高中数学与其他学科整合教学的研究综述

【摘要】数学教育要帮助学生掌握数学双基，学会“数学地思维”，同时为学好其它学科准备知识、方法和思维的工具。如何将高中数学教学与其它学科教学进行整合，有效发挥中学数学对高中其它学科的工具作用，课题《高中新课程数学与其他学科教学整合研究》对此展开研究，设计了数学与物理、数学与化学、数学与生物、数学与政治、数学与地理等专项研究项目。作为研究的起点，要搜寻学习相关文献资料，对数学与其它学科整合的已有研究成果作综述，分析把握他人已有的研究成果，明确后续的研究任务。

【关键词】数学 学科整合教学 研究综述

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0007-05

数学教育的目的，就是要使学生掌握数学的基础知识和方法，学会“数学地思维”，获得并提高数学素养。提高数学思维能力，同时也为学好其它学科准备知识、方法和思维的工具；数学来源于物质世界和生产生活实践，来源于其他学科的研究需要，其它学科的学习当然也可以促进数学学科的学习。因此，如何将高中数学教学与其它学科教学进行整合，有效发挥中学数学对高中其它学科的工具作用，学校如何更好地推动各学科课程融会贯通，聚合课程合力，使学校课程结构更为合理，更好地促进学生智力和能力的提高，这是一个值得系统研究的课题。我们于2014年4月向云南省教育科学研究规划办申报教研课题《高中新课程数学与其他学科教学整合研究》，7月被批准为云南省教育科学十二五规划课题。设计研究本课题，可以对高中数学教学与其他学科教学进行整合，探求合适的整合路径，达成数学学科与相关学科教学的相互服务，转变优化教学方式，同时为高中学生提高学习能力、合作能力与探究能力，更合理、顺利、高效地学习各科知识提供保障，开展学科间整合教学研究，也有利于促进学校特色化建设发展。

按照本课题研究的必要性和可行性，设计了数学与物理、数学与化学、数学与生物、数学与政治、数学与地理、数学与信息技术的教学整合等六个专项的研究。作为研究的起始阶段，要搜索高中各学科知识与数学知识方法的基本联系，列举其他各学科哪些知识要用到哪些数学知识方法，研究高中阶段数学学科对其它学科的支撑与辅助作用，分析其它学科中哪些知识材料可以作为高中数学知识方法的背景材料，对高中新课程数学学科教学与其它学科教学进行有针对性地整合，提高各学科教学效率。在此基础上，提出将高中数学教学分别与其他学科教学的假设途径并作实践检验修正，获得理论与实践成果。通过课题分解研究，体现国家课程的校本化实践，实现学校各科课程的顺序调整与整合，构建多元、立体的校本课程结构。

分析把握他人已有的研究成果，避免做无用功，借鉴他人的有效成果，明确后续的研究任务，这是我们开展本课题研究的前期工作。作为课题研究的一个重要部分，我们课题组成员分工合作，搜寻学习相关文献资料，现将学习研究的基本情况按学科综述如下：

一、高中数学与物理整合教学研究概况与思考

课题组对国内外高中数学与物理关联性以及整合教学的研究和主要成果进行分类研习，寻找子课题可借鉴的现有资源以及待突破的研究难点，从而初步确定子课题研究的着力点和侧重点，以确保课题成果能够进一步促进高中数理学科教学的相互渗透，降低物理学习中的“数学困难”，切实提升学生的数理思维能力。

由于高中物理学习过程中所涉及的数学知识和方法较多，数学与物理在教学中的关系十分紧密，有关高中数学与物理关联性的研究开展得相对较早较丰富，但多数研究都是基于教学经验，对相关问题做浅层次的讨论，或者是对学科互融的知识做了大致的研读梳理。按研究内容和侧重点大致将这些研究分为如下三类主题进行梳理和评析：

