时间：2023-03-11 06:36:44
1、教材分析
(1)知识结构
平行线的性质：
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是平行线的性质．教材上明确给出了“两直线平行，同位角相等”推出“两直线平行，内错角相等”的证明过程．而且直接运用了“”、“”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，对逻辑推理能力是一个渗透．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．学生对推理证明的过程，开始可能只是模仿，但在逐渐地接触过程中，能最终理解证明的步骤和方法，并能完成有两步推理证明的填空．
本节内容的难点是理解平行线的性质与判定的区别，并能在推理中正确地应用它们．由于学生还没学习过命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，用的时候容易出错．在教学中，可让学生通过应用和讨论体会到，如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果由两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质．
2、教法建议
由上面的重点、难点分析可知，这节课也是对前面所学知识的复习和应用．要有一定的综合性，推理能力也有较大的提高．知识多，也有了一些难度．但考虑到学生刚接触几何，进度不可过快，尽量多创造一些学习、应用定理、公理的机会，帮助学生理解平行线的判定与性质．
(1)讲授新课
首先，提出本节课的研究问题：如果两直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系吗？探究实验活动还是从画平行线开始，得出两直线平行，同位角相等后，再推导证明出其它的两个性质．教师可以用“”、“”的推理证明形式板书证明过程，学生在理解推理证明的过程中，欣赏到数学的严谨的美．
(2)综合应用
理解平行线的判定和性质区别，并能在推理过程中正确地应用它们成为了教学难点．老师可以设计一些有两步推理的证明题，让学生填充理由．在应用知识的过程中，组织学生进行讨论，结合题目的已知和结论，让学生自己总结出判定和性质的区别，只有自己构造起的知识，才能真正地被灵活应用．
(3)适当总结
几何的学习，既可以培养学生的逻辑思维能力，，也可以培养学生分析问题，解决问题的能力．对于好的学生，可以引导他们总结如何学好几何．注意文字语言，图形语言，符号语言间的相互转化．对简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写逐渐规范．
教学目标
1.使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算．
2.通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力．
3.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．
教学重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点．
教学难点（：正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点．
教学方法：开放式
教学过程
一、复习
1.请同学们先复习一下前面所学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？
2、把这三句话已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？
3、是不是原本正确的话，颠倒一下前后顺序，得到新的一句话，是否一定正确？试举例说明。
如、“若a=b，则a2=b2”是正确的，但“若a2=b2，则a=b”是错误的。又如“对顶角相等”是正确的。但“相等的角是对顶角”则是错误的。因此，原本正确的话将它倒过来说后，它不一定正确，此时它的正确与否要通过证明。
二、新课
1、我们先看刚才得到的第一句话“两直线平行，同位角相等”。先在请同学们画两条平行线，然后画几条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否相等？
上一节课，我们学习的是“同位角相等，两直线平行”，此时，两直线是否平行是未知的，要我们通过同位角是否相等来判定，即是用来判定两条直线是否平行的，故我们称之为“两直线平行的判定公理”。而这句话，是“两直线平行，同位角相等”是已知“平行”从而得到“同位角相等”，因为平行是作为已知条件，因此，我们把这句话称为“平行线的性质公理”，即：两条平行线被第三条线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
2、现在我们来用这个性质公理，来证明另两句话的正确性。
想想看，“两直线平行，内错角相等”这句话有哪些已知条件，由哪些图形组成？
已知：如图，直线a∥b
求证：（1）∠1＝∠4；（2）∠1＋∠2＝180°
证明：a∥b（已知）
∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∠3＝∠4（对顶角相等）
∠1＝∠4
（2）a∥b（已知）
∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∠2＋∠3＝180°（邻补角的定义）
∠1＋∠2＝180°
思考：如何用（1）来证明（2）？
例1、如图，是梯形有上底的一部分，已经量得∠1＝115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？
解：梯形上下底互相平行
∠A与∠B互补，∠D与∠C互补
∠B＝180°－115°＝65°
∠C－180°－100°＝80°
答：梯形的另外两个角分别是65，80°
练习：P791、2、3
小结：平行性质与判定的区别
作业：P879、10
1.经历从性质公理推出性质2的过程;掌握平行线的性质,并能用它们作简单的逻辑推理;
2.感受原命题与逆命题,从而了解平行线的性质公理与判定公理的区别,能在推理过程正确使用.
【教学重点】
平行线的性质以及应用.
【教学难点】
平行线的性质公理与判定公理的区别.
【对话设计】
〖探索1〗反过来也成立吗
过去我们学过:如果两个数的和为0,这两个数互为相反数.反过来,如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的.
现在换一个例子:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.它是对的.反过来,如果两个角相等,这两个角是对顶角.对吗?
再看下面的例子:如果一个整数个位上的数字是5,那么它一定能够被5整除.对吗?这句话反过来怎么说?对不对?
〖结论〗如果一个句子是正确的,反过来说(因果对调),就未必正确.
