提高概率论与数理统计教学效果的几点体会

【摘要】在概率论与数理统计课中，为得到某个结论，或为证明某个性质，经常有一些篇幅较长或有一定技巧性的严密推导，笔者以为应根据实际情况适当淡化这些数学推导。事实上，过多地应用高等...

[摘 要]本文针对概率论与数理统计教学的实际情况，提出了几点教学的体会和建议。通过改进教学，激发学生的学习兴趣，使学生更深刻地理解该课程的思想方法，更好地掌握该课程的内容。

[关键词]思想方法 联系实际 类比和比较 分类和归纳

[中图分类号] O211.1， O212.1 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）22-0058-03

概率论与数理统计是一门公共基础课，也是许多专业研究生入学考试要求的一部分，它的应用几乎遍及科学技术的各个领域，在社会生活中有着广泛的应用，但这门课又被学生认为是一门较难学好的课程，主要是感到公式太多，记不住，思想方法理解不透，而做题时又无从下手。笔者根据多年的教学经验，认为可从以下几方面入手提高该门课的教学效果。

一、淡化数学推导，讲好思想方法

在概率论与数理统计课中，为得到某个结论，或为证明某个性质，经常有一些篇幅较长或有一定技巧性的严密推导，笔者以为应根据实际情况适当淡化这些数学推导。事实上，过多地应用高等数学等知识进行数学推导，往往消耗许多宝贵的学时，而且效果不佳，由于学生对高等数学知识的掌握还不能达到运用自如的地步，所以当学生陷入对推导细节的思考与推敲时，往往不能自拔，从而失去学习该门课的兴趣。如教材中分布函数右连续性的证明、泊松定理的证明、由二维正态分布密度推出边际分布密度、（X，Y）服从二维正态分布时求与的相关系数等等，这些严密的推导只需指出思路和方法即可。对于公式和结论不能只停留在给出和推导，应注重解释公式和结论的背景、实际意义和说明的问题，把有限的学时更多地放在解释概率统计的思想和应用理论知识解决实际问题上，避免使数学式子的繁琐变形成课堂的主角。

比如全概率公式，其思想就是采用“迂回”战术，把问题“化整为零”，其关键是正确找出“划分”。当一个事件的概率不容易求得时，若可以确定划分各事件的概率及所求事件对划分中各事件的条件概率，则可由全概率公式求出事件的概率。对以下简单题目错误的解答说明了解释全概率公式思想的重要性。

例：一批零件，其中■从甲厂进货，■从乙厂进货，已知甲、乙两厂的次品率分别是0.02和0.06，现从这批零件中任取一个零件，求取得的零件是次品的概率。

本来这是一个非常简单的题目，但有的同学最后的解答却是：当所取零件是从甲厂进货，则所求概率为0.02；当所取零件是从乙厂进货，则所求概率为0.06。

这种错误在于没有掌握全概率公式的思想。事实上，当任取一个零件时，该零件既有可能是甲厂生产，也有可能是乙厂生产，所问的正是在这种情况下，该零件是次品的概率。完整考虑到这两种情况而任取一个零件是次品的概率，体现了全概率公式中的“全”字。“化整为零”的目的就是最后求出一个“总”的概率。

又比如，在讲离散型随机变量数学期望的定义时，应指出该概念的背景是生活中的“平均数”，但不是简单的算术平均，是一种 “加权平均”，是随机变量按照概率取不同值的情况下的平均取值，这个平均数考虑了随机变量取不同值的可能性，是对随机变量取值的一种综合评价，取不同值的概率就是所谓“加权平均”中的“权”。显然，在有限次试验中，随机变量取各个值和取各个相应值的频率相乘，然后将所有这样的乘积相加便是在有限次试验中随机变量的平均取值，但要从整体上描述随机变量的平均取值，而不仅仅是某些有限次试验中的平均取值，显然用概率替代频率是合理的，这样就得到离散型随机变量数学期望的定义。

