浅议《高等数学》中的概念教学

【摘 要】 作者认为高等数学概念教学是一个动态过程，教师应注重激发学生的兴趣，引导学生积极参与概念形成过程之中;因势利导，理解和掌握概念的本质与表达形式;通过练习、总结和复习，不断强化概念和巩固概念。

【关键词】 高等数学;概念;教学方法

高等数学概念是高等数学知识体系的基础和核心，是高等数学思维的细胞与根基，是导出数学定理和法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。如果学生概念不清，必将会表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。李邦河院士认为“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！” 正确理解概念是学好高等数学的基础，学生学习高等数学之所以感到特别难，概念模糊不清往往是最直接的原因，特别是数学基础差的学生，其关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面差，因此，抓好高等数学概念教学是提高数学教学质量的前提与突破口。

一、激发学生的兴趣，促其积极参与到概念的形成过程之中

概念的形成过程，是一个创造性的探索过程，不是被动的接受过程。学习数学概念时，很多学生有一个很不好的惰性习惯：认为数学概念是枯燥的条条框框，是数学家们凭空想象的，这是他们的事，对概念的形成过程漠不关心。以为只要凭死记硬背，能记住书中的概念原话就是掌握了概念的实质，就会应用概念解决问题了，这是极其错误的。学习概念时，我们不光要知其然，还应知其所以然。

教师以导数的概念为例。为什么会有“导数”的概念出现呢？这是因为在自然科学和工程技术中出现了很多，如：变速直线运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，电流强度，化学反应速度，生物的繁殖率，边际成本，边际收入等等问题，如果抛开它们各自的实际意义，单从结构形式上看，它们都具有完全相同的极限式。能否准确地从这些不同的实际问题中得出一致的结论式：，是导数概念形成过程的关键。因此，我们在教学导数概念时，可以讲一点关于微积分起源的数学史知识，以激发学生的兴趣，培养其探索精神。应不惜花费时间、精力，特别注重对引入导数概念的案例进行分析。比如：

1、求变速直线运动的瞬时速度

虽然学生对“瞬时速度”比较陌生，但对“平均速度”较熟悉，我们就可引导学生求出这段时间的平均速度：，进一步引导学生得出t越小，速度的变化就越小，与时刻的瞬时速度v（）越接近这一事实，从而得出：这一结论。

2、求曲线的切线斜率

首先应讲清切线的定义：它是由割线运动得来的。而割线的斜率学生熟悉，割，割线运动成切线的过程（可以通过图形演示法，让学生直观地得出），就是的过程。自然可以得到切线的斜率切。

处理这两个案例时，我们都是在学生原有知识的基础上，通过运动的思想方法，运用极限这一工具来完成的。让学生积极参与到案例的分析、解决过程之中，有助于学生弄懂案例，得出的结论学生是信服的。为导数概念的形成收到了水到渠成的功效。

二、因势利导，理解概念的本质，掌握概念的不同表达形式

1、搞清了引入概念的案例后，引导学生透过现象看本质，找出案例所表现的共同特征，适时地告诉学生这一共性即是该概念的本质属性，由此产生出的数学概念学生就不会感到太抽象、难以理解了。

如在讲完瞬时速度和切线斜率切以后，学生会发现虽然它们的实际意义截然不同，但从数学结构形式上看，它们却完全相同，即：都是自变量的增量趋于0时，函数的增量与自变量的增量之比的极限。这也正是导数概念的本质所在。由此抽象出的导数概念，学生是可以理解，容易接受的。

2、概念得出后，如有等价表达形式，应让学生熟悉概念的等价表达形式，以便学生更好地理解、掌握概念。

如由导数的概念可得出导数的三个等价表达式：

（1）

（2）

（3）

若：，则

三、通过练习，掌握概念，在概念系统中强化概念

概念讲完后，应及时进行有针对性的练习，使学生加深对概念的掌握，跳出狭义的概念圈子，从宏观全局层面理解概念，在概念系统中强化概念，进而完善概念的理论体系。如：

1、由导数的概念可得求导数的三个步骤

（1）求增量：

（2）算比值：

（3）取极限：

由此，可求出几个基本初等函数的导数（公式）。

2、可以补充下列练习，检测学生对导数概念掌握的情况

（1）;

（2）;

（3）。

如果单是死记硬背导数的概念，就很难对⑴中进行的变通，也很难看出⑵中“-3h”就是自变量的增量等等。

3、可以在概念的系统中，找出各概念的联系与区别，研究概念的正反面，达到强化概念的目的

譬如：

（1）对连续与可导，导数与极限的关系进行梳理比较，既可以帮助学生对旧概念加深记忆，还能进一步加深学生对导数概念的理解;

（2）知道了可导以后，我们还可以研究不可导的情况，以此对可导有一个全面的认识。如：

问：函数f（x）在连续点x0不可导有哪几种情况？

答：这一极限不存在有哪几种类型，函数f（x）在连续点x0不可导也就有几种类型：

①左、右导数存在，但不相等：

如：y=|x|在点x=0的左、右导数存在，但不相等。

②左、右导数至少有一个不存在：

如：f（x）=右导数不存在，左导

数。

左、右导数至少有一个是无穷大：

如：f（x）=在点0处，

四、通过总结和复习，不断加强和巩固概念

在讲完每一单元的内容后，要及时对已学知识内容进行总结。由于总结时内容较多，因而需要高度概括，使内容简明扼要，条理分明，便于学生记忆，通过总结，促使学生学习的知识系统化、条理化，而不支离破碎 。

数学中的概念需要经常复习和应用，对于容易出错的数学概念，必须通过解题和反复运用，才能使学生对所学概念得以巩固和加深，同时能培养和提高学生运用概念分析问题、解决问题的能力，对于学生在解题中产生的错误，教师在习题课上要及时加以剖析，指出学生在认识概念上的错误，为此，应有针对性地选编一部分是非选择题让学生练习，尽快地把概念搞清，以免影响新概念的学习。

总之，高等数学概念的教学是一个动态过程，是一种创造性的活动，这就要求数学教师要认真研究数学教材和学生，用心实践，不断积累，要真正弄清楚所教概念的内涵、外延和背景，教师应该在以学生为主体、以启发式为原则、以简易性为目标的前提下，使用不同的方式从事高等数学概念的教学活动。从而启发学生的思维，开发学生的认知能力，进而培养学生的会学数学的能力，只有这样才能达到高等数学的教学目的。

【参考文献】

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