时间：2023-09-15 02:55:47
教学目标：
1.使学生通过剪拼、平移、旋转等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，能正确计算它们的面积。
2.使学生通过列表、画图等策略，整理平面图形的面积公式，加深对各种图形特征及其面积计算公式之间内在联系的认识。
3.使学生经历操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程，体会等积变形、转化等数学思想，发展空间观念，发展初步的推理能力。
教学重难点：
教学重点：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。
教学难点：理解三种图形面积公式的推导过程，运用公式解决面积的计算问题。
第一课时：平行四边形面积的计算
教学目标：
1.在学生理解的基础上掌握平行四边形面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积。
2.使学生通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念，使学生初步知道转化的思考方法在研究平行四边形面积时的运用。
教学重难点：
教学重点：理解并掌握平行四边形的面积公式
教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程
教学过程：
一、知识点复习与回顾
师：请大家说出你认识的一些平面图形。
生：正方形、长方形、三角形、圆形、平行四边形、梯形……（学生列举了各种常见图形）
师：哪些平面图形的面积你会算呢？
学生能够说出正方形和长方形的面积计算公式，过往的知识学习中这部分内容有学过。
师：今天我们就要再来学习一种最为常见的平面图形――平行四边形的面积计算方式。
二、新知导入
1. 教学案例1：教师出示两个底边长相同，高相等的长方形和平行四边形，随后问大家：这两个图形面积的计算方式是否相同呢，请大家在小组内进行讨论。
学生在小组内热烈地探讨起来，得到的答案各不一样。有的觉得是一样的，有的觉得这是两个图形，面积肯定不一样。
师：今天我们就要来进一步研究一下，这个平行四边形的面积应当如何计算，学会了计算方法后大家就可以很好地分辨这两个图形的面积计算方式是否一样了。
2. 教学案例2：
师：（教师出示一个平行四边形）大家想想可以通过怎样的转换将这个平行四边形变成我们学过的图形呢？
学生积极思考起来，大家想到了各种不同方案。
方案：①将平行四边形右边的那个三角形剪下来；②将这个三角形平移到它的左边；③将两个斜边相互重合，这样平行四边形就变成长方形了。
3. 组织学生相互讨论：①平行四边形变成长方形后，它的面积和原来的面积仍然一样吗？②平行四边的长和转换后的长方形的长有什么关系呢？③平行四边的宽和转换后的长方形的宽又有什么关系呢？
4. 知识归纳与总结：转换后平行四边形的长与宽都和长方形的长与宽一致，故得出：长方形的面积计算公式：S=长×宽，平行四边形的面积计算公式：S=底×高。
5.知识提问：
师：从上面的推导中让我们找到了平行四边形面积的计算方式，那么请大家思考，是不是所有的平行四边形都可以转换为长方形呢？并且进一步得出平行四边形的面积计算公式呢？大家请翻看教材的第113页，从中选取一个任意平行四边形，然后计算其面积。
三、巩固练习
1. 透过试一试练习让学生进一步明确，平行四边形面积的计算公式在应用时需要两个条件，即底和高，教师进一步给学生强调底和高的相互对应关系。
2. 教师给学生列举各种不同的平行四边形，并且分别给出图形的底和高，让学生来对它的面积展开计算。以此巩固学生对知识的理解与掌握。
四、知识总结
师：大家来说说，通过本堂课的学习，大家有哪些收获呢？
生：我知道了怎么将平行四边形进行转换，把它变成长方形就能够求它的面积了。
师：大家的总结都非常好。
教师将本堂课的教学重点以板书的形式和学生进行梳理，巩固学生对知识的理解与掌握。
教学总结：关于多边形的面积的教学是小学数学课程教学中的一个难点，这也是这部分内容通常需要5-8个课时来完成的原因。今天的课堂上给学生们介绍了平行四边形的面积的计算公式，其中很重要的一点是平行四边形图形的转换，通常将它适当地变换变为学生们熟悉的图形，这样它的面积的计算方法也就非常清楚了。这也是后面的一些图形的教学的基本思路。在针对这部分内容的讲授时教师要注重活跃学生的思维，让大家直观感受到图形的变化过程。只有大家很好地接受了图形间的这种转变，对于它的面积计算的推导才更容易接受，这也是本堂课的教学重点所在。
关键词：推理思想；数学价值；基本思想
数学的三个基本思想为抽象思想、推理思想和模型思想。作为三个基本思想之一的推理思想，其基本内涵是什么？推理思想的教育价值体现在哪些方面？小学数学教学中如何让学生感悟推理思想，本文试着结合教学案例来谈一些策略。