二、理论联系实际，注重实践教学

概率论与数理统计是一门应用性学科，它来源于实际生活而又服务于实际生活。因此，在教学中必须联系实际，注重实践教学。

一些与实际生活紧密相连的问题会激发同学的学习兴趣，从而使教学过程充满活力。例如买彩票问题，经常有同学会问：“学好概率是否有助于中奖？”“社会上有人沉迷于研究彩票，从过去的中奖号码推知未来的中奖号码有无道理？”学好概率确实有助于我们正确认识彩票中奖问题。首先，买一张彩票中大奖的概率非常小，以七星彩为例（中奖号码是七位数），中500万大奖要求七位数与开奖结果完全一致，每个位置上的数与中奖号码相同的概率为■，而由事件的独立性可知，七位数与中奖号码完全一致的概率为■≈0.0000001，即千万分之一，这是一个非常小的概率，有资料表明七星彩其他级别的中奖概率也是极小概率的事件，概率最大的末等奖（5元奖金）中奖概率也仅为百分之五，根据小概率原理我们不能指望中奖，对买彩票未中奖应有一个良好的心态。其次，不难看出不同次抽奖发生的事件是相互独立的事件，过去的中奖号码与未来的中奖号码没有关系。由教材中的例题知：小概率事件在大量重复试验中至少发生一次的概率会很大。将这一结论应用在买彩票问题上，可以看出经常买彩票无疑会提高中大奖的概率。 在介绍了二项分布和泊松定理后，可仍以七星彩为例，计算若使至少中大奖一次概率较高时，需重复购买彩票次数的近似值。像这样与实际生活紧密相连的问题很多，如生日问题、体育比赛中抽签与顺序无关问题、约会问题、分组验血法、保险公司盈利与亏损问题等等。

在课堂教学后，尽可能使学生将所学知识 “回归”到实践中，让学生自己查找资料和收集数据，验证和应用所学的知识。比如，生日问题是教材中的一个有趣例题，通过对n取不同的值列出相应的概率，可能会感到“n个人中至少有两个人生日在同一天”概率比想象的要大，学生可在实际生活中对这样的结论验证和调查。例如，在课外查找44位美国总统的生日资料，发现其中有2位总统的生日是在同一天，即第十一任总统波尔克和第二十九任总统哈定，他们都出生在11月2日。类似地，结合古典概型和数学期望的知识分析某个赌博游戏或某种彩票；测量部分同学的身高，根据部分同学的身高，给出所有同学平均身高的估计值、在一定置信度下的置信区间、检验对所有同学平均身高提出的某种假设，看全体同学身高是否服从正态分布等等。这些力所能及的实践活动会促使学生对理论知识的进一步消化，充分体会生活中的数学。

三、注意运用类比和比较的教学方法

概率论与数理统计课概念多、结论多、公式多，不少同学对此有较大的畏难情绪。事实上，该门课中很多概念、结论和公式相近但又互有差别，一类结论往往是另外一类结论的推广或者是用同一思想方法处理多种情况，从而得到一系列公式。在教学中，应充分利用该门课的这一特点，运用类比和比较的方法，帮助学生记忆和掌握基本内容。

类比的教学方法就是从两类事物的相似关系出发，根据一类事物的性质、结论和规律来推测出另一类事物也有相似的情况。比较的教学方法就是对两类事物的相似点和不同点进行对比，从而进一步把握事物的本质特性，加深对两类事物的理解和记忆。比如，在讲解二维随机向量时，应说明二维随机向量的概念和性质均是一维随机向量（即随机变量）相应概念和性质的推广，处理问题的思想和方法完全类似，而二维随机向量的联合分布与边际分布的关系则显示了二维随机向量与随机变量的一种联系。可引导学生由随机变量X的分布函数、分布列、分布密度的定义及其性质推测二维随机向量（X，Y）的联合分布函数、联合分布列、联合分布密度的定义及其性质，并对最后的结果进行比较，还可进一步引导学生对高维随机向量的相应概念和性质进行推测，从而得出结论。