1.高中数学与物理课程的交融性研究现状

⑴对物理教学中某一数学元素的应用在纵向上以案例形式做探讨。

梳理高中物理学习中某一数学知识在不同板块中的应用情况（黄美英，2008）。

分析高中物理问题解决过程中，某一数学方法的应用要点（徐国华，2014；蔡灵之，2011）。

通过呈现案例的方式指出了数学知识和方法在物理中的应用误区（董海密，2014）。

此类研究内容一般是针对习题及高考试题，多以案例形式对某一数学知识点或方法的应用进行列举说明，同时从经验出发对应用的要点和技巧做适度的分析提炼。此类研究一方面能够对为学生学习并熟练物理学习中的数学知识提供很好的素材，另一方面可以为物理教学中的“数学困难”的后续调研提供很好的参考。

⑵依据数学知识在物理中的分布情况，在横向上对高中物理课程中的数学知识进行统计梳理（袁丽，2009；顾向忠，2013）。袁丽老师的调研统计细致全面，在梳理知识的基础上，通过问卷的形式使用“需要度系数”和“困难度系数”表征，梳理了物理课程中各高中数学知识点的重点和难点，这是一项极为可贵的基础性工程，相关统计结果为同仁们后续的研究工作搭建了坚实的基础。

⑶从数学和物理教材的编写角度，盘点高中数学与物理知识的交融概况并作评析（张恩德，2012，2013）。 张恩德老师一篇文章通过对人教版和北师大版初中数学和物理教材的数理交融概况的分析，提出了在教材中体现数理交融的必要性和可能性，并对交融的形式做了对比与思考；另一篇文章论述了数理逻辑思想的整合统一的可能性，阐述了数理整合到人文与科学整合的期望与可能。

⑷基于数学教学的视角寻找数学教学的背景材料并探索数理结合的要点（石业娇，2011）。石业娇老师主张在数学教学中通过加载物理情境的方式活化以数学知识，拓宽了数理学科整合教学相关的研究的实践领域。

2.新课程高中数学元素在物理课程应用中的困难研究的进程

袁丽老师的研究较为系统全面，获得如下三个主要结论：⑴高中物理学习中涉及到的数学知识大多存在滞后情况；⑵数学知识基础不足的情况主要出现在必修系列的物理课程中；⑶数学知识的“应用困难”对学习的影响程度高于数学基础知识不足对物理学习的影响程度。

通过对这类文献仔细研读后，发现文献中所提及的数学困难指的是数学工具中数学知识层面上的难点，即，明确了“物理学习中哪些数学知识点重要哪些数学知识点难”的问题，作者还通过“应用困难系数”这一指标对各类数学知识和方法的应用困难情况做了排序，这对于后续开展的研究工作极有价值；但对于数学困难的具体行为表现（例如，分析过程中在什么环节出现了障碍？出现了什么样的障碍？）及内因（产生这样的障碍可能是因为在知识习得过程或者分析过程中的什么原因造成的？）的研究在该文献中很少涉及。

3.新课程高中数学与物理课程的整合策略研究进程

段志春在论文《培养学生应用数学处理物理问题的能力》中对如何培养学生使用数学处理物理问题的能力做了如下思考：在强调物理规律中数理数学意识；借助充分练习，培养学生举一反三能力。

李珍在论文《数理方法思想对物理学教学的指导作用》中对物理课堂中数学知识教学的提出建议：要重视数理方法的思想对物理教学的指导作用；重视物理概念及规律的教学，强调公式中的数量关系与物理意义的区别；要注意物理思想的教学，帮助学生建立物理问题的数学模型。

可见，现阶段一线教师关于高中阶段数理结合的研究多集中在知识和方法的应用层面，而研究领域与教学较为接近的硕博论文中，主要是对高中物理学习中所涉及的数学知识做较为全面的调查统计，在为数不多的研究中，也有研究者（袁丽，2009）通过问卷调查的方式梳理出了各数学知识重要度和困难度，并指出数学困难的主要原因并非知识欠缺而是存在数学知识的应用能力；也有同仁基于个人经验对如何在物理课程中开展数学元素的教学提出了一般性的建议，但所持观点较为宽泛，缺乏指导性和操作性。