一、推理思想的基本内涵
在日常生活和教学中，人们说到数学思想，就会不自觉地想到数学思想方法，很容易将两者发生混淆。其实数学思想比数学思想方法更深刻地反映数学对象的内在关系。推理思想是从一个命题或者判断到另一个命题或者判断的思维过程，借助推理，把概念关系运用于对象概念，得到了数学的基本命题。数学推理模式有两种，演绎推理和归纳推理，演绎推理和归纳推理相互依存，密不可分，在实际教学中，经常将两者结合起来，贯穿于数学教学的全过程。
二、推理思想的数学价值
一般而言，推理思想是一种思维的过程，有助于学生理解数学的本质。通过推理思想的学习，能帮助学生理解从现象到本质，从过去到未来，从而感悟数学思想，发展思维品质，同时也有利于解决实际问题。
三、培养学生推理思想的策略研究
1.从生活问题到数学问题
数学大师华罗庚曾阐述过数学与生活的关系：大到宇宙，小到微子粒子，无一不用到数学。其实我们放眼看看，生活中每件事都可以用数学来解决。因此数学教学应从学生的生活实际出发，联系学生的生活来学数学，将数学问题生活化，让学生深刻体会到数学来源于生活。
【案例1】：《长度、面积单位复习》教学片段。
师：请在（ ）中填入合适的单位。一根旗杆高18（ ），游泳池占地面积2000（ ）。
学生独立填写，汇报交流。
生1：旗杆的高应该是18米，如果填分米就是1米多8分米，跟一个成人的身高一样，是不合适的。厘米和毫米就更不对了，还没有一把尺子长呢。另外，旗杆跟一棵大树差不多高，一般一棵大树高十几米。
生2：游泳池的占地面积是2000平方米，如果填平方厘米的话就是20平方分米，还没有我们教师的黑板大呢，如果是2000平方分米的话，就是20平方米，比我们的教室还要小，我们的教室好像有56平方米的样子，这是不可能的！
以上教学案例与学生的日常生活密切相关，充分体现了从生活问题出发，引出数学问题的过程。学生利用自身的知识进行简单的比对，再加上合理的推理，就能得到正确的答案。
2.从数学问题到建立推理思想
由于借助推理，人们得到了数学的基本命题。在小学阶段渗透数学推理思想，可以帮助学生发现数学问题，提出数学问题，解决数学问题。
【案例2】《平行四边形的面积推导》教学片段。
（1）出示一个平行四边形。
你有什么好办法把这个平行四边形转化为曾经学过的图形吗？
第一种：①沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。
②把这个三角形向右平移，到斜边重合。
第二种：①沿着平行四边形的任意一条高将其剪为两个梯形。
②把左侧的梯形向右平移，到斜边重合。
（2）用课件演示转化过程并小结。
沿着平行四边形的任意一条高剪开，通过平移，可以把平行四边形转化成一长方形。
（3）组织小组讨论：
A转化之后形成的长方形，它的面积与原来平行四边形面积有什么关系？
B.长方形的长和平行四边形的底之间有什么联系？
C.长方形的宽和平行四边形的高之间有什么联系？
（4）板书：长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
（5）提问：任意一个平行四边形都能转化成长方形？都能推导出平行四边形的面积公式呢？请同学们任选几个平行四边形来计算面积。由此归纳、推导出所有平行四边形的面积计算公式。
案例2通过转化，将没有学过的图形的面积计算转化成已经学过的图形并求出面积。经历大量举例验证平行四边形的面积与底和高有关系，并推导出所有平行四边形的面积计算公式。在小学阶段教学平面图形的面积计算时，通常会运用到推理思想，让学生对推理思想有了更进一步的认识。
3.从建立推理思想到解决生活问题
数学知识其实来源于生活但又高于生活，最终为生活服务。在数学教学中，我们要给学生大量的实践机会，动手操作机会，引导学生学会用数学知识和方法分析、解决生活中的实际问题。使生活问题变得更有数学味，从而让学生体会到数学的价值。其实，培养学生的推理思想并不局限于“图形与几何”教学中，其他三大领域都要有所渗透，而且这种渗透不是一朝一夕的事情，需要我们日积月累。只要我们采用合适的策略，坚持不懈，肯定能促进学生推理思想的不断发展和形成，从而使学生的数学素养不断
提升。
参考文献：
一、强化双边互动探讨，让学生主体充分动起来
教师和学生二者之间不是各自为阵的单独活动，而是有机融合的协作劳动.教师和学生之间以及学生与学生之间，都存在深入的交流、沟通等双边活动.教师只有将学生纳入课堂教学之中，引导学生与教师讨论互动，才能展示出课堂的互动特性、教学的本质属性；学生只有参与教师组织的教学活动，主动与教师交流、积极与学生合作，才能展现个人的能力风采、自身的主体地位.教师要达成高效课堂的目标，就必须紧抓课堂教学双向特性，强化双边互动教学，实施互动教学模式，引导和组织学生围绕学习目标或解题任务，开展师与生的交流互动或生与生的合作探讨等活动，鼓励和推动学生积极参与其中，各抒己见，贡献才智，在互动探讨进程中充分参与其中，动起来.