类比和比较教学是多层次和多角度的，既有平行内容的类比和比较，也有纵深内容的类比和比较；既有概念和结论的类比和比较，也有解题方法上的类比和比较。比如伯努里概型与超几何分布、离散型随机变量与连续型随机变量、一个随机变量的函数与两个随机变量的函数、矩估计法与最大似然估计法、区间估计与假设检验以及不同情况下的区间估计和不同情况下的假设检验等等，其中不同情况下的区间估计和不同情况下的假设检验的数学公式多，内容枯燥，学生畏难情绪很大，但该部分内容明显具有用同一思想方法处理多种情况的特点，在教学中紧紧抓住这一特点，引导学生概括出一般的思想方法，类比和比较不同情况下的公式，对于学生记忆公式，提高课堂教学对学生的吸引力是十分有益的。可将类比和比较的内容画出表格或给出逻辑联系图，使学生一目了然。

类比和比较的教学方法具有以下优点：

1.类比和比较的过程是展示知识的发生、发展和形成的过程，学生可从中理解知识的来龙去脉，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中发现“变”的规律，有利于学生更深刻地掌握所学的知识。

2.引导学生在类比推测中得到新的公式、性质和结论，使学生在“探究学习”中体会探究的成就感，从被动地听课转为更积极地参与教学活动，提高了学生的自主性和学习兴趣。

3.比较的过程是对过去已学知识进行复习和归纳的过程。通过比较，使知识在学生的大脑中形成知识网络和一个有机联系的整体，分散的知识得到串联，易于理解和记忆。

四、进行题型的分类和归纳

为提高学生的解题能力，改变解题无从下手的情况，考虑到不少概念、结论和方法在某些方面是类似相近但又互有差别，可对概率论与数理统计课中的基本题型进行分类和归纳，指出每类题型的特点和所应用的基本公式。比如，以下是随机变量与二维随机向量部分的一些常见题型：

1.分布函数、分布密度、分布列中未知常数的确定；

2.结合古典概型的知识求分布列（最后得到一、二维表格）；

3.由分布函数求分布列、分布密度；

4.由分布列、分布密度求分布函数；

5.求随机变量落入某区间或随机点（二维随机向量）落入某区域的概率；

6.分别由联合分布函数、联合分布列、联合分布密度求边际分布函数、边际分布列、边际分布密度；

7.随机变量相互独立的判定和应用随机变量相互独立求得联合分布函数、联合分布列、联合分布密度。

以分布函数、分布密度、分布列中未知常数的确定为例，未知常数的确定通常是由相应概念的性质和原题所给的条件解方程或方程组，如分布函数中的未知常数一般是由分布函数在正、负无穷处的极限和分布函数在分段点处的右连续性求得；分布列、分布密度、联合分布列、联合分布密度中有一个未知常数时，一般可分别由公式

■pk=1，■f（x）dx=1，■ ■pij=1，■■f（x，y）dxdy=1 解方程而求得，当有多个未知常数时，上述公式往往是方程组中必然成立的一个方程。

课程中的每一部分均可以归纳出常见题型，其解题方法的规律性很强，可将常见题型应用的公式、方法和基本规律列成表格，也可引导学生自己完成这一工作，这将有利于学生对知识的融会贯通，从解题的角度复习已学全部知识，进一步促使知识在学生的大脑中形成知识网络。

总之，教学的实践表明淡化数学推导并讲好思想方法、理论联系实际和注重实践教学、注意运用类比和比较的教学方法以及进行题型的分类和归纳是提高概率论与数理统计教学效果的良好办法。只要充分调动学生的学习积极性，积极探索适合学生特点的教学方法，就一定能够帮助学生克服学习中的畏难情绪，使教学收到更好的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 周新全.《概率论与数理统计》教学改革探讨[J].咸阳师范专科学校学报，2000，15（3）：68-69.

[2] 金大永，徐勇.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 丁雪梅.七星彩的中奖概率问题[J].科技信息，2009，（8）：422.