〖探索2〗
上一节课,我们学过:同位角相等,两直线平行.反过来怎么说?它还是对的吗?完成P21的探究,写出你的猜想.
〖推理举例〗
如果把平行线性质1---"两直线平行,同位角相等"看作是基本事实(公理),我们可以利用这个公理证明平行线性质2:"两直线平行,内错角相等".
如图,已知:直线a、b被直线c所截,且a∥b,
求证:∠1=∠2.
证明:a∥b,
∠1=∠3(__________________).
∠3=∠2(对顶角相等),
∠1=∠2(等量代换).
〖探索3〗下面我们来证明平行线的性质3:两直线平行,同旁内角互补.请模仿范例写出证明.
如图,已知:直线a、b被直线c所截,且a∥b,
求证:∠1+∠2=180?.
证明:
〖探索4〗
如图:直线a、b被直线c所截,
(1)若a∥b,可以得到∠1=∠2.根据什么?
(2)若∠1=∠2,可以得到a∥b.根据什么?根据和(1)一样吗?
〖练习1〗如图,已知直线a、b被直线c所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:
(1)a∥b,∠1=∠3(___________________);
(2)∠1=∠3,a∥b(_________________).
(3)a∥b,∠1=∠2(__________________);
(4)a∥b,∠1+∠4=180?
(_____________________________________)
(5)∠1=∠2,a∥b(___________________);
(6)∠1+∠4=180?,a∥b(_______________).
〖练习2〗
画两条平行线,说出你画图的根据;再任意画一条直线和这两条平行线都相交,写出所生成的角当中的一对内错角,并说明这一对角一定相等的理由.
〖作业〗
教学建议
知识结构
重难点分析
本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.
本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也常常出现错误.
教法建议
1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧知识引入，先复习平行线等分线段定理，再改变其中的条件引出平行线分线段成比例定理
2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由学生测量得出各直线与线段的关系，从而得到平行线分线段成比例定理，并加以证明，较附和学生的认知规律
（第一课时）
一、教学目标
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.
2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.
3．已知线的成已知比的作图问题.
4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.
5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.
二、教学设计
观察、猜想、归纳、讲解
三、重点、难点
l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
【复习提问】
找学生叙述平行线等分线段定理．
【讲解新课】
在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．首先复习一下平行线等分线段定理，如图：
，且，
由于
问题：如果，那么是否还与相等呢？
教师可带领学生阅读教材P211的说明，然后强调：
（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）
因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：
由比例性质，还可得到：
为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简单的形象化的语言
“”.
另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.
根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个，参见下图.
，
.
其中后两种情况，为下一节学习推论作了准备.
例1已知：如图所示，.
求：BC.
解：让学生来完成.
注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：
例2已知：如图所示，
求证：.
有了5.1节例4的教学，学生作此例题不会有困难，建议让学生来完成.
【小结】
1．平行线分线段成比例定理正确性的的说明.
2．熟练掌握由定理得出的六个比例式.（对照图形，并注意变化）
七、布置作业
>（第二课时）
一、教学目标
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.
2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.
3．已知线的成已知比的作图问题.
4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.
5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.
二、教学设计
观察、猜想、归纳、讲解
三、重点、难点
l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
【复习提问】
叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.
【讲解新课】
在黑板上画出图，观察其特点：与的交点A在直线上，根据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：
平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．
在黑板上画出左图，观察其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：
平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．
综上所述，可以得到：
推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图，（六个比例式）．
此推论是判定三角形相似的基础．
注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况．
这个推论不包含下图的情况．
后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）
例3已知：如图，，求：AE．
教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.
让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）．
【小结】
1．知道推论的探索方法．
2．重点是推论的正确运用
七、布置作业
（1）教材P215中2．
关键词：数学；教师；角色；分组；小教师队伍；更新；培训
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）05-112-01
新课程理念要求教师的角色越来越向多元化发展，教师不再是单纯的知识传递者，数学教师必须从传统的传授角色向教育过程的指导者、组织者、参与者的角色转变，向成为学生学习的同伴、学习过程的支持者和帮助者进行角色定位。是把讲台“还”给学生的时候了，学生才是这个舞台的“主演”。
一、组建“班级小教师队伍”向课堂45分钟要质量
课堂是学生学习数学的主阵地，课堂45分钟是学生学习的最佳时间。如何利用这宝贵的45分钟，是笔者经常思考的问题。为此，笔者尝试了下面的方法----我来当老师：
首先，组建“班级小教师队伍”。深入了解班级每位同学，从中选出数学基础较好、思维灵活、表达能力较强的同学，组建“班级小教师队伍”，对其进行一段时间的培训，然后将其分配到各个小组，负责这个小组的课堂学习活动。该队伍每学期更换一次。其次，课前“集体备课”，每节课前召集班级小教师成员进行集体备课，确定本节课的重点、难点，讨论这节课的学习方法、课堂学习进程、交流活动的设计等课堂教学问题。随之确定由那位“教师”来主讲这节内容。第三步，课堂教学，经过集体备课，台上的“教师”已基本没有了紧张情绪，可以顺利完成教学任务，若有问题，其他“老师”可随后进行补充，最后由笔者做点评或补充。第四，作业设置，在集体备课时，已经考虑了作业的布置，这里的作业是由“教师团”自己设置的“提高”练习题。最后是情况反馈，在下次集体备课时进行。
案例：
课题：《为什么它们平行》（北师大版八年级下册第六章）
组织班级小教师集体备课（讨论式）：
问题：两条直线在什么情况下互相平行呢？
生：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线，两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行.
