高等数学中微分概念的说课

摘要：说课是教学研究的一种形式，是提高教师教学能力和业务水平的有效途径之一。本文以微分概念为例，从教材教法、学情学法、教学程序、板书设计四个方面进行说课。

关键词：说课；微分概念；教学程序；导数

中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）05-0049-02

说课是指教师面对同行、专家或评委，在规定的时间内，针对具体课题，采取讲述为主的方式，系统地分析教材和学生等，并阐述自己的教学设想及理论依据。说课起源于河南省新乡市红旗区的教学实践，由于其高效、简便易行的特点，在全国得以广泛推广，成为一种新的教学研究和教学交流形式。说课是研究教师“教什么、怎样教、为什么这样教”，有利于提升教师的教学能力，同时有效提高教育教学的质量。依据说课类型、形式及目的不同，说课程序要求也不尽相同。本文就《高等数学》中微分概念一节，给出理科教学说课的一般程序，涉及教材教法、学情学法、教学程序、板书设计四个方面。

一、教材教法

1.教材分析《高等数学》是理工科类本科学生必修的一门重要的基础理论课，是学习后继数学课程及专业课的基础。通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力和自学能力，还特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力。《高等数学》主要由微分学和积分学两部分组成，而微分学又是积分学的基础。“微分概念”是高等学校教材《高等数学》（同济大学第五版）第二章第五节的教学内容，包括微分定义、函数可微条件和微分的几何意义。微分是一元函数微分学的一个基本概念，与另外一个基本概念――导数有着密切的联系。导数的基础知识为学习微分概念提供了必要的准备，同时，微分也是由微分学顺利进入积分学的关键概念，因此微分概念有承上启下的作用，架起了微分学与积分学的桥梁，其地位不容忽视。依据本科教育的培养目标和学生未来发展的要求，确定本节课的教学目标为：（1）理解微分定义，掌握函数可微条件和微分公式，了解微分的几何意义并领会微分思想。（2）培养学生的逻辑思维能力和进行知识迁移的能力。（3）激发学生的学习热情，培养踏实、严谨的学习态度。本节课的教学重点是函数可微条件和微分公式，这是函数微分应用的基本要求。在教学过程中充分采用问题驱动法，通过类比和化归建立导数与微分之间的关系，从而把握重点。由于微分概念比较抽象，因此理解微分概念，领会微分思想是教学的难点，在教学中通过实例引入、多媒体演示、背景知识介绍等方式来突破难点。

2.教学方法。课堂教学要以学生为主体，面向全体学生，使其积极主动、全面发展。教师要严格按照学生的认知规律组织教学，适时引导和启发学生，促进学生积极思考。依据教材的知识结构，遵循概念教学的一般规律，即由具体到抽象（由实例引入概念）、由特殊到一般（将实例的结果推广）、由感性到理性（从几何意义中获得思想方法）。

二、学情学法

1.学情分析。本节课的教学对象是计算机系学生，其特点是形象思维好，学习态度积极，愿意与老师配合。在知识内容掌握上，对导数概念有了深刻理解，同时具备熟练计算函数导数的能力。其学习障碍是对概念的理解存在一定困难，特别是对概念所蕴含的思想和方法短时间内无法真正掌握，仍然需要一个过程。

2.学法指导。依据学生的认知特点，首先在已有的知识基础上引入新知，其次通过类比、联想和转化，建立新旧知识间的联系，利用旧知掌握新知，最后检验学生应用新知情况，使学生进一步消化、理解和巩固新知，熟练技能，提高能力。

三、教学程序

1.创设情境、引入新课。给出一个具体实例：一块正方形金属薄片受到温度变化的影响，其边长x0有增量Δx时，求其面积S的增量ΔS。利用初等数学的知识，学生通过计算很容易得出问题的答案：ΔS=2x0Δx+（Δx）2然后结合正方形图像对计算结果中的两项进行分析，从而得到正方形金属薄片面积增量ΔS的线性近似值2x0Δx，且误差（Δx）2较小。由此，引入本课的研究内容：求一元函数增量Δy的近似值，要求近似值的计算简便且保持一定的精度。通过实例来引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，加强学生的感性认识，提高学生的学习兴趣。

2.建构概念、揭示规律。把实例中的函数S=x2性质推广到一般函数y=f（x）上，从而给出数学模型，即微分的定义。定义较为抽象，为了深刻理解其含义，提出几个问题让学生思考并回答：（1）函数可微指的是什么？（2）什么是函数的微分？（3）函数的微分与函数增量有什么关系？（4）微分的作用是什么？通过解答问题，使学生全面了解微分的定义。之后进一步深入讨论：函数在满足什么条件时才可微？教师要适时提示学生，将导数与微分概念联系起来对比和分析：（1）若函数可微，那么函数是否可导？（2）若函数可导，那么函数是否可微？通过这两个问题的解答结果，从而得到函数可微的充分必要条件以及函数的微分公式。通过问题驱动，激发学生的求知欲，引导学生进行积极思考，逐步培养学生的逻辑思维，体会数学由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，同时引导学生进行知识迁移，建立新旧知识间的联系，从而完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

3.深化概念、提高认识。教师借助多媒体进行图形演示，引导学生观察出函数增量和函数微分的关系，从而获得微分的几何意义。在此基础上，教师对微分概念的思想方法及应用情况等相关背景作简单阐述，使学生的认识更加深入。利用直观图像可以启迪思维，让学生体会数形结合这一常用的数学方法。增加背景知识，能够让学生更深刻的理解微分概念，领会和把握其思想，认识到微分方法的重要性。

4.自我尝试、运用概念。给出三个例题，由学生独立完成后，再由教师做点评。例题设置要由易到难，具有层次性，便于学生解题能力的提升。通过例题可以检测学生对知识的掌握情况，找到差距，更进一步巩固和深化新知，让学生知道数学重在应用，培养学生运用所学知识解决问题的能力，有利于学生养成良好的思考习惯。

5.归纳总结、分层作业。引导学生回顾本节课学到的概念、方法、定理和公式，锻炼学生的归纳概括能力，有利于学生理清思路，从整体上把握内容，抓住要点。布置的作业分巩固题、思考题和提高题三种类型，以适用不同层次学生的需要，从而分类推进，促进学生的共同发展，同时也要考虑到为学习下节课的内容做好铺垫。

四、板书设计

简单明了、重点突出的板书便于学生复习和巩固，也可以帮助学生形成较为完整的知识结构。本节课的板书设计为：微分定义：线性近似。函数可微条件：可微?圳可导；微分公式：dy=f'（x）dx。微分几何意义：以直代曲。例题1、2、3（略）在本节课的教学中，贯穿全过程的指导思想是：遵循由感性到理性、由已知到未知、由具体到抽象、由特殊到一般的认识过程，秉承“从学生实际出发，一切为了学生的发展”的教学原则，不断启发学生深入思考，使新的知识内化成为他们自己的认知。同时，在新知的传授过程中不断培养学生分析问题和解决问题的能力，教学方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“教有设计、学有方法、做有目标”。在教材内容的处理上，新增加微分概念的产生和应用的背景知识，可以有效加深概念的理解和思想内涵的把握，同时也是对新知识的有力拓展，为积分学的学习埋下伏笔。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]戴汝潜.说课论[M].北京：北京科技出版社，1996.

[3]石晓英等.说课论[M].北京：北京科技出版社，1996.

[4]刘大春，张天虎，李万富.教师如何说好课[M].天津：天津教育出版社，2009.

作者简介：李令斗（1972-），男，安徽肖县人，硕士，讲师，从事大学数学教学和研究工作。