高等数学中导数概念的教学设计

数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，是今后学习微积分的基础.所以体会导数的思想理解导数的含义对学生有着很重要的意义.

第一环节“情境引入提出问题”

第一个实例是求曲线的切线问题.比如旋转雨伞时，雨滴脱离雨伞的瞬间是沿着雨伞旋转轨迹的切线方向飞去.已知条件是曲线方程y=f（x）和曲线上的一点M0，目标是求过点M0的切线的斜率.两点确定一条直线，切线首先应该通过切点M0，然后在曲线上另取一点M，先让学生探究割线M0M的斜率，再引导学生观察动态图像并探究当点M沿曲线无限趋近M0时，割线与切线的关系.通过曲线的割线变切线的动态演示，学生能够直观地感受到割线的极限位置就是切线，最后引导学生利用极限的思想求切线的斜率.

第二个实例是变速直线运动的瞬时速度问题.汽车的速度表盘显示的就是瞬时速度.已知条件是运动方程s=s（t），目标是求时刻t0的瞬时速度.运用与第一个实例类似的探究方法，引导学生探究出平均速度的极限就是时刻t0的瞬时速度.

第二环节“类比探索形成概念”

1.归纳共性揭示本质

1对象1内容1本质1符号语言1数学思想具体

实例1曲线方程

y=f（x）1切线的

斜率1割线斜率

的极限1k=limΔx0Δy1Δx1极限思想运动方程

s=s（t）1物体的

瞬时速度1平均速度

的极限1v=limΔt0Δs1Δt1极限思想一般

情形1函数方程

y=f（x）1可导

函数1平均变化

率的极限1y′=limΔx0Δy1Δx1极限思想

函数思想将学生分成若干学习小组，以表格为载体讨论交流切线的斜率和瞬时速度两个具体问题在解决方法上的共同之处.教师巡视并鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限，一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.

2.类比迁移形成概念

学生思考：怎样计算一般函数y=f（x）在点x0处的变化率？用具体到抽象、特殊到一般的思维方式，引导学生利用两个具体问题的方法和思想进行类比迁移，得出函数在点x0处的变化率，自然引出导数概念的第一层含义：函数在一点处可导.引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”，得到导数的几何意义和物理意义.并引导学生结合直线的点斜式方程，写出曲线的切线方程和法线方程.

3.剖析概念加深理解

组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨.通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义，引导学生去揭示概念的内涵与外延，提高数学阅读能力.并通过例1“求函数y=2x2在点x0=1处的导数”的求解引导学生归纳出用定义求函数在一点处导数的步骤：（1）求增量，（2）作差商，（3）取极限.学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用.用定义法求导数是对导数概念的理解与应用.在这一环节通过学生积极主动的参与，渗透算法思想，加深对导数概念的理解.

第三环节“引申拓展发展概念”

利用例1继续设问：函数在x=1处可导，那么在x=-1，2，3这些点也可导吗？从而引申拓展出 “导数”概念的第二层含义：函数在开区间内可导.师生共同探讨归纳函数在开区间（a，b）的每点可导，每点就有唯一确定的导数.这样在开区间（a，b）内构成一个特殊的映射，就是函数.这个新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数.运用函数思想，只要把求一点处的导数x0替换成x，就可以求出导函数的解析式.接着探究引出“导数”概念的第三层含义：函数在开区间内的导函数.这一环节通过层层展开的探究，完成了从函数在一点可导，到函数在开区间内可导，再到函数在开区间内的导函数的两次拓展.

分组让学生动手“操作”完成例2：已知函数y=11x，求（1）y′，（2）y′|x=1，并动脑思考总结出例2两小问的区别与联系.选出代表全班交流，完善后屏幕显示达成共识.设计例2是为了让学生辨清“函数在一点处的导数”、“函数在开区间内的导数”与“导函数”三者的关系.设计例3：求过抛物线y=2x2上点M0（1，2）的切线方程与法线方程.让学生进一步熟悉导数的几何意义，加深对导数概念的理解.

第四环节“练习反馈巩固概念”

练习1：已知y=1+x，求y′与y′|x=0.练习2：书＼[2＼]P72 第2题.通过练习检验学生对知识技能的掌握情况，以便及时调节教学，更好地达成教学目标.

第五环节“小结整理建立系统”

引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行自我小结，理清知识结构，提炼数学方法，领悟数学思想，培养应用意识.并留出时间让学生提问，考查学生是否突破了难点，及时调整“问题”导向.

第六环节“分层作业深化概念”

必做题：书＼[2＼]P72 第1、3、4题.选做题：1.上网查阅有关微积分产生的时代背景和历史意义的资料并交流讨论.2.函数f（x）=|x|在x=0处是否可导？探索题：函数y=f（x）在x=x0处可导是它在x=x0处连续的条件.设计递进式分层作业是为了满足不同学生的多样化需求，同时利用网络拓展学生的学习方式和平台，而探索题又为下节课打下伏笔.

以上体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教；教学中不是重结论，而是重过程和方法；不是采用接受式的学习方式，而是采用探究、交流的方式；不是统一要求，而是因材施教尊重个体差异.这样的设计符合学生认知规律，促进了个性化学习，更好地实现了教学目标.

【参考文献】

＼[1＼]张奠宙，丁传松，柴俊，著.情真意切话数学＼[M＼].北京：科学出版社，2011：121-127.

＼[2＼]周明儒，主编.高等数学（文科类）＼[M＼].南京：南京大学出版社，2010：61-73.