如“平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一知识点讲解中，教师利用课堂教学之间的双向特点，设计师生之间互动式教学方式，围绕该判定定理的内容，开展如下教学活动：
师：展示“平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”内容，引导学生使用数学符号展示判定定理内容.
生：根据判定定理内容进行分析活动，用数学符号把已知和求证的内容进行具体化，小组合作学习讨论得到其内容.
师：引导学生围绕已知和求证内容进行分析解答活动.
生：合作分析认为：已知它们的一组对边相等，此时只需证明另外一组对边相等，因此可以采用添加辅助线的方式，将对角线进行连接，利用三角形的全等就可以证出结果.
生：用刚才的解题思路写出证明过程.
师：通过上述内容的学习和认知，我们已经全面地掌握了平行四边形的判定方法，共有几个方法？哪几个？
生：进行口头表述.
师：运用投影仪向学生展示判定平行四边形的方法.
师：组织学生对平行四边形的判定定理进行分析，找出他们的区别之处.
生：开展分析讨论，表达自己的见解.
师：总结归纳，向学生指出，在实际解题过程中，如何结合题目条件，灵活、综合、有效运用相关定理解决有关问题是关键.
二、拉长案例解析过程，让学生主体真正探起来
数学案例，永远是教师有效教学的重要抓手，永远是学生进步发展的有效阶梯.数学案例的讲解，应将教师的有效“教”和学生的深入“探”有机结合，相互融合，使案例讲解过程变为教师指引探究、学生深刻探析的过程.我们在平时的课堂案例教学中，有时为了教学进度存在“重结果、轻过程”的现象，强调教师的案例讲解教学，忽视学生对案例的探究活动，压缩学生探究的时间，导致学生探究能力得不到锻炼、对获得的解题方法理解不深不透.这就要求，初中数学教师案例教学时，不能只顾解题结果的揭示，将问题解答过程一带而过，而要延长、扩充案例解析的过程，把案例条件之间的关系、获得解答要求的过程以及解题活动的推导等方面进行扩充和延伸，组织学生参与其中，承担任务，深刻探知、分析、解答数学问题，展示出学生解答问题的主体地位，探究能力得到深入的锤炼，实现问题有效解答以及解题技能提升的“双丰收”.
图1问题 如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，点E和点F分别是AD、BC的中点.求证：EB=DF.
