中学数学中有关对称的知识与思想方法

中学数学中，对称现象丰富多彩，在高质量的数学课堂教育教学过程中，利用这些知识，教会学生欣赏对称美，培养对称意识，能很好地激发学生的数学学习兴趣，培育学生的数学美感，从而更好地促进学生的理解进程，提高学生的对称思想意识与创新思维能力.

一、什么是对称

“对称”一词来源于希腊语，原义为“和谐”、“美观”，泛指物体的部分与部分、以及部分与整体间的位置的般配与和谐.在数学上，对称美一般指物体在量和量的关系上存在的一种直观的和谐，狭义地看，通常指的是几何、代数上的对称；广义地看，还包括有对偶、匀称等方面的意义.

形式和内容上的对称性，广泛地存在于现实世界的各类事物中，有周期、节奏和旋律等形式的时间对称，也有各种几何形式的空间对称，还有与时空等内容无甚关联的复杂对称.

在数学中，对称是数学美的一种表现形式.数学美和对称紧密相连，许多基本概念都以对称的形式体现着数学美，如奇数和偶数、质数与合数、正数与负数、左极限与右极限、复数与共轭复数，正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等；许多基本运算也体现着对称美，如加与减、乘与除、乘方与开方、函数与反函数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等.

二、中学数学中与对称性有关的知识内容

作为中学数学的主要工具，集合、逻辑、不等式、平面向量等知识中有许多与对称性相关的内容，如A？奂B？圳B？奂A；p∧q=p∨q，p∨q=p∧q；aa等等，此外，不等式中还有许多对称轮换式.

在函数中，对称性是非常突出的一个基本特征，不仅体现在直观的函数图象上，而且也体现在代数形式方面，例如：

（1）当且仅当f（x）+f（2a-x）=2b时，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称；

（2）当且仅当f（x）+f（-x）=0时，函数y=f（x）的图像关于原点O对称；

（3）当且仅当f（a+x）=f（a-x）时，函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称；

（4）当且仅当f（x）=f（-x）时，函数y=f（x）的图像关于y轴对称；

（5）解析式分别为y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的两函数图像关于点A（a，b）成中心对称；

（6）解析式分别为y=f（x）与y=f（2a-x）的两函数图像关于直线x=a成轴对称；

（7）解析式分别为y=f（x）与a-x=f（a-y）的两函数图像关于直线x+y=a成轴对称；

（8）解析式分别为y=f（x）与x-a=f（y+a）的两函数图像关于直线x-y=a成轴对称；

（9）解析式分别为y=f（x）的图像与x=f（y）的两函数图像关于直线y=x成轴对称.

对称性也是三角函数图像最为突出的特征，正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，有无数个对称中心与无数条对称轴，这样的对称性即使是圆也无法具备，我们可以把正弦函数y=sinx的所有对称中心表为（kπ，0）（k∈Z），把所有对称轴方程表为x=kπ+π/2（k∈Z），把正切函数y=tanx的所有对称中心表为（kπ/2，0）（k∈Z）.

数列作为一类特殊的函数，往往以周期、节奏和旋律等形式体现对称性，在等差数列求和公式证明中我们还利用了对偶的性质.最值得一提的是菲波那契数列，在这个数列中，前后项之比的极限恰等于黄金分割数.黄金分割是一个神奇的比例，我们对于许多事物的直观上的美感正是建立在各部分之间的协调的比例关系上.对称通常指的是部分与部分间的关系，但黄金分割数让我们认识到，对称的概念还具有和谐匀称这些涵义.数列中的对称性有着各种奇异的表现，例如，我们可以将哥德巴赫猜想理解为一个关于对称的存在性证明问题：对任何一个不小于3的自然数n，必存在两个不同的素数p、q，使得p-n=n-q.

直观意义上的几何图形的对称无处不在，而且丰富多彩，例如，正六面体各个面的中心可构成正八面体的顶点；球是一种最为简洁美丽的几何体，有无穷多个对称面、无穷多条对称轴和一个对称中心等等.

在解决立体几何问题时，如果图形是对称的，就应关注图形的对称面（如例1）；如果问题隐含有对称，就应通过添补辅助元素将对称性显现出来，例如，证明线面垂直判定定理时，我们就利用了镜面对称的原理.

