数学思想 解题灵魂

在近几年数学学习中，加强了数学思想的渗透与教学，运用数学思想指导解题，收到了事半功倍的效果，以至到了高一级的学校学习数学，觉得仍有后劲。相应地，在近几年中考命题时，都比较重视对运用转化思想，方程思想、数形结合思想及分类思想方面的考查。这样，试题的档次明显体现出较深的内涵，较高的品味。

解数学题需要有一定数量的题目进行训练，但这并不是说题目做得越多，解题能力就越强。重要的一点是要把解题的过程纳入一个系统，对解题有一个宏观的指导，以便在解题中克服盲目性，防止模式化。其中作为解题灵魂出现的，便是我们常说的数学思想。在初中阶段，常见的数学思想有转化思想、方程思想、数形结合思想、及分类讨论思想等。如果在平时学习及初三总复习阶段运用数学思想去指导学习或解题，则会使解题能力大大提高。

下面我想通过一些例子对这几种数学思想做一简介

一、转化思想

在中考中，许多题目，尤其是具有选拔功能的综合题，大多是命题人员精心编制的，或对一些题目着意予以改造的，因此，这类题目往往比较新颖也感到无比生疏。再解这些难度较大的题目时，须运用转化的思想去进行思考，设法把生疏的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题化成简单的问题，这种化归的思想，正是指导我们的思维对过去做过的题目进行“扫描”、“搜索”，从而解决新的问题。

例1、已知：如图，AB是F的直径，AC切O于A，CB交O于D，E是弧DB上一点，且∠EBD=∠DBA，又AC=，AB=，求DE的长。

分析：观察图形，看到DE是F的一条弦，又是DEB的一条边，但它与给出长度的AC，AB并无直接联系，给解题造成了困难。那么如何下手，寻求解题思路呢？运用转化的思想，看看能否寻到一条与DE等长的线段，而这条线段又易与AC，AB建立联系。由圆周角∠EBD=∠DBA，连结AD后，便得知AD=DE，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，本着“知二求四”的规律，AD可求，便间接求出了DE的长，正是“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”。解略

在运用转化思想进行思路探求是，常有相等线段的转化、相等角的转化、相等比的转化、等积的转化、等弧的转化及形式上的变换等等。

二、方程思想

在解数学题时，欲求的结论必须和已知条件建立起联系，才能求出结果。通过列方程（组）建立它们之间的关系，从而实现目标。

例2已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO，BO的长分别是关于的方程的两个根，又知菱形ABCD的周长为。求的值。

分析：此题有一元二次方程根与系数的关系可知。欲求的值，必须找到AO与BO之间的联系。由菱形的性质可知AOBO且AB=5，显然可用勾股定理建立它们的联系，通过方程，实现了求的值的目标 。解略。

三、数形结合思想

数和形反映了事物的两个方面，数无形，少直观；形无数，难入微。因此，在解决有关数的问题时，需画出图形或结合给出的图形去寻求数之间的联系；在解决形的问题时，又常常通过数的计算去找到图形之间的联系。这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点，较易找到解题途径。

例3：已知：A、B、C三点的坐标分别为（0，1），（-1，0），（1，0），P是线段AC上一点，BP交AD于D，设ADP的面积为S，P点的坐标为，写出S关于的函数表达式。

分析：如图，我们先画出此题的示意图，发现图中隐含着许多性质，它们都和解决此题有着密切的关系。欲求ADP的面积，由于P点坐标为，故知AD边上的高为，于是解决此题的关键是求AD的长或AD与的关系。

由AD=OA-OD=1-OD，问题又转化为求OD；又BOD∽BEP，于是，又需设法求PE.OE而PE=，OE=，许找出与的关系。在PEC中，PE=EC=。故 OE=1-EC=。解略。至此思路畅通了。

如果我们不结合图形挖掘图中的隐含条件，很难找到解决此题的思路。

四、分类讨论思想

分类讨论思想，即思维的周密性。比如，当解字母系数方程时，要考虑到中的的各种情况；当解不等式ax﹥b时，要考虑到中的各种情况；当化简∣x∣=a时要考虑到x中的各种情况；当给出等腰三角形两条边的长度时，要考虑哪条是腰，哪条是底；当给出一个三角形时，要考虑到它是锐角三角形，还是直角三角形，或是钝角三角形等等。这种分类讨论的思想第学生今后的学习影响深远，因此也是考查的重点之一

例4：如图，M为正方形ABCD边AB上的任意一点（不与A、B两点重合），E是AB延长线上的一点，MNDM，且交∠CBE的平分线所在直线于N。

（1） 求证：MD=MN

（2） 若将上述条件中的“M为AB边上的任意一点（不与A、B两点重合）”改为“M为直线上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。

分析：（2）因为点M为直线上一点，需进行分类讨论。有以下两种情况（如图）第一种情况：当点M在射线BE上。第二种情况：当点M在线段BA的延长线上。解略。

第一种情况 第二种情况

总之，在初三总复习过程中，不仅要揭示解题过程中蕴含的数学思想方法，更重要的是积极引导学生，潜移默化地渗透给学生，这不仅仅提高解题能力，更使学生终身受益。

______________

收稿日期：2013-07-25