在上述问题解析过程中，教师没有直接告知学生进行求证的思路以及对策，而是组织他们进行探究分析活动，延长问题探析和解答的过程.有学生在分析问题条件及要求过程中指出：可以利用问题条件中四边形是平行四边形的条件，通过证明两个三角形全等的方法进行解答.此时，有学生提出不同意见，认为可以根据问题条件，证明四边形BFDE是平行四边形的途径进行解答.这时教师根据学生探析出来的两种不同思路展示出解题过程，组织学生对解题过程进行对比分析.学生通过对比分析认为：证明四边形为平行四边形的思路比证明两个三角形全等的方法更为简便.此时教师引导学生推导归纳该类型问题解答方法，并出示“如图2，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形”案例组织学生开展巩固性强化练习，从而进一步增强学生数学探究分析的技能素养.图2
三、科学利用认知缺陷，让学生主体深入思起来
众所周知，初中生作为“当局者”对自身出现的学习缺陷不能及时了解和认知，需要教师这一“旁观者”进行有效的指导和点拨，引导他们深入反思、追根求源，认真改正.因此，初中数学教师针对学生认知数学知识点或解答数学案例中出现的认识缺陷或解析错误，不要一味地教训呵斥，而应该保持平常之心，耐心细致地引导他们“回头看”，积极反思，对照剖析，深刻思考认知过程或解题过程中存在的错误之处以及根源，并组织学生组建合作小组，借助集体智慧，进行深入探讨，从而获得正确的数学认知和解答策略，提高数学思维和辨析的深刻性和批判性.笔者发现初中生在“解关于一元二次方程、二次函数的有关习题”中，经常发生由于忽略考虑“二次项系数不为零、根的判别式Δ≥0、抛物线的开口方向、顶点位置”等这些隐含条件发生认知缺陷.此时，教师应充分利用学生认知缺陷这一实情，组织学生进行思考分析活动，让学生在思考分析案例过程中认识到，解析问题中忽略掉了“二次项系数不为零、根的判别式Δ≥0、开口方向、顶点位置等”内容，没有关注到二次项系数、根的判别式的取值范围等等情况，导致解析出现不足，从而得到正确的解答方法.
四、放大评判指点功效，让学生主体技能提起来
教师评价指导学生学习活动得与失，学习表现好与差，是教师课堂教学的重要任务和环节.教育学认为，评价教学活动的施行，不应该停留在浅层次的评判学习主体学习成效优劣，而应该深层次的指点学生主体认知缺陷本质，从而展示和放大教师评判与指点的指导功效和促进功用.教师开展课堂教学要重视教学评价方式的的运用，针对初中生课堂学习的实际情况以及现实表现，进行肯定指点、积极评价，增强他们学好数学的信心.与此同时教师要有意识的引导学生认真查看学习过程，对照学习要求，自己查找学习实践过程中的成败得失，并进行深入细致的思考，扬长避短，从而全面提升自己的学习技能和学习效果.
【关键词】初中数学；平行四边形；学习能力；素质教学
学生是学习活动的主人，教师教学活动的对象，也是教学目标要求制定和实施的重要依据。长期以来，能力培养一直是教学活动的出发点和落脚点。同时，新实施的初中数学课程标准更是将能力培养作为第一要义，并且对学生合作、探究、创新等三方面能力培养提出了具体要求。平行四边形是初中数学平面几何的重要组成部分，通过对平行四边形章节知识及案例的教学活动，笔者深刻感受到能力素养培养在该章节教学中的深刻作用。本人现就平行四边形章节教学中，培养学生学习能力策略举措，进行简要论述。
一、利用平行四边形知识形成过程性，培养学生合作探析的学习能力
数学发展史认为，数学学科知识体系的形成过程，是一个不断丰富、不断补充、不断严密的反复前进的过程，数学知识内容的发展过程性，是其根本特性之一。平行四边形章节作为数学学科知识机构网络的一个“点”，也就具有了发展过程性的特点。同时，学生学习活动是一项群体性的活动，离不开学生个体之间的互助合作。因此，初中数学教师在进行平行四边形知识或问题教学时，可以有意识的的引导学生组建学习小组，开展合作探知活动，从而在逐步探知知识“真相”时，合作探析能力得到锻炼和提升。
如在“平行四边形性质”新知教学中，教师采用利用平行四边形性质的内容，根据正方形、长方形性质学习时所掌握的知识内容，让学生组成学习小组，启发学生从平行四边形的主要元素――边、角、对角线的位置关系及数量关系入手，来观察、探索、猜想平行四边形的特有的性质如下：对角线、对角线互相平分，然后引导学生利用化归的方法对性质逐一进行证明，学生在小组合作探析中，由平行四边形的定义及平行线的性质很快证出性质①，④，③。接着启发学生添加一条或两条对角线，将四边形分割、化归为三角形；利用全等三角形的知识证出性质②，⑤。这一过程中，学生在小组合作中，通过循序渐进原则，较正确的掌握了平行四边形性质的内容，同时，合作探析能力得到进一步提升。