我们认为，若要尝试对新课程高中数学与物理课程进行整合，寻找优质、有效、可操作的教学策略，必须把握好学生在物理学习中的数学困难的具体表现及成因，在这样的学情基础上，结合教学经验及教学理念，探求优质的整合方案，为确保课题的研究成果具有操作性和时效性，更应将其付诸于教学实践，在实践中优化、提炼，并凸显出教学策略及方案的核心内涵。

特别：教学的策略与教学形式的确应该是多元的，它应随学情、内容、目标的不同而灵活多变，但这些教学策略中应蕴含着具有根源的课堂内涵；数学工具在物理问题中的应用与同学科知识的迁移存在很大区别，所使用的数学方法即内含着物理意义与规律同时又遵循着数学逻辑的思想和方法。

据此，对于高中数学与物理课程的整合性研究中的研究中应加强如下方面的调研和探析：①从三个维度更为深入地对“数学困难”进行调研，探析数学困难的根源：从学生学习角度，对数学工具在应用过程中所所表现出来的困难行为做细致的调研分析；教师教学角度，对培养学生数理结合能力过程中遇到的障碍做调研分析；对上述两方面的数学困难（应用困难和教学困难）的形成原因做调研分析。②通过对所获得“应用困难”和“教学障碍”现象作认真分析，剖析共性、寻求最为根源的困难成因，然后基于根源性的困难及成因，结合现代教学与学习理论，以期获得一套具备核心内涵，且具有针对性、操作性和有效性的数理整合教学的策略。③对于研究所得的策略需要经历完整的案例设计及专题式的教学研讨，应强调研究成果的实践性检验与反思提炼。

二、高中数学与化学整合教学研究概况与思考

国内已经有一些有关高中数学与化学关联性研究，但大都是零散的基于教学经验的单一研究，对高中化学学习中所涉及的数学知识缺乏较为全面的调查统计，没有系统完整的梳理出高中化学涉及到的各数学知识的重难点.对前人研究成果进行研习发现，研究者大都对化学教学中某一数学元素的应用在纵向上以案例形式做探讨。

譬如，论文《论化学教学中数学知识的渗透》（尹亚东，2002）主要分析数学集合思想在化学概念教学中的应用，数学归纳思想在化学教学中的应用；论文《数学方法在化学中的应用》（张德华，2007）通过分析化学变量之间的相互关系，运用已掌握的数学知识，用数学方法解决化学问题.列举了排列组合、等比数列等数学方法在化学中的应用；论文《数学思想在化学解题中的应用》（钱春，2012）主要阐述数学模型思想在解决化学问题中的应用；论文《数学在中学化学教学中的应用分析》（李新发，2000）主要阐述数轴与极限思想在解决化学问题中的应用；《用数学方法解化学问题的几个误区》（范晋华，2001）阐述用数学方法配平化学方程式、百分数的计算题提出解题要求时存在的误区，并给了相应的对策；论文《运用数学方法解决化学问题》（曹喜平，2005）主要阐述不等式与直线方程思想在解决化学问题中的应用。

近几年有关高中数学与化学的关联性研究的相关文章较少，研究方式一般是针对习题及高考试题，以案例形式对某一数学知识点或方法的应用进行列举说明，同时从经验出发对应用的要点和技巧做适度的分析提炼，这类文献中提及的数学方法和知识大多是数理结合中的重点和难点，此类研究的成果，一方面能够对为学生学习并熟练化学学习中的数学知识提供很好的素材，另一方面可以为化学教学中的“数学困难”的后续调研提供很好的参考。研究文献中所提及的数学困难指的是数学工具中数学知识层面上的难点，即明确了“化学学习中哪些数学知识点重要、哪些数学知识点难”的问题，但对于学习困难的具体行为表现（例如，分析过程中在什么环节出现了障碍？出现了什么样的障碍？）及内因（产生这样的障碍可能是因为在知识习得过程或者分析过程中的什么原因造成的？）的研究在相关文献中很少涉及.这也就为我们的后续研究找到了侧重点和突破点。