问题：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就和全体同学来解决这个问题。
确定本节课的重点、难点：
教学重点:平行线的判定定理、公理。
教学难点:推理过程的规范化表达确定由“闫教师”来主讲这节内容，并写出“教案”。
例题：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
解：他的作法可用右图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB。下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程（请一位同学板书）：
已知，如图∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2。求证：a∥b证明：∠1=∠2∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∠2+∠3=180°（等量代换）
∠2与∠3互补（互补的定义）
a∥b（同旁内角互补，两直线平行）这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行.
习题：蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由。（同学板书）
解：这三个四边形的形状是平行四边形.
理由是：∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）
∠α+∠β=180°（等式的性质）
AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）
点评：小老师的精彩表现让同学们耳目一新，故而精力集中、积极参与，课堂充满了学习的快乐。充分展现了“主人”的学习积极性和学习的能力。
二、对“小教师队伍”的进行定期更新与培训
【关键词】数学教学数学知识数学概念数学过程发展能力
数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。数学教学中问题的提出、命题的探究、解题思维的展现、知识结构的优化等过程，都属于数学知识的发生、发展、形成过程，然而，知识发生、发展、形成过程的再现主要在于教师对教学过程的设计、教学方法的选用以及教学手段的运用，本文就此作一些肤浅的探讨。
一、概念发生过程的教学
数学概念有的直接从客观事物的空间形式和数量关系反映而来的，有的在抽象的数学理论基础上经过多级抽象才产生发展得来的，但不管数学概念如何抽象，都有它的具体内容，概念教学中，要揭示概念的提出、抽象和形成过程，尽可能让学生参与、体验概念形成过程中的思维活动，并努力用精确、简炼的语言充分揭示概念的本质属性，紧扣概念中关键的字词，以及注意概念间的联系、比较与概念的应用。例如：在介绍不等式的解与解的集合的概念时，可设置如下问题让学生讨论研究。
①X取数值0.8，1，2，3.5，5时，哪些能使3x＜9成立？哪些不能成立？从而学生可归纳出在一个不等式中，若用一个数值代替未知数X，能使不等式成立的叫不等式的一个解，如X=0.8，1，2。
②不等式3x＜9有多少个解？怎样表示？交给学生讨论，自然得出能使上述不等式成立的未知数的值有无数多个，进而指出是一切小于3的数，即3x＜3。在这个基础上给出不等式的解集的概念，再结合数轴表示出来。这样由学生自己发现，并结合图形讨论得出的概念，就易于理解容易掌握。
又如：全等三角形的概念、相似形的概念、轴对称与中心对称等概念，可用直观模型的演示得到，从而降低理解难度，负数概念由具有相反意义的量的实例引入，方程的概念由求解应用题的实例引入，这样也自然得体，易于接受。总之，在概念建立的过程中，注意培养学生观察、比较、抽象、概括、表达等能力，从而有利于揭示概念的过程，把握概念的实质。
二、法则、公式、公理形成过程的教学
数学中法则、公式、公理的提出，是通过归纳得出的数学规律，教学时要充分发挥学生主体的积极性和主动性，使他们的学习过程与发现过程同步，给学生适当的思维时间和空间，让学生积极主动地思维。力求从已学知识出发，利用实验、运算、画图等方法，让学生去体验发现的喜悦，去认识知识的形成过程。否则，那种重结论轻过程的教学，必定会造成学生只机械地记公式、法则、公理，不能形成良好的解题能力。
例如：乘法公式若只要求学生记住，会做一些模仿性的练习，而忽视对它的由来、规律的讲授，要不多久，公式就易遗忘。教学中应以具体的数例，让学生寻求规律，从而得出公式。同时还可利用直观图形，导出公式，如a2-b2=(a+b))(a-b))可结合图形导出（图1）。图中阴影部分的面积可看成大正方形面积(a2)减小正方形面积（b2)，也可看成宽为（a-b），长为（a+b)的长方形面积，所以平方差公式成立。
三、定理探究过程的教学
