总结与提升，重点和学生一起体悟“面积S随高度h的增大而减少”的真实情境，同时顺便指出应有“防重于治”的理念，带出环保问题。】

子问题2（环境保护）

学校准备绿化校园，利用围墙的一个直角，（∠ABC=90°）围成一个面积为600m2的绿化带，由于场地限制，要求墙面AB的长不长于60m，且不短于35m。

（1）求墙面BC的长度范围；

（2）探索斜边AC的长是否可能为50米，说明理由。

【1.第（1）问利用反比例函数图象，结合图象直观求出BC的长度范围，也可以利用反比例函数的性质，确定墙面BC的长度范围；第（2）问利用反比例函数的两个变量之间的关系，设AB=x（x>0），则BC=，由勾股定理可得x=40或x=30，结合条件，可得AB=40m，BC=30m。

2.该问题比较开放，教学活动可以是：学生先自主探索，再合作交流。第（1）问条件中墙面AB的范围反映到图象上，其图象只是反比例函数图象的一部分，教学时从代数式和图象两个角度，领会范围的含义；由于第（2）问是探索型的问题，教学时，要腾出时空，让学生自己充分思考、探究和交流。

3.总结归纳提升时，结合上面的问题，归纳出反比例函数模型的特征：两个量的积为定值；结合问题二中的子问题1，重点体悟反比例函数中的等与不等的关系，进一步体悟“万事皆有联系”，从而产生环境综合防治的念头，进而带出问题三“调研报告”。】

问题三 调研报告

小省、小清和小中根据上述一些环境问题，作了大量的调查研究，完成了纸质的调查报告，字数为2400个。老师看了调查报告，觉得很好，就准备录入电脑，转邮淮安环保局。

（1）若老师边录边校对打字速度为每分钟60个字，则录完调查报告需多少时间？

（2）若老师先录再校，每分钟录入字数为120个，每分钟校对字数为80个，请问老师采用哪种方式完成较省时？

【1.第（1）问利用反比例函数；第（2）问两次应用反比例函数，再比较两种方法所需时间，进而比较两种方法的优劣。

2.该问题的教学活动可以是：课堂练习，用于学生独立探索和小结，同时获悉教学反馈信息。作为课堂结束，尽可能让学生回归到简单的、本质的数学问题中，因此问题不宜繁难，同时课堂上独立练习，有助于学生积极思考，从而形成个性化的思考，教师同时根据教学反馈布置作业和后续教学。

3.总结归纳提升时，结合学生的板书情况，总结反比例函数模型的应用的基本思路，提出要求：找出生活中有关反比例函数运用的实际问题，并试着解决。同时布置与本节课相关的作业。】

（作者单位：江苏省靖江高级中学）