高中数学形式化与非形式化教学的案例研究

在新一轮高中数学课程改革中，数学的形式化与非形式化已经作为重要的内容写进了高中数学新课程标准当中．高中数学不同于初中数学与高等数学，它在研究对象的外在内容的同时也适当的渗透着数学形式化的本质，因此高中数学教育的主要任务就是，让学生在看到数学现象的同时也尽可能的认识到数学的本质．数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽．

1 教师构建平台，学生主动建构

高中学生在入学前发展了许多非形式教学知识，这些知识对学生来说很有意义也很有趣味，非形式教学常常是主动建构而不是被动接受．进入高中后，大量的学习是用符号写成的形式数学．研究表明，“学生常常不是按照教师的方式去做数学．”也就是说，学生不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己现存知识去过滤和解释新信息，以致同化他们．

［案例1］ “二项式定理”教学实录片段

教师：大家一定知道著名的大数学家费马吧，他是解析几何的创始人之一．费马对数学的贡献远远不止于此，他几乎涉足到数学的每一个领域当中．与费马同期的有一位也相当著名的物理学家，他就是帕斯卡，帕斯卡与费马非常友好．费马三番五次要引起帕斯卡对数论的注意，这样他们可以一起研究讨论，可是帕斯卡从来对这门数学并不在意．可是他们却同时对一个问题产生了兴趣，而且一起研究．下面让我们一同来看一看引起这两位著名学者注意与兴趣的究竟是什么问题？

教师：他们感兴趣的问题是（屏幕上出现有关内容与动画演示）：丢掷一个铜板或者一粒骰子几次，我们所期望的结果出现的机会是多大？能不能计算出来？这个问题在我们先前学过的概率知识中是可以解决的，而帕斯卡和费马研究最简单的情形：掷铜板的游戏．一个铜板只有二面：头和花．我们用英文字母T代表花，H代表头．

掷铜板一个一次出现的可能情形是：T、H．

掷铜板一个二次出现的可能情形是：TT、TH、HT、HH．

掷铜板一个三次出现的可能情形是：TTT、THT、HTT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH．

在这类游戏中，我们并不关心头和花出现的次序而是它们的次数．因此我们把TH和HT看成是一样的，THT和HTT及TTH是当作相同，又如果我们把TT、TTT简写成T2、T3．那么我们看看掷铜板游戏的结果：

掷一次： T H

掷二次： T2 2TH H2

掷三次： T3 3T2H 3TH2 H3

掷四次： T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

… …

同学们也来当一回小数学家，你如果得到上述结果， 你会有何推测与联想呢？

（课堂上以小组为单位热烈的讨论起来．）

学生1：我有发现！我把那些数字提取出来便可以得到一个三角堆．

0行1

1行1 1

2行1 2 1

3行1 3 3 1

4行1 4 6 4 1

5行1 5 10 10 5 1

6行1 6 15 20 15 6 1

…………

教师：非常好！按照这位同学的方法我们可以得到一个数字结构．请大家看大屏幕．我们可以设第0行的数字是1，或者可以这样说，没有掷铜板，那么结果只有一种，大家同意吗？

学生们：同意！

教师：以上同学们推测的结果就是“杨辉三角”．让我们来看一下有关我国古代著名数学家杨辉及其成就．（在屏幕上显示有关我国古代著名数学家杨辉及其成就，增强学生的民族自豪感）

教师：当然以上的杨辉三角仅仅是大家推测的结果，正如牛顿的名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”同学们现在就把自己置于数学家的位置，仔细观察一下这个蕴涵丰富数学思想的杨辉三角，看看它会使你联想到与哪些我们已经接触过的数学结构有关呢？

教师提示：与什么样的代数结构有关？

（小组讨论若干时间后）

学生2：我们小组讨论的结果是杨辉三角与

(a+b)n展开后的系数有关．

n＝0， 我们有(a+b)0＝1

n＝1， 我们有(a+b)1＝a＋b

n＝2， 我们有(a+b)2＝（a＋b）（a＋b）＝a（a＋b）＋b（a＋b）＝a2+2ab+b2

n＝3， 我们有(a+b)3＝(a+b)1(a+b)2＝a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)＝a3+3a2b+3ab2+b3

… …

教师：Very good! 大家的探究已经有了成果．处于17世纪末的牛顿也发现了二项式的一般展开式的系数具有这样的规律．这个结果一般我们的数学教材上称为二项式定理，有些参考书目上也称为牛顿二项式定理，这是代数上的一个基本和重要的定理．下面就让我们大家一起来揭开这个重要的代数定理的神秘面纱．

2 创建适当情境，自述概念实质

学生能用自己的语言解释概念的本质属性是学生深刻理解概念的一个非常重要的标志，而将日常语言翻译成数学语言则是一项常规的数学活动，是数学应用的必要步骤．在数学教学中，我们应当从数学学习的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述思想之前，通过可观察的（实物、图形、图表等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，以达到对知识的真正的理解．要为学生创造一种环境，使他们在其中能扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释．

［案例2］ “函数最大值与最小值”教学设计片段

2．1 看股市行情，渗透最值概念

下面是一段摘自股市分析的话：

从一月份股市行情看2007年大盘走势．通过对以前K线图的分析，还可以得出一个结论：这就是大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部．

（1）给出大盘走势的一张草图．引导学生分析大盘走势草图中隐含的函数关系：横坐标的现实意义；纵坐标的现实意义；两个变量之间的一种函数关系．

（2）在大盘走势的函数图像中引导学生进一步思考它反映了曾学过的函数的重要性质：函数的单调性．

（3）让学生考虑用数学语言来解释“大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部”这句话．从中隐含着函数的另一个重要性质：函数的最大值与最小值．