教科书上往往看不到定理的形成、探究的思维过程，至于证明方法是如何构想的，学生无法得知。这就有待于教师启发引导，展示分析、思维过程。如果照搬课本内容，只停留在知识的传授，满足于定理的证明，学生就只能“一听就懂，一做就错”，也就谈不上提髙学生的能力了。教师不仅要讲“如何做”，更应该讲“为什么这么做”。应把自己的思维活动过程暴露给学生，让学生去思索、去评价，从中得到启发，提髙能力。如：等腰三角形的判定定理的证明，先分析如何证两线段相等？再思考两腰要分别放入哪两个三角形中？最后引导学生理解添加辅助线的合理性、必然性。这样分析既强化了两线段相等的证明方法，巩固了三角形全等判定和性质的知识，又加深学生对等腰三角形“三线合一”性质的理解，更重要的是通过暴露解题的思维过程，学生可逐步形成明确的解题思路，思维得到了训练，又能培养学生分析问题解决问题的能力。
四、数学问题求解过程的教学
问题求解过程的教学要强化“问题意识”，充分展现对问题加工处理的过程和解决方案的制订过程，通过数学问题求解，激发学生的数学意识，以磨炼学生的意志品质，培养解决问题的能力。为此，教师在教学中要充分调动学生积极思考，广开思路，展示他们的思维过程，引导学生对解题方法和规律进行提炼概括，通过提炼概括过程的参与，使这些方法和规律成为迅速解决数学问题的思想方法。
例：如图2，在ABC中，已知D为AC上一点，E为CB延长线上的一点，且BE=AD，ED和AB相交于F。求证：EF︰FD=AC︰BC。
这是一个证明比例式的习题，通常学生会想到找平行线，但题中没有，必另寻新路，要作辅助线，利用平行线转移比例的方法，学生往往无从下手。这时教师可让学生按一定顺序去尝试。EF︰FD中E、F、D在同一直线上，分别过点E、F、D作平行线AC(或BC的平行线，学生会发现过这三点分别作平行线，并非均能证，有些学生会思维受阻，经过多次尝试才能成功，使学生认识思路探索并非一帆风顺，应仔细分析，不断寻找最佳解题途径。通过对上例的探索，学生发现过其他点作平行线也能得证，从中体会到平行线转移线段比的思想方法，引导学生进行归纳，使之成为学生迅速解决问题的有力武器。
初中阶段是发展学生能力的关键阶段，加强数学过程的教学是发展学生能力的重要方面。为此，在教学中要不失时机地，坚持注意揭示数学过程的教学，这对培养学生发现问题，提高分析问题和解决问题的能力，极为重要。
参考文献
[1]学校班班通教学应用典型案例[OL].互联网-百度文库
[2]三角形全等的判定1-八年级数学教案[OL].互联网
[3]冷拥军.在数学教学中培养创新思维浅说[J].职业教育研究
关键词：数学教学；运用三个并举；思维能力
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）02-0047-01
一、曲直并举
辅助线的寻求过程无疑是一个复杂的思维过程，其中直觉思维占据了重要的地位。作为教师“不能用我们已熟练了，甚至形成‘条件反射’，思维已经隐去的水平去看待学生”。否则，一方面不能正确评估自己的学生；另一方面也不利于教会学生。因此，我们要努力按照学生思维规律设计好与学生思维同步的教案，并注意不光讲怎样作，更要讲怎样想，讲触发基点，讲演变过程，讲成功经验，讲失败教训，讲迷途知返。事实上，只有充分揭示这一迂回曲折的思维过程，才能有助于学生真正的懂和真正的会。同时还要让学生在反复练习中认真体会、顿悟，使之成为学生的真受实感。
例1：在ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且BE＝AD，DE与AB交于点F。求证：■=■。
分析：本例提供的条件是“BE＝AD”，所要求证的结论是比例式“■=■”。然而根据题设作成的图形中，既找不到相似的三角形，也不存在相互平行的线段。此处进一步考察待证式，不难发现：纵向的EF、FD共线，横向的EF、AC的四个端点不能同时构成一个三角形。综上，我们只能考虑添加平行线，使之过E、F、D三点中的某一点（为什么？）。首先不妨过点D试作BC的平行线DG（见图1），显然有■=■=■，至此本例得证。联想到AB、BC相对点D地位对等，试作DH∥AB，同样有■=■=■。其次因意识到点E与D地位也对等，可以类似地得到第三、第四种辅助线EM和EN。最后再考虑一下，过点F作平行线能否解决问题，答案固然是否定的，但这是为什么呢？原来前述所作的四种平行线，之所以能解决问团，都与点D、E所处的特定地理位置（AD、BE的端点）紧密相关，使得“BE＝AD”这一条件得到充分运用，起了不容忽视的连接作用。故此留给我们的教训是：光知道作平行线，不考虑与已知条件挂钩，是同样解决不了问题的。（证明略）
值得一提的是，本例分析只是笔者的教学设计，至于施教时的分析，应根据学生答问情况随机调整顺序，那种不顾实际，照“案”引导，甚至包办代替的做法，都会影响其教学效果。
二、同异并举