例1：如图，在四棱锥B′-ABCD中，BB′垂直于正方形ABCD所在的平面，BB′=AB=1，过点B作垂直于B′D的截面BMPN，求∠MPN的大小.

排列、组合以及概率统计知识中也有许多对称内容，例如，二项式系数具有对称性，杨辉三角是一个对称的数阵；等可能事件和正态分布也有对称的涵义.在这些知识中，对称更多地体现为一种解决问题的方法.

例2：8个人排成一列购动车票，其中，甲比乙先买到车票的排法有多少种？

分析：甲站在乙之前，与乙站在甲之前是等可能的，有对称性，故排法种数是8个人全排列种数的二分之一.

解析几何融几何与代数的对称于一体，对称的特征更为突出，例如：

（1）点（a，b）关于点（x，y）的对称点坐标是（2x-a，ay-b）；

（2）点（a，b）关于直线y=±x+c的对称点坐标是（±（b-c），±a+c）；

（3）在方程f（x，y）=0中，若以-x替换，方程没有改变，则其所表示的图像y关于轴对称；若以-y替换y，方程没有改变，则其所表示的图像关于x轴对称.

三、关于对称的数学思想方法

对称是一种思想，连贯于数学的简单化、统一化思想，可以让人们更好地理解和领悟存在于宇宙世界中的秩序、美和完善.在古代中国，人们以“太极图”谱对宇宙间普遍存在的对立统一规律进行直观诠释，是对自然规律进行概括而产生的一种思想认识；在数学理论发展的过程中，数学家们对对称美的一贯追求，也是一种促以引导数学发现思维不断促进数学理论走向完善的美学思想.

在解决数学问题的过程中，对称是一种方法与策略，比如，当我们觉察到问题中的图形具有对称性时，就要进一步考察图形的对称轴（如例3）；当我们意识到问题内部可能隐含有对称时，就需要将对称的元素进一步明确下来（如例4）；当问题呈现明显的对称特征时，就要充分利用对称作为解决问题的重要条件（如例5、6）；在博弈与游戏中，双方轮番出招必有先后，着眼对称往往就能简易地找到出其不意的制胜策略（如例7）.

例3：已知抛物线经过点A（-2，3）与B（4，3），其顶点纵坐标为6，求抛物线的解析式.

例4：已知在某条河岸同一侧有两个村庄A和B，问如何在河上找一个位置修建桥梁M，使从村庄A和B到达桥梁M的路程之和最短？

例5：姐弟二人同在某个单位工作，姐姐从家里走到单位需要用20分钟，弟弟只需要用16分钟，若现在姐姐比弟弟早2分钟动身，问过多少时间弟弟能追上姐姐？

分析：若姐弟同时出发，则姐姐比弟弟晚到4分钟，现姐姐早出发2分钟，将比弟弟晚到2分钟，按对称性，弟弟与姐姐同时到达全程之中点，此时弟弟恰用了8分钟.

例6：解方程x4+4x3+6x2+4x+1=0.

分析：方程的系数1、4、6、4、1呈对称，若在方程两边同除以x2，则可将方程化为以x+■为未知数的一元二次方程.

例7：甲乙二人轮着在一张圆桌面上进行摆硬币游戏，规定：每次每人只能摆一枚5分的硬币，硬币摆上后不能互相重叠，不能超出桌子的边缘，经过充分多次轮流摆放后，无法在桌面摆下硬币的就输给对方，证明：先摆的那一个人总是可以胜出.

证明：制胜策略是：先摆的那个人将第一个硬币摆在圆心处，在后摆者将硬币摆在任何其它位置时，先摆的那一个可将硬币摆在与其对称的位置，因此，最后无法在桌面摆下硬币的一定是对方.所以，采用这种策略的先摆者一定可以胜出.

应用对称的思想方法解决数学问题，往往需要紧密联系各章节与对称相关的知识内容，需要具备很强的对称思想意识，它是一个欣赏的过程，也是一个培育数学美感的过程.培育数学美感与培养创新意识与创造能力等密切相关，是高质量的数学课堂教学中需要关注的重要问题.