例析极端原理在中学数学解题中的应用

摘 要：在解题中，化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉、化抽象为具体时，常要考查有关对象、涉及的极端情形：数量的最值、极值、图形的界限位置、某种排列顺序的极端位置的元素性质，等等。这是因为极端情形比较容易、简单、熟悉、具体，极端情形的解与一般情形的解往往有共性，极端情形的解往往能给出怎样解一般情形的启示。利用极端情形解题的思维方法，称为极端原理。

关键词：极端原理

极端原理是解决数学问题的一个重要方法，从极端情形（最大值、最小值、极端有利、极端不利、边界情形、极端位置等）入手分析，往往能发现解决问题的突破口。

一、利用极端原理，巧探变量取值范围

数学解题中经常会遇到求变量取值范围的问题，若能预先求出范围的上界（或下界），则所求的范围将应运而生。

例1：正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

A.（■π，π） B.（■π，π）

C.（0，■） D.（■π，■π）

解析：当正棱锥的顶点无限接近于底面时，两侧面所成的二面角无限接近于π；当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近于正多边形的一个内角，即■π，因此答案为A。

二、利用极端原理，简化运算优化解题方法

数学中的有些计算，若以常规方法进行求解，可能计算会比较复杂，而从极端情形考虑，“框定”运算范围，往往能简化运算优化解题方法。

例2：黑板上写着从1开始的n个连续正整数，擦去其中一个数后，其余各数的平均值是35■，求擦去的数。

解析：考虑擦去数的极端情形，你能列出该状态下的平均值吗？显然擦去1与n是其极端情形。若擦去的数是1，则得平均值为■=■；若擦去的数是n，则平均值为■=■。

根据极端状态下的平均值与已知平均值的联系。显然有■≤35■≤■，从而69≤n≤70，即68≤n-1≤69。而n-1个整数的平均数是35■，所以n-1是17的倍数，故n-1=68，即n=69。

最后，设擦去的数为x，则■=35■。x=7，即擦去的数是7。

评析：此题的常规方法是列出方程，但运算复杂，而从其极端情形考虑很快获解，运算简捷、解法扼要。

三、利用极端，化不等为等

等与不等是数学中普遍存在的问题，不等的边界是等，若能将不等的问题转化为相等问题进行处理，往往会使问题的难度降低，缩短解题的过程和时间。

例3：已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，求p的值。

解析：显然，x=3是边界情形，注意到f（x）=|x2-4x+p|+|x-3|是R上的连续函数，于是有f（3）=5，解得p=8或p=-2。经检验，p=8符合题意。

同时，两者在解题中可利用极端原理实现等与不等的相互转化。

四、利用极端，解“恒成立”问题

“恒成立”问题往往有其边界情形，若问题只要对边界情形成立，就对一般情形也成立，此类问题很适合用“极端性”原理解之。

例4：已知对任意正自然数n，不等式nlga0）恒成立，则实数a的取值范围是_______。

解析：当lga>0，即a>1时，则不等式a>■对任意正自然数n恒成立，因为当n无限增大时，■无限接近于1，且■1；当lga

故所求实数a的取值范围是01。

五、利用极端原理，发现解题疏漏

在数学解题过程中，漏根、漏解是常见的错误，往往不易觉察。利用极端原理可检验结论的正确性，发现其不足与缺陷。

做人不宜“走极端”，但解数学问题时“走极端”却未必是坏事。这里的“走极端”是指从极端情形出发，考虑具有极端性质的数学对象，如数量的极大与极小，图形的极限位置、边缘位置，问题的最特殊之处（最有利、最不利等），从而发现解决问题的一般性规律。

以上主要从几个切入点说明极端原理在中学数学方面的一些应用，其实“走极端”的应用相当广泛，在此不再一一赘述。

（作者单位：安徽省淮南市第十九中学）