大家知道，求同与求异在思维过程中尽管方式不同，任务各异，但它们是互相促进，相互制约的。从添加辅助线入门起，就应该积极引导学生参与辅助线的发现过程，了解积累一些添加辅助线的基本方法和基本经验，着眼于建立起良好的认知结构，不断增大学生思维跨度。譬如，当遇到求证垂足就是中点或中点就是垂足时，应很快意识到在一般增况下，都是运用等腰三角形性质来加以解决的，因而应注意引线构造出与之相关的三角形，尔后着力证明它是等腰三角形。在教学中，教者还要善于捕捉契机，多方位提出问题，引发学生求异，以逐步过渡到应用已有的经验创造性地解更新更难的问题，达到触类旁通、举一反三的高度。比如，在例1中，教者不妨提出，点E与D所处的地位有无相同之处呢？启发学生运用地位对等法作出辅助线EM或EN；在下述例2中，教者可以建议，能否考虑运用射影定理呢？诱导学生引线构造直角三角形。
三、巧拙并举
添加辅助线如同证（解〕题一样，也有巧拙之分，巧作的辅助线往往给人新颖奇特、干脆利落之感，因而受到人们的赞誉；而拙作的辅助线往往给人平淡无奇、多杂繁琐之感，因而受到人们的冷遇。其实“巧”与“拙”也是相对而言的，它们在积累学生知识、发展学生能力中却有着同等的地位与作用，诚然，巧作能使问题得以巧妙和简捷解决，是思维品质优化的表现，但拙作也不乏具有创造性，在扎实基本技能上有着不可低估的积极作用，况且巧作又得益于基本技能的形成。因此，当学生寻求辅助线思维出现停滞时，教者应从不断激发学生兴趣入手，本着由拙到巧的策略，引导学生努力挖掘辅助线的多种添法，既重视巧思巧作，又不忽视一般作法，巧拙并举，定能相得益彰，借此创设良好的学习情境，锻炼学生思维的多向性、灵巧性和机制性。
例2：在ABC中，AB＝AC，BDAC，垂足为D，求证：BC2＝2CD・CA。
分析一：由待证式BC2＝2CD・CA的特征，联想到动用相似三角形的性质，启示我们造相似三角形，不妨以RtBCD为基准，造一个与之相似的三角形。注意到BDAC和AB＝AC及BC2＝2CD・CA（即■BC2＝CD・CA）中的“■”，采用折半法作辅助线AE，使AEBC（见图2（甲））。
分析二：与分析一相仿，不妨以等腰ABC为基准造一个等腰三角形与之相似。考虑到BC2＝（2CD）・CA中的“2CD”及BDAC，采用加倍法作辅助线BE，使DE＝DC（见图2（乙））。
关键词：活动支点；初中生；课堂活动
一、支点中心课堂活动的目标
在不同形式的数学课堂活动教学中，学生的主动参与水平、学生的情绪体验以及学生构建新旧知识之间的链接都处于不同的发展水平，在此我们将数学课堂活动的水平分为三个层次，第一层次是处于被动接受的记忆化水平，在此水平下学生的知识接受和情感教育都出被动接受的状态。在这样的教学活动中，学生的学习突出“静”的特点，课堂一教师为中心，学生表现为安静的听讲，安静的看板书，安静的独自思考，安静的记忆板书和知识，学生处于一种消极的被灌输的状态，对知识没有质疑，没有深层次的思考，在课堂教学中没有主动的参与，课堂活动气氛压抑沉闷；第二层次是处于不断适应主体水平的教学，在此水平下学生的知识获取状态处于一种自然适应的水平。在这样的教学活动中，教师开始产生创设活动情境，调动学生积极性的认识，但是在实践中教师常常为了按照既定的教学思路进行，也为了方便的控制班级学生的状态，教师的有意识设置的问题情境被教师控制和牵制，教师表现出，明显的提示思维的思路，提供问题的答案，对于学生的不同意见或者不同思维，教师则选择忽略的态度，学生答案演变为教师思维或者说教师教学设计程序的再现或者说执行者。学生在这个教学活动开展的过程中，表现出激情和沉默的状态并存，在问题情境的开展之初学生的情绪积极性很高，但是在自己的思想无法充分发挥，自己的观点无法充分表达的时候，就会表现出一种冷漠的情绪状态；第三层次是处于创新水平的教学，在此水平下教师在活动设计中为学生创造思维和合作行为的支点，促进学生联系已有的知识和已有生活经验，进行知识的主动建构，学生的思维自由发展，观点自由发挥，教师在教学过程中不再为以设计好的活动开展过程和教案所设计，教学内容的开展是开放的，给学生留下思维的空间，引导学生通过独立探索和同伴互助实现知识的主动建构，教师在教学过程中起到辅助和重难点点播的作用，课堂的主体是学生，
学生在教学活动中表现出积极的情绪体验。
支点中心课堂活动正是以创新水平的教学为宗旨的，建立学生中心的课堂，以学生已有的知识和生活经验为基础，建立处于学生最近发展区的支点，通过构建循序渐进的支点，促进学生新旧知识不断联系，鼓励学生在活动中的积极参与，营造活跃的课堂气氛。
二、找准活动支点的依据
（一）、支点的设置要从学生的最近发展区出发
