面积问题的解法探究和思考

一、提出问题

1.中考试题.如图1，抛物线y=ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积．

2.参考答案.（1）解析式为

y=-12x2-x+4，D点坐标为（－1，

92

）．

（2）探求得直线EF的解析式为y=12x +

32．设K（t，

-12t2-t+4），

xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN=yK－yN =－

12t2-t+4-（12t+32）=

-12t2-32t+52．

所以SEFK=SKFN+SKNE=12KN（t+3）+

12KN（1－t）=2KN =－t2－3t + 5 =-（t +

32）2+

294

．

即当t =－32时，EFK的面积最大，最大面积为

294，此时K（

-32

，358）．

3.质疑思考.本题条件是“点K在x轴上方的抛物线上”，但参考答案只对“xF＜t＜xE”作了解答，那么 “xA＜t≤xF”、 “xE≤t＜xB”会怎么样呢？笔者认为这是一个名副其实的“参考答案”，不够严谨．如果要完整地解答此题就必须分类讨论，分类表示SEFK又是一个复杂的问题．

像这样的面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.笔者研读了2009年和2010年部分中考试题及解答，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论．笔者进一步研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用简单的平移法来解决．

二、解法来源

1.书本习题.人教版教科书91页习题19.1第8题：如图2，直线l1∥l2,ABC和DBC面积相等吗？你还能画出一些与ABC面积相等的三角形吗？

2.习题解答.显然，ABC和DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高．直线l1上任意一点P与B、C两点构成的PBC与ABC面积总相等．

3.习题启示.可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形．

三、解法探究

1.动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型

例1（2009年济南）已知：如图3，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴为

x=-1与x轴交A、B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）若点D是线段OC上的一个动点．过点D作DE∥PC交x轴于点E.设CD的长为m，

PDE的面积为

S．求S与m之间的函数关系式．试探讨S是否存在最大值，说明理由．

解：（1）抛物线的解析式为

y=23x2+43x-2.

（2）连接AD，因为

DE∥AC, 所以S=SAED， OED∽OAC.

所以ODOC=OEOA，即

2-m2

=OE3

，所以

OE=3-32m.

所以AE=32

m.

所以S=12・32m(2-m)

=-

34m(m-2).

所以当m=

0+22=

1时， S最大=34.

点评：本题的动点D在直线上运动，没有采用分割的方法也没有分类讨论，而是利用题目先天的DE∥PC条件，把PDE等积变形为一边在坐标轴上的ADE，便于表示

PDE的面积，建立函数模型解决问题．

例2 （2010年三明）如图4，已知抛物线y=

ax2+bx+c (a≠0)经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线

x=-2．

（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（4）在（3）的基础上探讨S是否存在最大值，说明理由．

解：（1）A点的坐标为（-6，0）.（2)解析式为

y=-23 x2-83x+8.

（3）过点F作FGAB，垂足为G，因为EF//AC.所以

S=SAEF,BEF∽BAC,

所以FGCO

=BEAB

，又AE=m，BE=8-m ，所以

FG8

=8-m8

，所以FG=8-m,所以

S=12m(8-m)，

（4）由（3）得当

m=0+82=4时， S最大=8.

解题策略：以上两例都是动点在直线上运动，利用天然的平行条件，通过等积变形，把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形，从而比较简捷地建立函数模型，应用函数知识解决问题．不必分割，不必分类．

2.动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型

例3（2010年恩施）如图5，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出最大面积.

解：（1）函数表达式为y=x2-2x-3．

（2）因SABC=6，所以当BPC的面积最大时，四边形 ABPC的面积最大．作PQ∥BC交y轴于点Q，则SBPC=SBQC，BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点．设直线PQ：y=x+m，得方程

x2-2x-3=x+m，当Δ=9+4(m+3)=0时，

x=32， m=

-214，所以SBQC=

94

．

点评：本例是动点在抛物线上运动，没有天然的平行条件，采用构造平行线的方法，等积变形为有一边在坐标轴上的图形，建立方程模型解决问题．

例4（2010年宜宾）如图6，将直角边长为6的等腰RtAOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?请说明理由．

简析：本题的第（2）是动点P在直线上运动类型，利用天然的PE∥AB条件，把S

APE转化为一边在x轴上的SBPE，建立函数模型解决问题．第（3）题是动点在抛物线上运动类型，直接求出直线HG的解析式，更显此法的优越性．

再来看看问题一中的那道中考题该怎样完整地解决？

解：图7，探求得F点坐标为（-3,0），直线EF为y =

12x +32．过K点作EF的平行线，交y轴于M点，设直线KM的解析式为y =12x+b，EFK的边EF为定值，又CE=EB，平移直线KM可知，当KM与抛物线有且只有一个公共点时，EFK的高取得最大值，从而面积最大．由方程

-12x2-x+4=12x+b得=0，得

b=418， x=-32， K点坐标（

-32，

358），SEFK=SEFM=

294.

点评：动点K在抛物线上运动，构建平行线后，虽然不能转化为有一边在坐标轴上的三角形，但是依然可以通过平移直线的方法建立方程模型解决问题．K点和M点虽然都是动点，但却有本质的区别，M点只能在y轴上上下移动，但一定在E、F之间，所以不必分类，但K点却是上下左右都移动，完全可能不在E、F之间，那就必须分类讨论．

以上解法简单地说就是利用平行线或构造平行线，实际是平移思想的具体运用．用平移的观点看待问题，会使问题显得简单、易理解，许多问题可以通过平移直线来解决.

四、再思考

1.命题启示

为什么学生采用了分割法建立面积函数解决问题？笔者研究发现，一些中考试题要求学生建立面积函数再求最值，这些试题试图给学生思考的台阶，实际却束缚了学生的思维．作为一道好的中考题，应该给学生充分发挥个人才智、展现独特个性、彰显创新成果的空间，中考题是教学的指挥棒，是学生学和教师教的参照标准，中考怎么考，教师就怎么教，学生就怎么学，因此作为命题者一定要慎重！

不严谨的教学、不严谨的答案，都会影响学生的思维，形成学生思维的不严谨性，教师在教学中一定要培养学生严谨的思维习惯，否则会影响学生的后续学习，甚至造成学生为人的不严谨、工作的不严谨，教师是学生的楷模，应该做好“严谨”的示范，中考题是教师教学的风向标，更应做好教师“严谨”的标杆．

2.教学启示

为什么命题者也给出分割法建立函数求最值？难道这些教育专家不知道这种解法吗？笔者研究发现，课改后，教材新增了平移章节，这是新教材的一大亮点，实际上是提前渗透了平移的思想，各级教学教研人员也要转变观念、研究教材、领会教材的思想，培养学生平移的思想观念，这样才能让学生领悟教材，探索到更好的解题方法．

平移直线的解法来源于对书本简单习题的思考，书本习题是经过教育专家的研究而设立的，其内涵丰富，对强化基础知识和基本技能，开发智力、培养能力以及对后续学习有着不同寻常的作用，研究各地每年的中考试题都会发现书本习题的影子，这启发我们在日常的教学活动中，要加强对课程的研究，重视书本习题的作用，对教材里的习题作适当的补充挖掘，把课本习题用足、用好、用到位，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识，达到事半功倍的效果．