中学数学解题中极限思想的渗透

摘要：常规数学题解法千变万化，似乎与极限不相干，但极限思想的引入，使有些数学问题的解题思路忽然开朗，解法大为简单。

关键词：数学 解题 极限

数学教育家G・波利亚指出“对于任何一门学科，我们要掌握两方面的东西――知识和技巧”，对于数学学科而言，知识是书本上的概念、定义、公理、定理、命题、性质和法则等，技巧是书本的内容所反映的数学思想与方法。数学解题既是数学知识和数学思想方法的运用，也是解题者思维能力的综合体现。数学解题方法多种多样，各有巧妙不同，很多数学题似乎也与极限不搭界，正是在这貌似无关的表面背后隐藏着无限玄机，恰当引入极限的思想对有些数学解题带来了奇妙的效果。

【极限准备】：

1.当时x0，■∞；

2.当时x0-，■-∞（k＞0）；

3.当时x0+，■+∞（k＞0）；

4.初等函数f（x）的定义域为D，则■f（x）=f（x0）。

非极限类中学数学解题中极限思想的运用源于偶然。

在实数大小比较中有如下问题：从甲地到乙地水路的距离为S，在平静的水面上，以固定速度V来去一趟花时T1，若去时顺水，回时逆水，水流速度为V0（V0＜V），来去一趟花时T2。试比较T1，T2的大小。

多数学生的解法如下：

解：T1=■，T2=■+■

T1-T2=■-（■+■）=-■

且，V0＜V，V2-V02＞0，从而有T1-T2＜0

T1＜T2。可见有水流时花时较多。

我在点评时有一位学生插话说：“这种解法太烦了”，我请该学生讲讲他的解法，他说：“我知道有水流时花时较多，但不知该如何写”“那如何肯定后者花时多呢？”我将了他一军，被我一逼说了如下解法：当水速接近船的固定速度时，回来的时间就非常非常大，可以肯定有水流时花时较多。

我当时给了该学生肯定和鼓励，我惊奇于学生的创造性，虽未学过极限，已在运用极限的思想了，解法真是独具匠心，简洁明了。

我们用极限符号书写上面问题的解法应是：当V0V-时，■+∞，可见T1＜T2，即有水流时花时较多。以后陆续发现很多数学问题渗透极限思想后简化了解题过程。

问题1（函数类）：函数y=■的值域是（ ）

A.[-∞，-1] B.(1，+∞)

C.[-1，1) D.（-∞，-1]∪（1，+∞）

通常的解法是用反函数的办法来求，解法如下：

解：由y=■可得x2=■，x2≥0，■≥0?圯y≤-1或y＞1，从而得答案为D。

而我们用极限的思想考虑有：x21-时，y-∞；当x21+时，y+∞。可见，答案为D。

问题2（三角类）：当0＜?兹＜■时，正确的是（ ）

A.cos?兹＜sin?兹 B.cos?兹＜tan?兹

C.tan?兹＜cos?兹 D.sin?兹＜tan?兹

常用方法是单调性和特殊值法。而本题用特殊值法容易出现两个答案，而用极限的思想则可轻松解决。

解：当x0时，cos?兹1，sin?兹0，tan?兹0；当x■时，cos?兹■，sin?兹■，tan?兹1。可见在0＜?兹＜■范围内，sin?兹，cos?兹的大小一目了然，而cos?兹，tan?兹的大小无法确定，这就排除了A，B，C，答案只能是D了。

问题3（解几类）：设抛物线x2=2py（p＞0），证明在y轴的正向存在一点M,使得抛物线的过M点的弦PQ，有■+■取定值。

分析；假定存在这样的点M（0，y0），当PQy轴时，P（x0,y0），Q（-x0,y0），则，■+■=■+■=■=■。当QO，则P点在无穷远处，有|MQ|y0，|MP|+∞，从而■+■■，则有y02=py0?圯y0=p。可以猜想M点为（0，p）。下面只需证明■+■取定值即可。

证明：存在点M（0，p），过M点的直线方程可设为x=tcos?兹y=p+tsin?兹（?兹为直线的倾斜角，t为参数），代入抛物线得：

t2cos2?兹-（2psin?兹）t-2p2=0，它的两根即为|t1|= |MP|和|t2|=|MQ|,

则t1+t2=■，t1・t2=■，

■+■=■+■=■=■。

问题4（数列类）：在数列{an}中，a1=1，对任意n∈N+，总有an+1=■，是否存在实数a,b使得an=a-b(-■)n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。

分析：若这样的a,b存在，由an=a-b(-■)n，运用极限思想，■，对an+1=■两边取极限有a=■，得到a=0或a=3。

若a=0，则数列{an}应以1为首项，以-■为公比的等比数列，从而a1=1，a2=-■，这与an+1=■的结论矛盾，应舍去。

若a=3，将a1=1代入an=a-b(-■)n得到b=-3，同样验证a1，a2也矛盾。所以，满足题意的a，b不存在。

由此可见，极限思想可以广泛运用于函数、三角、解几和数列等各类数学解题，运用得当则大大化解了解题难度，也可以用于定性分析，指导解题思路。极限思想的运用源于偶然，实则必然。极限思想和极限运算是运动变化中的思想法则和规律，静态的数学问题则是动态数学问题的一个瞬时态势，在培养学生数学思维和方法的过程中，特别是在数学解题的教学中经常渗透极限思想也是重要课题。

（责编 闫祥）