教学支点的设置要从学生已有的基础知识和学生的年龄特点出发进行设置。具体而言，包括三点，第一，教学支点要与学生的基础知识相关。支点的创设是为促进学生数学知识的学习，这就要求支点的设置要与学生已有的数学知识相联系。第二，教学支点要能够激发学生的思考。教学支点的创设是搭建学生已有知识和通过学习所能实现目标的支架，也就是最近发展区，因此，支点的创设要高于学生的已有知识激发学生的求知欲望。例如，在学习《二元一次方程组》时，学生通过多媒体技术首先系统的复习什么是二元一次方程，二元一次方程由几个必不可少的要素组成，方程的判定是含有未知数的等式，而二元指的是未知数的个数，二元指的是由方程中有两个未知数，一次指的是未知数的幂，两个未知数都是一次幂。通过从长时记忆中调动学生的相关的已有知识，为学生新知识的学习提供思考的基础和前提。接下来，联系本节课将要学习的知识，激发学生的认知冲突，并为学生提供思考的方向指引，借助多媒体，探究二元一次方程与一元一次方程的区别，在一元一次解法了解二元一次方程要获得解，必须组成方程组，即今天所学习的二元一次方程组。在这个过程中，学生主动的去解决自己遇到的困惑，通过将新知识进行转化尝试，不断地构建新知识和旧知识的链接，在不断的尝试中，学生领悟到二元一次方程组的解法，就是首先要把二元一次方程组转化为一元一次方程，但是怎样转化，学生在不断的计算尝试中，想到消元，这就运用到合并同类项的知识，最近获得二元一次方程组的求解方法。在这个过程中，教师支点的设置紧密联系学生的已有知识一元一次方程，由没有直白的告诉学生转化的方法，而是为学生留出思考和探索的空间。
（二）、教学支点的设置要与学生的生活经验紧密联系
支点教学追求的是创新性的课堂教学活动。因此，支点的设置要能够激发学生的兴趣，而不是简单的形式教育，在实践中许多教师出现绕大圈创设活动支点，但却引不起学生的兴趣。那么，什么样的支点教学设置引起学生的共鸣，那就是要结合学生的生活实际，创设贴近生活的支点。在学习《平行线的性质》的过程中，教师利用生活中的案例和图形解释平行线，例如教师利用铁轨解释平行线的性质，一列火车在铁轨上形式，在平行的铁轨上运行安排，不断的行前方形式，但在相交线上，火车在运行的过程中发生了交通事故，并且学生利用动态化展现平行线的平移两条线可以重合，而相交线不能。通过剪刀展现相交线的性质。通过多媒体学生展示了自己创造性的一面，知识通过行动有趣的方式在传递，学生在这个过程中发展着自己的思维，开发自己的想象力，把知识赋予自己年龄的特征，而这正是新时代对学生的要求，学生要有主体意识，要敢于思考，不断创新。
三、找准活动支点，优化数学课堂活动的策略
（一）、通过示范为数学课堂活动创设支点
学生的学习需要别人的帮助，而教师在这个过程中发挥着重要的作用。示范就是教师为学生提供支点的一个重要方式，但这里所说的示范不是指教师直接将问题的结果或答案直接的告诉学生，而是通过自己的示范，激发学生的数学思维，打开学生的思考瓶颈。例如，在《一元一次方程的运用》的学习过程中，学生分析给出的应用题进行一元一次方程的作答已经能够独立完成，并且准确率在95%以上，接下来是训练学生灵活运用一元一次方程的能力，组织的教学活动是以小组为单位根据一元一次方程自编应用题，但是在观察小组学习的过程中，发现绝大多数学生不知道如何进行思考。这时，就为学生提供示范，以简单的一元一次方程x+5=10为例，要根据式子编制应用题，就要先分清什么是已知条件，什么是未知条件，怎样根据已知条件和未知条件构建平衡，引导学生对该式子进行分析，学生在此基础上思维打开，开始由简单的一元一次方程编写应用题向由复杂的一元一次方程编写应用题发展。在这个过程中，教师通过示范搭建支点，促进学生探索活动的展开和学生思维的扩展。
（二）、通过对话为数学课堂活动创设支点
教师在于学生的对话中，通过启发式的提问激发学生的思考，打开学生的思维。例如，在《直角三角形全等的判定》的教学过程中，关于该课的学习很多教师采用的是告诉学生定理，然后再通过例子引导学生论证的方法，但是在这个过程中关于“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”定理的证明过程相对于初中学生来说难度较大，所以以小组为单位展开的数学活动学习就是无效的，其实质还是学生记忆定理，通过题海战术练习。这种搭建支点的方法，显然没有激发学生思考的热情，一名教师在引导学生回忆三角形全等的判定定理后，提出直角三角形是三角形，所以三角形全等的判定定理直角三角形都能用，但是直角三角形式特殊的三角形，那三角形全等的判定条件能不能简化？学生通过这样的对话激发学生的认知冲突，学生们以小组为单位根据三角形全等判定条件进行分析探讨。
（三）、通过作业为数学课堂活动创设支点
作业作为数学课堂活动的支点，主要指的是活动内容较多的情况下，其目的是把内容分成一系列相互联系的的部分，引导学生分组开展不同内容的教学活动。例如，在《同位角、内错角、同旁内角》的学习过程中，教师根据小组为学生分别布置同位角学习、内错角学习和同旁内角的小组学习，并给每个小组布置三个学习任务，第一，认识同位角（内错角或同旁内角）的含义；第二，找出图形中的同位角（内错角或同旁内角）；第三，利用同位角（内错角或同旁内角）解决黑板上的问题。通过这样的问题指引，本节课的学习有秩序的展开，并且通过问题的设置为每个小组的学习提供了学习支点，即第一步认识概念，第二步能够在图形中准确辨认，第三步能够运用知识解决问题。
参考文献：
黎文娟.促进理解的数学活动设计与实施.华东师范大学，2007.
