函数解答题中的指数函数问题的解答技巧

一、由于指数函数是以“底”大于1或小于1分类的，所以高考命题中经常在此处考查学生的分类讨论能力与判断能力.这类题目往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性综合，考查学生的综合应用能力.要想掌握与此有关的内容，学生需要对指数函数及函数的基本理论运用自如，重点掌握含有参数的指数函数的讨论问题.解决这类问题的基本方法是对底数进行分类讨论.

例1 已知f（x）=（ + ）x3（a>0且a≠1）.

（1）讨论f（x）的奇偶性.

（2）求a的取值范围，使f（x）>0在定义域上恒成立.

解 （1）由于ax-1≠0，所以ax≠1，即x≠0.所以，函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}.

对于定义域内任意的x，有f（-x）=（ + ）·（-x）3=（ + ）（-x）3=（-1- + ）（-x）3=（ + ）x3= f（x），故函数f（x）是偶函数.

（2）由（1）可知函数f（x）是偶函数，所以只需讨论x>0时的情况即可.

当x>0时，要使f（x）>0，则（ + ）x3>0，即 + >0，也就是 >0，于是可知ax-1>0，即ax>a0.

又x>0，所以a>1.

故当a>1时，f（x）>0在定义域上恒成立.

小结 本题的第一问是先求函数的定义域，再判断其奇偶性；对于第二问中的恒成立问题，我们可借助函数的奇偶性，只需讨论x>0时的情况即可.

二、高考中含有指数的复合函数问题大多数都是以综合题的形式出现，指数函数与其他函数形成复合函数，与方程、不等式、导数等内容形成各类综合问题.因此，学生要努力提高综合能力.分类讨论是常态，导数是工具，建立恰当的函数是关键.在这类问题中，指数函数只是一个考查的载体，其主要目的是考查学生的综合应用能力.

例2 已知函数y = 为奇函数.

（1）确定a的值.

（2）求函数的定义域.

（3）求函数的值域.

（4）讨论函数的单调性.

解 将函数y = 化简为y =a- .

（1）由奇函数的定义，可得f（-x）+ f（x）=0，即a- +a- =0，2a+ =0.a=- .

（2）y =- - ，2x-1≠0.函数y =- - 的定义域为{x|x≠0}.

（3）（方法1：逐步求解法）2x-1≠0，-1

- - > 或- - 或y

（方法2：有界性法）由y=- - ≠- ，可得2x= .

2x>0， >0，解得y> 或y 或y

（4）当x>0时，设0

y1-y2

小结 本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等知识进行解答.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.一般地，函数y= f（u）和函数u=g（x），设函数y= f [g（x）]的定义域为集合A，若在A或A的某个子区间上函数y= f（u）（称外函数）与u=g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y= f [g（x）]在该区间上递增；若单调性相反，则复合函数y= f [g（x）]在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）.另外，记住以下结论对判断复合函数的单调性很有帮助：①若函数y= f（x）递增（减），则y=- f（x）递减（增）；②若函数y= f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y = 递减（增）；③若函数y= f（x）递增（减），则y = f（x）+k递增（减）.

三、将指数函数、导数与不等式综合在一起，考查判断函数的单调性、求参数的取值范围等问题.解决单调性问题，可将其转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求参数的取值范围问题，可将其转化为不等式的恒成立、能成立或恰成立问题来解答.进一步转化为求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集R）上的恒成立问题，从而达到考查分类与整合、化归与转化等数学思想的目的.

例3 设函数f（x）=xekx（k≠0）.

（1）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.

（2）求函数f（x）的单调区间.

（3）若函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增，求k的取值范围.

解 （1）据题意可知f ′（x）=（1+kx）ekx，f ′（0）=1，f（0）=0.故曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y=x.

（2）由f ′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=- （k≠0）.

若k>0，则当x∈（-∞，- ）时，f ′（x）0，此时函数f（x）单调递增.

若k0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（- ，+∞）时，f ′（x）

（3）由（2）可知，若k>0，则当且仅当- ≤-1，即k≤1时，函数f（x）在（-1，1）上单调递增；若k

综上可知，函数f（x）在（-1，1）上单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1].

小结 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查学生综合分析问题与解决问题的能力.

龙志明，湖南岳阳市十五中高级教师，全国知识型职工先进个人，教科室副主任兼年级主任.一直在省级示范性高中任教，已参编教材7部，参与课题研究5个，在《高中生》等报刊上发表文章200多篇.阅读他的其他文章，请注册登录《高中生》·高考网.

（责任编校/周峰）