中考二次函数与“存在性问题”的研究

近年中考题中，关于存在性的问题不时出现.由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，技巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高，所以一直是连续几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目.

存在性问题的求解思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由这个假设出发，结合已有条件或挖掘隐含条件，辅以方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等进行正确地计算、推理，再对得出的结果进行分析、验证，判断是否与题设、公理、定理等相吻合.若无矛盾，说明结论正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.

一、以点的运动为背景，探究等腰三角形的存在性问题

y=12x2+bx+c

与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

二、以点在抛物线上运动为背景，探究三角形相似（或全等）的存在性问题

例2（2010 甘肃） 如图4，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）（2）略.（3）连接AC，可知RtCOA∽ RtBCD，得符合条件的点为O（0，0）．

过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 ∽ RtCOA∽ RtBCD，

求得符合条件的点为P1(0,13).

过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA∽ RtCOA∽ RtBCD，

求得符合条件的点为P2（9，0）．

所以符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,13)，P2（9，0）.

点评：本题渗透了分类讨论和数形结合的数学思想，分类讨论画出图形来确定点P的位置，根据图形求出P点坐标.

三、以点在抛物线上运动为背景，探究图形周长或面积最大（小）的存在性问题

例3（山东济宁）如图5，在平面直角坐标系中，顶点为（

4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（

0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与圆C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C 两点之间，问：当点P运动到什么位置时，

PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.

点评：能够找出关键点的坐标，建立一个合适的函数关系式，根据函数关系式和自变量的取值范围来确定相应的最大值或最小值.

四、以点在抛物线上运动为背景，探究直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、直角梯形等图形的存在性问题

解后反思：本题综合考察了求交点坐标、求函数解析式、直角梯形性质等知识，既是代数与几何的有机结合，又有运动与静止的辨证统一.其解法由直角梯形的两底平行得出顶点P是直线AP或OP与抛物线的交点，需要学生有较强的观察能力及分析问题能力.

五、以点在抛物线上运动为背景，探究圆的存在性问题

例5（四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-3,0)，若将经过A、C两点的直线

y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

x=-2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段

AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为SABP、

SBPC，且

SABP∶

（3）设圆Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在圆Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设圆Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，圆Q与两坐标轴同时相切？

解：（3）（Ⅰ）假设圆Q在运动过程中，存在圆Q与坐标轴相切的情况.

评注：此题在内容上涉及了方程、函数、圆等诸多知识点及能力要求，融入了动态几何的变与不变的特性.解答这类题型关键要注意“动静结合、以静制动”，抓住圆在运动过程中与坐标轴相切的静止的瞬间作为突破口，利用圆心在抛物线上的坐标之间的关系求出圆心坐标. 其重要数学思想“分类讨论”思想贯穿于整个解题过程中.

综上所述，解决存在性试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，同时要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆的有关性质、图形的面积关系等，并利用方程这个桥梁，得到函数关系式.因此，在中考复习中应有意识地加强这方面的训练，培养学生解答这类试题的能力.