肖玲.例谈数学活动设计的有效性――《节日礼物》数学活动设计案例对比评析.广西教育，2012，17：49+58.
案例1：走好“用眼看、动脑想、大胆猜、严格证”四步。
师：请同学们观察这个等腰梯形，它有哪些特征？
（学生小组讨论。）
生1：两腰相等。
生2：是一个轴对称图形。
生3：底角相等。
（对于生2，教师拿出等腰梯形的纸片进行演示，让他说明对称轴的位置；对于生3，纠正应该是同一底边的两个底角相等。）
师：如何验证同一底边上的两个底角相等呢？
生4：在将等腰梯形对折时，发现了两个底角是相等的。
生5：通过测量可以得到。
师：你们都说得非常好，测量或操作是我们发现一些命题常用的方法，但并不能作为证明命题成立的方法。请同学们继续思考，如何证明出这个结论呢？
（一段时间后，学生举手回答。）
生6：过上底的两个顶点分别作下底的高，然后通过三角形全等进行证明。
生7：过上底的一个顶点作一腰的平行线，可以运用平行四边形和等腰三角形的知识来证明。
师：刚才两个同学给了我们一些有益的启发，你能根据他们的叙述，完整地将证明过程写下来吗？你还有其他的方法吗？这些证明方法都有什么共同点？请同学们拿出练习本写下你们的证明过程。
（学生书写证明过程，教师巡视。）
在整个教学过程中，教师不仅传授了知识，还在数学课堂活动中展示了“直觉发现、推理证明”的过程。直觉发现是培养学生发现命题的重要方式，针对八年级学生的心理特点，这个过程是非常重要且必要的。教师不仅让学生口述证明的过程，还让学生动笔写下证明过程，这样做能让学生在理解的基础上梳理思路、准确表达，突破几何证明在书写上的难点。
案例2：避免“零起点”教学，高效培养学生的证明能力。
师：（展示多媒体课件提出问题）
问题1：怎样的四边形是平行四边形？
问题2：平行四边形有哪些性质？
问题3：如何判断一个四边形是平行四边形？有几种判定方法？
生：口答（略）
师：李芳同学用“①边、直角；②直角、边；③边、直角；④直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这个四边形是矩形，对吗？李芳同学画得四边形不是矩形，大家想不想知道呢？好，只要我们认真学习了今天的内容，一定会找到答案的。
（引出课题――“矩形的判定”。）
师：矩形的边相对于平行四边形有特殊性质吗？
生：没有。
师：那我们从角的角度来探究“最少有几个直角的四边形是矩形”。
（教师指定一名学生板演，画出反例图形，然后教师点评。）
师：我们猜想，有三个角是直角的四边形是矩形。
（出示命题：有三个角是直角的四边形是矩形。）
师：如何证明一个文字命题呢？
教师叙述几何证明的一般过程：1.根据题意，画出图形；2.分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证；3.写出证明过程（有时需要写证明依据）；4.归纳结论。
学生说出已知和求证，并尝试证明。
师：通过证明发现我们的猜想是正确的，李芳的画法也是正确的，所以我们把“有三个角是直角的四边形是矩形”作为矩形的判定定理1。
本案例是“矩形的判定”的第一课时。在前期，学生已经具有了平行四边形的研究经验，但本案例的教学忽视了学生的这些经验，让学生对矩形判定的学习回到“零起点”。
结合学生已有的经验，课前提问可以改为“问题一：矩形与平行四边形的关系是什么？问题二：平行四边形的‘判定’与‘性质’有什么关系？问题三：我们如何研究平行四边形的判定的？问题四：矩形有哪些性质？”这些问题可以对学生学习矩形判定的逻辑结构起到指导性作用。
同样，在猜想矩形判定的方法有哪些时，也可以类比研究平行四边形的判定，提出问题“你能提出矩形判定的猜想吗？你能证明自己的猜想吗？”
关键词：四年级 垂直 感悟
“垂直与平行”是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在现实生活中有着广泛的应用，如教室的角落、大街上的斑马线等都有垂直与平行的现象[1]。因此，教师在课堂教学中应在同一个平面使学生体会到不相交的两条直线叫做平行线，相交的两条直线里有一种特殊的叫做互相垂直，从而使学生对垂直与平行的认识上升到思维的层面中。另外，笔者认为如能把教师的适时引导与学生的自主探索有机结合，在课堂中将知识点清晰展现给学生，就能使教学过程凌而不乱，也能使学生在轻松愉快的氛围中，提高学习能力。
