高等数学概念教学浅探

摘要：高等数学在概念教学中，我们应采取多种形式，引导学生学习概念，通过各种途径，让学生在解决问题中运用概念，在运用理解和掌握概念。此外，还应有意识地培养学生用习惯的形式符号表示新概念的能力。

关键词：高等数学 概念 教学

高等数学是研究现实世界的空间形式数量关系的一门学科。而数学概念则是现实世界的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。学习数学离不开数学概念，概念理解正确与否，直接影响到数学公式、法规、定理的学习。概念是数学学习的核心，数学概念的学习，不仅要记住它的定义，认清代表它的符号，更重要的是要真正把握它的本质属性，而学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往在于概念的理解上产生了困惑，特别是对同一数学概念的不同表达形式缺乏系统概括的理解。因此，必须十分重视概念教学。

数学概念是反映一类对象本质属性的思维方式，具有抽象性和具体性双重特点。数学基本概念是形成学生数学能力的基础，数学内容的全部展开都立于数学概念之上。

数学中的概念通常可以分为两类，一类是不定义概念，如点、直线、平面等，它只是直观地加以描述，对这些概念只要正确了解便可以了；另一类是通过定义给出它的确切含义，如函数、方程等概念，这一类要真正弄清它的意义，并加以正确应用。教学中，应让学生真正掌握其本质，理解概念的内涵和外延，而不是让学生死记硬背。

学习数学概念有两种最基本的方式，一是概念的形成，二是概念的同化。但使用概念形成的方式、学习显然不符合学生学习数学的特点，不符合教学的简约性规律；仅用概念同化的学习方式学习，由于数学的高度抽象性和概括性特点，学生难以掌握概念的本质属性，难以形成掌握好数学概念背后的丰富事实。把两者结合起来，就可以扬长避短。

学生学习概念还受以下几因素影响：

1、学生知识经验

概念学习过程中，学生往往从他已有的有关知识经验出发去认识、理解、区分事物的各种联系和性质，如学习方程的概念，学生首先要掌握“等式”、“未知数”，学习极限的概念，要掌握“数列”的知识等，并且只有在学习时回忆起这些知识，才能保证学会概念。学生的生活经验越丰富，他们的空间和数的概念就越多，掌握数学概念越有利。

2、学生的数学概括能力水平

概括是概念形成和同化的关键环节，数学能力强的学生容易概括出一类事物的本质属性，而能力弱的则不能。

3、语言表达能力

概念本身是抽象的，但由于给予了特定的符号，而且这些符号组成了一定的语言系统，学生往往通过对具体的的语言符号来学习概念的，所以言语表达成为概念学习重要的一环。最好让学生用自己的话来叙述定义。

如何搞好概念教学，我认为在教学中应注意以下几个方面：

1、引用所学国的知识

在教学中，为了使学生容易牢固地掌握数学概念，教师必须提供或唤起学生的一切有关的知识经验，当然，知识经验必须是具体的，学生已经掌握，而不是抽象的、理论的。例如：要确定导数的定义，先让学生辨认明显的实际例子：曲线在某点的切线斜率，产品总成本的变化率及变速直线运动的速度等。又如在学习0°到360°的三角函数的基础上，引入任意角的三角函数概念，使学生明确三角函数值只与角的终边所在的象限有关。

2、概念教学中发展学生概括（抽象）能力

心理学研究表明，概括（抽象）是人们形成和掌握概念的直接前提，仍以形成导数概念为例，引导学生进行抽象；产品总成本的变化率与变速直线的速度可以抽象为函数，找出它们的共同属性加以概括即为导数的定义。在概念教学中，教师有目的地进行引导学生积极思考，有利于形成以教师为主导，学生为主体的良好的课堂形式，有利于发展学生思维，使学生的观察、概括、抽象能力有所提高。

3、采用变式图形，加强对概念本质属性的理解

教学中，有些数学概念可结合图形来讲解，而教材往往只给出了标准位置的图形，对此，教学时可在原有图形基础上，再引进变式图形加以对比，突出概念的本质属性，摒弃那些非本质属性，以加深对概念的理解，同时，可防止学生的思维定势。如两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线。它的本质属性是两条直线夹角成直角，而与是否有一条直线处于水平位置无关。

实际上，在对其他与图形无关的概念教学时，也要注意本质属性，可列举几种满足概念的不同类型，让学生区分辨别，以巩固他们对本质属性的理解。如：y=k/x（k≠0）是反比例函数。同一数学对象不同表达形式正式变更非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，从不同侧面突出了数学对象的本质特征，突出了那些隐蔽的本质要素。

1、应用中加深对概念的理解

在初学概念时，虽然能够弄清概念的含义，但是通过应用，才能更深刻地理解它。例如在工农业生产、经营管理及经济核算中，常常要求解决在一定条件下，怎样使“产量最多”、“用料最省”、“效率最高”以及“成本最低”等问题，这些问题反映在数学上，就是求函数的最值问题，而求最值就是求函数的导数，这样就更能理解导数的概念。

2、广泛联系，完善概念

平时学习中，很多概念是分散的，多方面联系实际，灵活运用概念是概念教学的的有效途径。例如，在讲解抛物线的概念时，以汽车前大灯的抛物镜面的轴截面所成的抛物线及二次曲线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和用粉笔头作演示，使学生清楚地看到平面上的动点的运动规律，再结合教具演示，使学生清楚地看到平面上的动点的运动规律。再例如，在进行数列极限概念的教学时，首先引导学生考察无穷数列{1/n}，当n无限增大时，它无限地趋近于0；无穷数列{（n—1）/n}，当n无限增大时，它无限地趋近于1。这样通过实例给了极限概念一个粗略的描述，要抽象出极限的精确概念，还要继续引导学生思考一个数列和一个常数“可以无限地接近”究竟是什么意思？怎样用数学的语言准确地表达这个意思？这样要掌握数列极限的定义就不困难了。

3、注意防止概念的混淆

学生在学习概念之前头脑中并不是一片空白，已有一些形成的概念，这些概念由于表示它们的符号、词语和概念本身的含义不同可能产生相互干扰，因此，应注意运用对比的方法讲清概念间的区别和联系。例如：在不定积分和定积分的教学中，应当指出二者定义是截然不同的，前者是被积函数的全部原函数，后者则是某一和式的极限。但是求不定积分和定积分的方法是相同的，而计算结果又是不同的。