函数对称性和周期性相关结论的探究

摘 要：函数是高中数学的核心内容，贯穿高中数学教学的始终.函数的性质体现了函数的基本特征，是研究函数的基本切入点，而函数的对称性和周期性作为函数的基本性质，是高考的重点与热点内容.利用对称性和周期性的一些常见结论往往能更高效简捷地解决相关的问题.本文通过函数对称性和周期性两个方面的探究得到一些相关的结论，并通过一些具体的例题进行应用。

关键词：函数；对称性；周期性；探究

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-03-0248-01

一、函数对称性相关结论的探究

定理1函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像关于直线x=0对称。

证明：在函数y=f（x）取任意的点（x0，y0），则点（-x0，y0）在函数y=f（-x）上。又知点（x0，y0）和点（-x0，y0）关于y轴对称，所以函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像关于直线x=0（y轴）对称。

推广一函数y=f（x）的定义域为I，函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是：对于任意的x∈I，都有2

f（x）=f（2a-x）或f（a+x）=f（a-x）。

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，点P（x，y）关于直线x=a的对称点P′（2a-x，y）也在y=f（x）图像上，则有y=f（2a-x），所以f（x）=f（2a-x），若将x换成x+a可以得到f（a+x）=f（a-x），必要性得证。

（充分性）设点P′（x′，y′）是y=f（x）图像上任一点，则y′=f（x′），因x′满足f（x）=f（2a-x），有f（x′）=f（2a-x′），则点P（2a-x′，y′）也在y=f（x）的图像上，有知点P与点P′关于直线x=a对称，则函数y=f（x）图像关于直线x=a对称，所以充分性得证。

定理2函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图像关于直线y=0对称。

证明：在函数y=f（x）取任意的点（x0，y0），则点（x0，-y0）在函数y=-f（x）上，又点（x0，y0）和点（x0，-y0）关于x轴对称，则函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像关于直线x=0（y轴）对称。

定理3函数y=f（x）与函数y=-f（-x）的图像关于坐标原点中心对称。

证明：在函数y=f（x）取任意的点（x0，y0），则点（-x0，-y0）在函数y=-f（x），点（x0，y0）和点（-x0，-y0），关于原点对称，则函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图像关于原点对称。

推广：函数y=f（x）的定义域为I，f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是：对于任意的x∈I，都有f（x）+f（2a-x）=2b。

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，则2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。

（充分性）设点P′（x′，y′）是y=f（x）图像上任一点，则y′=f（x′）

又因为f（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x′）+f（2a-x′）=2b，即2b-y′=f（2a-x′），故点P（2a-x′，2b-y′）也在y=f（x）图像上又知点P与点P′关于点A（a，b）对称，所以f（x）的图像关于点A（a，b）对称，所以充分性得征。

二、函数周期性的相关结论的探究

定理4在定义域内满足下列条件之一的函数，周期T=2a。

证明（1）：由f（x+a）=-f（x） ①。

可以得到f（x+2a）=-f（x+a）=f（x） ②。

由①、②两式得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），则函数f（x）的周期T=2a。（2）、（3）证明过程略。

三、和函数对称性和周期性相联系的结论

定理5若y=f（x）图像有两条对称轴x=a，x=b（a≠b），则y=f（x）必是周期函数，且一周期为T=2|a-b|。

证明：若函数y=f（x）的一条对称轴为x=a，则有f（2a+x）=f（-x），又知道y=f（x）另一条对称轴为x=b，有f（2b+x）=f（-x），可以得到f（2a+x）=f（2b+x），所以函数y=f（x）周期为T=2|a-b|。

推广一：若y=f（x）图像有两个对称中心A（a，0），B（b，0）（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且一周期为T=2|a-b|。（证明过程留给读者）。

推广二：如果函数y=f（x）的图像有下一个对称中心A（a，0）和x=b（a≠b）一条对称轴，则函数y=f（x）必是周期函数，且一周期为T=4|a-b|（证明过程留给读者）。

推广三：如果y=f（x）是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f（x±nT）=f（x）（n∈Z）（证明过程留给读者）。

四、举例应用

例1 定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在区间[3，5]上单调递增，则函数f（x）在区间[1，3]上的（ ）

A.最大值是f（1），最小值是f（3）

B.最大值是f（3），最小值是f（1）

C.最大值是f（1），最小值是f（2）

D.最大值是f（2），最小值是f（3）

解析：依题意知，f（x）的图象关于x=1对称，且f（x）关于原点对称，因此函数是以4为周期的周期函数。又知函数f（x）在[3，5]上单调递增，则f（x）在[-1，1]也单调递增，根据图象的对称性知f（x）在[3，5]上单调递减。故选A。

例2 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）=f（2-x），当x∈（0，1）时，f（x）=x2，则f（9.5）=_________。

解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以直线x=0是y=f（x）对称轴；又f（x）=f（2-x），所以x=1也是函数y=f（x）一条对称轴，可以结合这两点画出函数y=f（x）的简图，通过图像可以看出y=f（x）是以周期为2的周期函数。也可以直接用结论5来得到函数f（x）的周期T=|a-b|=2，

f（9.5）=f（10-0.5）=f（-0.5）=0.25。

例3 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），

x∈（0，1）时，f（x）=log2x，则f（7.5）=_________。

解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，其图像关于原点对称，f（x+2）=-f（x）=f（-x），f（1+x）=f（1-x），

所以直线x=1是y=f（x）一条对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数，由此得f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=1。

参考文献

[1]钱珮玲.普通高中课程标准实验教科书数学1[M].人民教育出版社，2007，（1）.

[2]武增明.关于递推函数周期的一些结论[J].数学教学参考，2007，（3）.