一、准确把握教学起点，努力还原真实的数学课堂
本次教学以学生为起点，关注学生的生活经验和基础知识，从复习有关“直线”的知识出发，唤起学生对所有知识的回忆，为新知的探究学习做好衔接准备。同时，逐步培养学生对数学研究的兴趣，用数学自身的魅力来吸引和感染学生[2]。如应用多媒体进行情景教学，播放学生做操时的片断。教师可在此期间引导学生沿着不同的角度观察，找到不同角度的直线。并在播放完毕后，出示平面图，让学生找出其中的一些直线。从学生做早操的片段入手，把数学问题的研究置身生活之中，激发学生的学习兴趣，使学生感受到点连成线、线连成面，初步建立垂线和平行线的表象。
二、应用朴实无华的课堂教学方式和教学手段进行教学
在垂直与平行的实际教学过程中，应抓住以分类为主线这一依据来开展探究活动。在课堂教学中尊重学生实际，尊重教学实际，没有提前的渗透，没有矫情的暗示，没有作秀，而应更多地关注课堂中的生成，关注学生真实的生活阅历，在学生现有的知识水平、思维能力、生活体验的基础上进行教学。如引导学生在无限大的平面上画出自己想象的直线，并将其进行分类。学生在通过想像、画线、分类、讨论等多种活动中进行观察和思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系中，只有相交和不相交两种情况，而相交中有成直角和不成直角两种情况。
三、归纳认识，明确垂直与平行的含义
垂直与平行的课堂教学进行到巩固阶段时，学生对所学知识建立了初步的表象。然而归纳认识是数学教学的重要组成部分，学生对所学知识的真正消化、理解、掌握往往是通过归纳来解决的。其不仅具有促使学生动脑思维、动手演算、动口表达的练习，有利于学生进一步理解和巩固科学知识，而且能将其转化为技能、技巧、利于学生的智力、特别是思维能力的发展。如教师可在教学课本的主题图中引导学生找出垂直与平行的现象，也可在生活中或身边找。并鼓励学生动手画出这种现象。这不仅能让学生进一步明确和加深对垂直与平行概念的理解，进一步拓展知识面，还能使学生在寻找过程中克服在学习数学过程中的枯燥感。从而使学生真正参与到学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。
四、拓展延伸，在实践中发展空间观念
垂直与平行的课堂教学中不仅要从学生的生活中提出数学问题，使学生产生兴趣，更好地理解数学。还必须结合生活中的实际问题，让学生用学到的垂直与平行的相关知识和数学的思维方法去看待分析与解决，将课内与课外学习有机结合，根据教学内容设计有针对性的课外拓展题。如在教学完成后，教师可让学生回家后在父母的协作下找出家中的垂直与平行现象，并通过自己的想象对这种现象进行加工和设计，完成一幅作品，在班内进行比赛。学以致用是学习的根本目标，这类实践作业为学生提供广阔的数学探索空间。
总而言之，数学教学应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学与现实社会的联系，加强学生的数学应用意识，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。并结合有关的教学内容，培养学生如何进行初步的分析、想象、综合、比较、抽象、概括。对简单的问题进行判断、推理、逐步学会有条理、有根据地思考问题，并注意培养思维的敏捷性和灵活性。通过合理创设教学情境激发学生的学习动机，在教学中提出质疑，让学生通过检验数学知识的形成和应用过程来获取知识，以激发学生学习的积极性，推动学生活动意识，达成双赢的局面。
参考文献
[1]谭玉魁 在合作学习过程中培养学生的空间想象能力――人教版四年级《平行与垂直》教学设计[J].新教育时代电子杂志（教师版），2014，（23），282-283。
[2]王蓓蓓 移动学习案例“垂直与平行”教学纪实[J].黑龙江教育（小学教学案例与研究），2013，（12），34-36。
[3]廖传凤 徐勇《垂直与平行》教案设计[J].考试周刊，2014，（23），70-80。