二、抓住平行四边形问题内涵综合性，培养学生探究实践的学习能力
问题是数学的心脏，也是培养学生动手实践能力的重要抓手之一。通过对平行四边形问题内容的分析，可以发现，问题案例实际上是平行四边形内在知识内涵进行外在呈现的有效载体，问题案例可以将不同知识点进行有效融合，设置出具有综合性的数学问题，这就为培养学生探究能力提供了条件。教师在平行四边形问题案例教学中，通过设置综合性数学问题，将问题解析的过程变为学生探究实践的过程，鼓励和引导学生开展探究、分析问题活动，从而在有效解答问题过程中，探究能力得到锻炼和培养。
如在“平行四边形综合运用”复习课教学中，教师抓住平行四边形与正方形、矩形、菱形等方面的联系，设置了“如图所示，在平行四边形中，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果的面积为2cm2，求平行四边形ABCD的面积”问题案例，要求学生开展探析问题解答活动，学生在初步分析问题条件过程中，认识到该问题案例是考查学生对平行四边形与三角形等其他知识点方面关系，此时，学生通过思考分析，利用两者之间的关联点，找到了进行该问题解答的切入点，从而实现了该问题案例的有效解答。这一过程中，学生在教师设置的综合性问题解答中，不仅巩固了平行四边形内涵认知理解，还实现了探究实践能力的锻炼提升。
三、紧扣平行四边形章节体系整体性，培养学生创新思维的学习能力
平行四边形章节作为数与形的有效结合体，各知识内涵要义的“点”构建成了平行四边形章节体系的“面”，从而形成了相互联系、相互独立的有机整体。在数学问题解答过程中，时常出现不同问题同样解法，同一问题不同解法的“殊归同途”现象，这在一定程度上反映了知识体系的整体特性。因此，笔者在平行四边形阶段教学过程中，利用平行四边形性质内容，通过不同解题思路，采用不同解题策略进行同一问题解答活动。如在“如图所示，在ABC中，已知BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？”问题案例解答活动中，教师先让学生进行该问题解答活动，然后，教师要求学生通过对问题条件和要求内容的分析，能否找寻出该问题解题方法，经过思考分析，找出该问题案例解答实际上可以从平行四边形的性质建立等量关系方面入手，这样，学生思维的积极性得到调动，思维的创新性得到实践，从而有效锻炼了学生思维的灵活性和全面性。
总之，能力培养是素质教育的第一要义。笔者在此，仅结合平行四边形章节对能力培养做了简要论述，在此，期望更多同仁共同参与，为培养创新技能型人才贡献力量。
案例一
我在教学求近似数时，出现这样一个环节，1.496精确到百分位是多少？有的学生做成1.496≈1.50，也有学生做成1.496≈1.5，做成1.5的学生显然是受小数基本性质思维定势的影响，面对这种错误，我未加评价而是笑问学生你认为这样做行吗？有学生说，根据小数的基本性质，小数的末尾添上0或去掉0小数的大小不变，因此1.496≈1.5是可以的，学生话音刚落，立即有学生反对，“题目要求精确到百分位，也就是要求保留两位小数，如果去掉1.50后面的0变成1.5就变成了保留一位小数，这显然不符合题目保留两位小数的要求，因此结果应为1.50”，孩子的发言多精彩呀，通过孩子们思维的碰撞，学生弄清了题目的关键，明白了求近似数时小数末尾的0不能舍去，否则就改变了小数保留的位数，不符合题意。
案例二
我在教学完圆的面积后，练习课上出了这样两道题：
1.在一个长4厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少平方厘米？
2.在一个长4厘米，宽1.5厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少平方厘米？