我们认为，若要对新课程高中数学与化学课程进行有效整合，构建高效课堂，切实培养提高学生在化学学习中的数学思维，优化教学策略，必须掌握学生在化学学习中的数学困难的具体表现及成因，在这样的学情基础上，结合高中化学课程标准，高考实情，探求更加有效的整合方案，完善教学策略，并且还应该基于教学策略及教学设计的研究成果，学生实情，对不同课型开展有针对性的教学实践，并逐步改善教学策略及教学设计，以确保课题的研究成果具有可操作性和时效性。

课题组后续对于新课程下高中数学与化学教学的整合性研究中应着重加强以下三个方面的调研和探究：①通过发放调查，以调研的方式从学生、教师两个方面更为深入地对“学习困难”和“教学困难”进行调研，探析困难的根源。②对“两个困难”作认真分析，剖析共性、查找文献、与化学、数学教师探讨分析等方式，从不同层面全面地调查并分析学生在高中化学学习时存在数学障碍的根本原因，结合新课程理念、现代教学思想，创造性地探究开发高中化学课程中数学元素的有效教学策略。③基于教学策略及教学设计的研究成果，学生实情，对不同课型开展有针对性的教学实践，并改善教学策略。

三、高中数学与生物整合教学研究概况与思考

目前高中阶段对数学知识在生物教学中的应用的研究文章比较多，通过比较分析文章的研究点大都类似，都处于简单的经验型阶段，局限于用数学的某个知识来解决生物的某个知识点，缺乏系统性，与课堂教学实践应用不相匹配，因此在提高教学效率上有较大的潜力可挖。对于课堂整合的研究要从学生的实际出发，如何把数学知识融合到生物教学中，并且要把生物知识应用到的数学知识反馈到数学教学中，达到数学教学和生物教学课堂的试探性改革。

1.数学模型对生物教学的研究现状

数学模型对生物教学，生物知识重难点理解的国内外研究较多，其形式也有所不同。论文《运用数学模型探究生物进化的实质》（徐宏余，2014）以生物课本图表的形式探究进化的原因和实质来培养学生科学探究的能力，目的是采用数学模型来体验探究的乐趣，提高学生计算能力，体现学生的主体地位；论文《运用数学探究生物进化的实质》（刘本举，2008）也是通过图表设计让学生应用数学计算与分析主动探究得出结论，来体验数学探究过程的乐趣，促进学生应用数学工具分析问题的科学思维习惯；论文《数学模型在高中生物中的具体应用》（颜丽敏，2014）联系高中生物教学实际，探讨了数学模型建立的几个阶段以及所使用的方法，数学模型的应用分为五个阶段：准备阶段、假设阶段、建立阶段、求解阶段、检验阶段，并对所使用的方法主要涉及构图法，比较分析法和函数计算法，从理论上实现生物现象或生物知识与数学方程式的对应与转化，从而提高学生分析问题、思考问题、解决问题的能力，有利于高中生物教学质量的提高；论文《运用数学模型解决生物学问题》（钟静2012）把数学模型分为：表格图像排列组合、数学归纳法、概率计算，进一步对各种类型进行分析并举例，来说明数学在生物教学应用的重要性；论文《通过遗传规律计算的一个例题》（杨建胜等，2010）介绍生物教学中数学模型的直观性应用，用数学模型来辨析各种解法的正误。

数学模型在高中生物学的应用文章在国内研究的比较多，表达观点主要有以下几个方面①⑴强调数学模型对生物教学应用的重要性，希望引起高中生物教师的重视；②举例用数学模型来解释生物的某个知识点或难点，以达到生物知识的理解；③让学生尝试数学探究的过程和方法，促进学生运用数学工具分析生物学问题。

这些研究不能满足生物教学的实际需求。数学知识融入到生物教学课堂已刻不容缓，数学知识点与生物知识点和联系有哪些？如何把数学知识与生物知识融合才能使学生更容易接受？这是克服数学教学与生物教学整合必须要解决的问题同。