设计意图：数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来，有些数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设归纳、抽象的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性．在这里我们用现今的股市行情作为问题的实际背景引出函数的最大值与最小值，让学生认识到我们的生活中处处有数学，处处渗透着数学模型．

2．2 分析辨别概念，由表象到本质

让学生通过上述问题情境，通过“数学学习共同体”的探讨，根据自己的理解给出“函数最大值与最小值”的概念，并把这些概念罗列在黑板上．（学生给出的一系列概念中或许有些是不完善的，有些甚至是错误的．）

（1）对学生给出的一系列“函数最大值与最小值”的概念加以辨析，对一些不完善的理解加以完善，对一些错误的理解加以修正，从而得到“函数最大值与最小值”在直观图像上的理解：函数在给定的定义域内的最大值对应于函数图像上的最高点的函数值，最小值对应于函数图像上的最低点的函数值．在函数取得最大值处，函数呈现先递增再递减的趋势；在函数取得最小值处，函数呈现先递减再递增的趋势．

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（2）教师给出严格的函数最大值的定义．

（3）让学生类比的给出函数最小值的定义．

（4）对函数最大值与最小值概念的进一步理解与辨析

教师提问：若在上述定义中去掉“任意”两字，这个定义是否正确？

让学生体会“任意”两字的重要性，进一步从图像（上面的股市大盘走势函数图）上理解函数最值的真正含义．

设计意图：尊重学生的主体意识，利用“情境相关性”促使学生的认知在“数学学习共同体”的探讨与辨析中不断得到同化与顺应，矛盾对立不断得到统一，概念理解不断得到提升；让学生在“数学学习共同体”这个实践场当中与群体、环境产生互动与协调，从而使学生中的“边缘参与者”向“中心成员”转变；最后由教师给出函数最大值的严格的形式化定义，学生是应该能够理解与接受，再让学生类比的给出函数最小值的严格表述，这样就给学生寻找了一个合适的台阶进行过度．

3 渗透数学形式化，合理提升思维

高中数学偏重于非形式化，但一定的形式化也是必不可少的．数学是抽象化了的理论, 完全由数学特有的语言、符号、组织方式来体现,我们所操作的、所面对的也都是这些形式化了的对象．因此,掌握数学形式演变的常规的、必然的规则, 数学表示与结果形式的习惯模式、乃至具体到每一类问题的表示形式、结果形式等等, 也就显得十分必要．当然这里面绝不只是指那种纯粹的变化规则, 而是要结合逻辑的、直觉的思想方法, 以推进数学解题的进程．加强形式化思维的教学, 符合数学内在的规律, 是数学认识的一个重要方面．应当培养学生进行较复杂的形式推演的训练,培养学生善于用数学的符号、运算、名称、关系等来考察与对待各种实际问题中的数量方面的内容, 把对象系统中量的方面的表现通过恰当的数学形式，比如：坐标系、函数、集合、方程、不等式、曲线、图形等来表示,以提出规范化的、切合实际的数学问题, 建立数学模型、目标．

［案例3］ “糖水问题”案例设计

糖水应该是日常生活中再简单不过的东西，糖水浓度向我们提供了丰富的教学资源．

这个平凡的糖水能提供这么丰富的数学素材，我们能引导学生将这样一个普遍而又简单的实际问题一层一层的上升到数学形式化的表达式，归纳出数学形式化的不等式．对于学生来讲，这不能不说是一种数学能力与数学素养的提高，因此我们可以说，在必要的时刻对某些问题进行适当形式化的处理是十分必要的．

4 调整知识顺序，建立网络结点

数学的教育形态之一就是要把教科书上线性排列的知识“打乱”，同时融合不同学科的相关知识，由内在联结将它们串起来，建立网络．这样，学生的火热的思考就在于凸现思维网络的“结点”，在纷繁复杂的干扰中寻找本质的、感性的信息，从而使教学达到对数学内在本质的认识．这里，让我们通过一些案例说明如何认识、组织和设计一些数学联结点，形成学生火热的“联结性”思考．

（1）高中数学中平面向量、解析几何、复数三者之间就存在着必然的联系，其基本的连接点就是“既有方向，又有大小”．于是在这些知识的教学中就要恢复学生火热的思考．使“既有方向，又有大小”这一思想在不同的，或许是相互没有联系的情境中应用．

（2）三角函数的教学，从静态的正弦定理、余弦定理到动态的周期变化、潮水涨落、弹簧波的振动以及在轴上均匀旋转的轮子边缘上荧光点的运动等现象，把代数式、三角形、单位圆、投影、波周期等离散的领域联系在一起，正是三角函数使它们形成一个有机整体，同时它们也是三角函数在不同侧面的反映．因此对于三角函数的教学必须通过再创造来恢复学生火热的思考，使之返璞归真，让三角函数丰满起来，才能把教科书上定义―公式―图像―性质―应用这些冰冷的美丽变成学生丰富的联想，使学生在某一领域孤立学习的主题能迁移到另一领域中．

（3）余弦定理是代数式与三角形的联结点．如下面问题，用余弦定理观察代数式就是关键，是学生火热思考的来源．

火热的思考往往只在一些关节点上发生，找到数学知识网的结点，就能纲举目张，以一当百．以前华罗庚先生说过，读书要把书读到越来越薄才好，其实也是说要在关节点上进行火热的思考，抓住关键，提纲挈领，一本书就成了不多的一点东西．

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