2.数学知识点与高中生物知识点融合研究的现状

要把数学知识应用到生物教学中，前提要清楚高中生物教材中哪些知识应用到高中数学知识的哪些点，高中生物教学中涉及的数学知识点比较多，国内有很多研究文章，论文《数学方法在高中生物教学中的应用》（陆文锋，2010）归纳得出：数学集合论与生物概念教学的联系；排列组合，二项式定理与生物多样性的联系；一次函数方程与碱基互补配对规律的有关计算，脱水缩合的有关计算，酵母菌呼吸比例的相关计算之间的联系；指数函数方程与DNA复制，能量流动的十分之一定律，遗传中杂合子自交后代中杂合子的概率之间的联系。譬如论文《数学计算在生物教学中的应用》（陈德芬，2006）通过数学计算解答生物中有关计算问题的详细过程来说明数学计算在生物教学中的重要性。论文《数学方法在生物教学中的应》（李志万、彭宝华，2012）分析涉及图像法与解答光合作用有关计算题的联系；完全平方式与生物进化遗传平衡定律计算的联系，排列组合与遗传计算的联系。

众多文章所涉及数学知识与生物知识的联系点大都类似，只是解释的侧重点有所不同。大多只是用例题的方式来叙述数学与生物的联系，没有系统性，与生物实际教学很难匹配，生物课堂教学中实效性不高。

3.数学教学与生物教学课堂的整合所面临的问题及应用前景

数学教学与生物教学课堂的整合在国内的研究很少，并处于基本的探索阶段，如催剑平论文《例谈数学问题与生物教学整合的问题》（2008）等。在高中生物教学中不仅要探索如何运用数学知识，研究数学教学与生物教学的整合，还要探讨数学课堂怎样才能为生物课堂服务？对于生物应用到的数学知识点，数学老师如何讲才能做到既把数学掌握了，又能有利于学习相关的生物知识？生物老师怎样讲解才能把数学知识整合到生物教学中来提高课堂教学效率？

数学教学与生物教学的整合研究，现在还是一片空白，这就需要用实践来探索。首先系统地罗列出高中数学教材与高中生物教材的知识联系点，生物老师与数学老师掌握好相关的点，并相互交流，把生物知识应用到数学教学实例中，生物老师把相关的数学知识很好的融入到生物教学中。其次从学生的角度进行一系列的调研，弄清楚生物计算的难点的原因是什么？最后进行课堂实践反馈。希望通过数学教学与生物教学的整合研究能提高学生对知识迁移的应用，提高生物学科教与学的效率。总之，希望通过数学教学与生物教学课堂整合的研究能提高高中阶段课堂教学的效率，提高学生对生物本身的兴趣，又有利于数学知识的学习，培养学生融合学科知识的能力，为以后课堂教学改革提供有力的依据。

四、高中数学与政治整合教学研究概况与思考

⑵发挥学生主体作用。作为教学活动的主体，学生才是整合的“行家里手”，比起数学教师，学生更熟习高中思想政治课中关于经济、政治、文化、哲学方面的知识。而比起政治教师，高中学生更能熟练运用数学知识和思想方法来分析解决问题，教师在课堂教学活动中要相信学生能够具有知识迁移的能力，掌握和运用数学、哲学知识和方法的能力，大胆将讲台交给学生，教师自己不妨做做学生，或许有不少数学课知识与政治课知识整合较强的点，学生比我们专科教师理解得透，运用得活，讲述得巧，吸收得好。同时这个过程是学生真正学以致用，实现我们教学活动本真目的的过程。

⑶适度调整课程结构。现行的高中课程设置、课程结构经过专家学者的研究论证和教学实践的证明，有着不可置否的科学性，但任何的认识都会因实践及其发展的需要不断调整创新。在一线教学中我们有这样的体会，当出现不同学科知识、方法交汇的时候，我们多希望相关学科已经介入到了。比如，高一《经济生活》开篇讲消费现象，分析价格与价值的关系、价格变化与需要变化的关系、商品价值与劳动生产力的关系、汇率变化与汇价的关系等等就需要方程思想、函数思想、数形结合等数学思想的运用。又如，在高二《生活与哲学》中对一些哲学命题的分析，需要运用到极限知识。再如，高中数学入门就需要的辩证唯物思想背景则是高二年级必修四《生活与哲学》的内容。这样的教学现实启示我们应该结合教学实际思考和研究适度调整课程设置，课程结构，使学校课程结构更为合理。

⑷立足教学实践 研究要从实际出发，挖掘研究课标教材，设计整合教学方案，开展教学实践研究。先精选若干内容，设计撰写教学案例，集体讨论，专人执教，课后反思、评论、总结，形成案例分析书面材料，以课堂教学实践检验修正假设，构建学科间知识方法联系与教学联系。既注重解决实际问题，又注重概括、提升并探索规律。

五、高中数学与地理整合教学研究概况与思考

高中地理涉及数学的内容较多，中学地理教学应逐渐加强数学知识的融合，国内对地理与数学整合问题已经有了一些研究，综述如下：

1.当前研究的主要特点

地理与数学的整合问题已有一定的研究，研究方向大致分为两类，一类是从理论层面对地理教学中常用的数学思想与方法进行概括；另一类是结合具体案例阐述数学思想方法在解决实际地理问题中的应用。

当前的研究多数集中在地理学科中那些与数学明显相关的常见内容，如：宇宙与地球知识、时间计算的知识、等值线的知识等，多集中于自然地理部分，对人文地理与数学的结合研究较少。

对于某些与数学关联性较强，有研究价值的地理内容（如：经纬线与球面几何；地图投影；气候类型各类参数的数学定量等）恰好研究较少，更缺乏从学校管理角度对课程设置与教学的整体整合研究。

2. 当前研究的主要成果

譬如，潘玉君、丁文荣等（2004）论述了地理学中数学方法的发展、内容体系及如何应用，并对地理学中数学方法作了简要评价；周富贵、李生忠等研究了在具体的中学地理教学中应用数学思维和方法，更好的培养学生的地理思维和解决地理问题的能力；王文亮（2010⑸教育硕士论文）在新课改理论和建构主义数学理论指导下，通过对高中地理教材中涉及到的主要数学思想和方法以及相关文献进行研究，提炼出了可以在高中地理教育教学中应用的数学思想和方法，探究了数学思想方法在中学地理教育教学中的应用与实践意义和作用。

结合具体地理问题的研究较多，譬如，孙中旭（2007）梳理了以下方法：①借助数学中的“空间想象”来论述恒星日与太阳日的差别；②利用数学计算的方法来理解与解决诸如：地球所接收到的太阳辐射能量是太阳辐射能量的22亿分之一、经纬网、时间计算、等值线等问题；③通过公式分析的方法能够合理解释诸如：“地球自转和公转周期适中，地表温差小”等问题；④利用逻辑推导的方式可以很好地解释黄赤交角的变化与地球五带范围变化的关系；⑤结合数据分析方法，选择关键性判断依据，能够客观准确地根据气温和降水的统计数据来判断出所属的气候类型。

高振军（2009）论述了以下几类应用：①运用数轴法进行地方时和区时的计算；②巧用函数知识解决气温垂直递减率、太阳能集热板与地面的夹角等问题；③用几何中的法则、公式、将空间问题转化为平面问题来解决，适用的地理知识有航空、航海、飞机飞行速度、卫星发射、地理规律证明（如证明：60°纬线的周长是赤道的一半、北极星仰角等于北半球观测者的地理纬度）；④还可利用集合知识理解和解决分类、相互关系这一类问题。

马晓维（2011）论述了数学知识的两种应用：一是借助数轴来理解东西半球划分的问题；二是利用有理数的知识来理解时区的计算。

周富贵（2007）阐述了四种数学思想在地理分析计算题中的应用：①化归思想：例如等高线图中计算两点相对高度；②函数和方程的思想：例如利用正午太阳高度计算公式求某地坐标；③数形结合的思想：例如在等高线图中计算坡度；④分类讨论的思想：例如日期与时间的计算问题。

何双（2004）论述了以下几类应用：①运用立体几何，在建筑规划上的应用。如楼间距的计算问题；②运用函数导数的知识，在城市化发展中的应用。如区域发展的不同阶段的城市化水平问题；③运用数列、统计知识，在国情发展中的应用；④运用统计图表，在国情对比上的应用；⑤运用解析几何的知识，在人口增长率对比中的应用。

王建华用实例列举了人文地理中的四类数学方法：①极值法：如人类活动（农业、工业、交通、商贸等）总是以最小的投入获得最大的产出，即效益最大化为原则；②图像分析法：如三角坐标图、人口金字塔图、各类统计图（线状、柱状、扇形、雷达图、直角坐标象限图等）及复合图；③数据处理法：即利用地理统计图、表提供的数据，通过对其二次处理得到新的图像或有用的数据，解决实际问题。④综合评价――打分法：如交通线路、城市总体布局最优方案的确定。

王元波等（2003）列举和阐述了借用数学的思想对一些地理基础知识加以理解和记忆，文章梳理了四类创新方法：①数学分析创新，如在进行时差计算时，学生由于空间思维较差，往往出现计算错误，但如果在教学中借用有理数和数轴进行计算，问题就变得简单了；②数学记忆创新，即在教学中找到地理数据本身的联系与规律，让学生利用这些联系或规律进行记忆，就会取得较好的效果。如回归线的度数为23.5°，记忆方法为：2+3=5；③数学联想创新：即在不同的地理数据之间建立一定的数量关系，就可以把他们记住。如黄赤交角度数（23°26′）=回归线度数（23°26′）+极圈度数（66°34′）=90°；④数学归纳创新：如秦岭――淮河一线是我国冬季0℃等温线、800mm等降水量线等多条地理分界线穿过的地区。

司北镇（2007）举例说明了以下方法：①利用不等式求两点间的差值：如求等高线图中陡崖的相对高度；②利用集合的概念，判断等值线的取值范围。如闭合等值线的取值问题；③根据数值递变规律判断等值线取值范围。例如据此可得出闭合等值线“大于大的、小于小的”的规律；④添画辅助线判断数值大小。如在等值线凸出处作横向辅助线并取值进行比较，可化难为易。

鲁慧勇等（2007）论述了几个较为深刻的问题：①用数学方法推导出了正午太阳高度的计算公式和变化规律；②加法原理（求和思想）的应用：如用此原理可全面解释秦岭南坡年均温高宇北坡的原因；③乘法原理的应用：乘法原理即综合分析各因数项及其大小的求积的思想，如用此方法可全面分析冬季我国南北温差很大的原因；④用数学上的图像解决地理问题：如可将太阳直射点的回归运动转化为一正弦曲线，对于理解该问题大有帮助。

李生忠（2014）列举了四类方法：①用数学中的方程解决地理问题；②用数学中的公式解决地理问题；③用数学图形解决地理问题；④用平移法解决地理问题（如天气系统的移动）。

周正朝（2014）分析了以下问题：①采用公理化思想解释日食与月食的发生；②采用集合思想分析天体系统；③采用图像思想分析太阳直射点变化（同王元波等及鲁慧勇等）；④用归纳思想巧记地理数据（同王元波等及鲁慧勇等）；⑤逻辑思想分析地球上五带的范围（同孙中旭）。

可见，现有研究主要围绕以下几个方面：①地理和数学相互整合的意义及方法论；②地理中与数学关联性较大的内容的梳理和统计；③借助数学思想加深对某些地理问题的理解；④应用数学的思想和方法来解决一些具体的地理问题。

现有研究中较少关注的问题有：①高中地理教师需要储备哪些数学知识及达到的深度；②高中地理教学与数学教学之间如何整合，以达到应用数学思维和方法，解决地理教学中的难点问题，培养学生的地理思维和解决地理问题的能力；③在高中教学中地理教学及数学课程如何地安排，如何来重组两个学科的课程以及有目的地显示数学为其他学科服务功能的研究还很少。

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课题项目：本文是云南省十二五教育科学规划课题“高中新课程数学与其它学科教学整合研究（BE14017）”阶段性研究成果。