做完后，第二题有学生以长方形的长4厘米作为圆的直径来计算，得出最大半圆的面积是6.28平方厘米。也有学生第二题以3厘米为圆的直径，最大半圆的面积是3.5325平方厘米， 该认同谁的呢？于是学生们开始怀疑了。这便是我所期待的，因为这里的怀疑，内涵是思考，学生的思考必然产生想法。两种解法的区别在于直径到底是3厘米还是4厘米。为了寻找到正确答案，我就提出，不如画图看看。学生开始动手画图，第一个图大家画的很顺利，很快画好了，画到第二个图的时候，班上有的同学嘴里开始小声在嘀咕，以4厘米为直径，半圆画到长方形外面去了，以3厘米为直径是正确的，接着越来越多的人跟着附和起来，这是我看时机已成熟，便问，哪个答案是对的，学生回答直径3厘米答案是正确的“为什么第一题以4厘米为直径是对的，而第二题以4厘米为直径是错的？”“因为第一题以4厘米为直径，圆的半径是2厘米，而宽有3厘米，最大的半圆是画在长方形里面的，而第二题以4厘米为直径，圆的半径是2厘米，而宽只有1.5厘米，最大的半圆画到了长方形外面，所以第一题以4厘米为直径是对的，而第二题以4厘米为直径是错的。”学生顿悟，正确答案自然而然地出来了。“你是怎样得到这个结论的”，“通过画图得到的，”“如果事先帮你画好图，你会不会出错？”“不会”“那么以后如果我们所得到的是文字信息，而没有图时，你会怎么做？”许多学生都答道：“画图分析题意”。
学生在解决问题时出现了错误，就需要学生能够反思出消除错误的有效策略。所以我并没有结束这道练习，继续追问：“1、比较一下每个长方形中长和宽有什么关系？”学生通过对比得到第一个长方形中宽大于长的一半，第二个长方形中宽小于长的一半。2、在长方形中画一个最大的半圆时，在什么情况下以长方形的长为圆的直径？在什么情况下以长方形的宽为圆的直径？” 当一个长方形中宽大于或等于长的一半时，画一个最大的半圆，半圆的直径就是长方形的长，当一个长方形中宽小于长的一半时，画一个最大的半圆，半圆的直径就是长方形宽的两倍。
学生出错时，教师放手让学生自己动手操作，在对比中弄清错误的根源，明白正确的解题方法，在纠错中提高学生学习的能力，从而达到了“授之以鱼，不如授之以渔”的目的。
案例三
你能在方格中画出与已知平行四边形面积相等的三角形吗？
有学生画成底5厘米，高4厘米的三角形，面对学生的错误我并未加以评价，而是对学生说，请你们分别把平行四边形和所画三角形的面积算一算，看看他们的面积相等吗？通过计算，学生这时意识到自己所画的三角形是错误的。 “如果要画出与平行四边形面积相等的三角形，那么三角形的底和高应怎样变化呢？”学生说，三角形的底不变，把高4厘米变成8厘米，也有学生说，把三角形的高不变，底5厘米延长变成10厘米，那你们把这两种三角形分别画出来，然后再用三角形面积公式验算一下，此时的三角形与平行四边形的面积是否相等，学生动手画图并进行验算，然后对面积相等的两个图形看看，点点头，似乎若有所悟。
到此，我并未结束，而是把已知平行四边形和学生画的两个三角形一起展示到黑板上，
接着请学生观察：平行四边形底与第一个三角形的底，平行四边形面积和第一个三角形面积之间有什么关系，观察完后学生回答，底相等，面积也相等，这时我提出了一个问题：当平行四边形和三角形底相等面积也相等时，三角形的高与平行四边形的高又有怎样的关系呢？学生通过平行四边形高和第一个三角形高的数据关系，很快得出了三角形的高是平行四边形高的两倍，通过错例的延伸，我顺其自然把平行四边形和三角形面积相等底相等时，三角形高是平行四边形高的两倍，这个比较抽象难以理解的知识直观地交给学生。接着我又利用知识的迁移把当“平行四边形和三角形高相等面积也相等时，三角形的底是平行四边形底的2倍”这个知识交给了学生。教师抓住学生错误的答案，通过适时巧妙的点拨，引发了学生的探究意识，激发了学生的求知欲望。通过错例的延伸拓宽了学生的知识面，提高了学习效率。
一、环境，“研究”的前提
[案例一]“平行四边形面积的计算”教学
师：上周五开始，我们已经开始了探究平行四边形面积计算公式的历程，你们准备好了吗？让我们来汇报一下，听听各位的探究成果。
生1：我发现平行四边形面积计算应相邻两边相乘。
生2：错了！开始我也以为是，可我后来发现两组对边分别相等的两个平行四边形，面积不相等。（拿出学具）
师：不要紧，多次错误的尝试，才会有正确的结果。谁继续阐述自己的观点？
生3：我是通过多次画相同格子的方式得出计算公式的。（拿出学具）平行四边形面积有42格，底占6格，高占7格，6×7=42格。所以平行四边形面积=底×高。
生4：凑巧吧，换个平行四边形会不会不是这样？
生3：我试过许多次，大家可以都试试。
全班尝试……
师：这种方法是长方形面积计算公式最早用的直观方法，得出了正确结论。
生5：我们的方法还简单，只要画一条高就行了。沿着高将直角三角形剪下，补到另一边，正好拼成一个长方形。长方形的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的高，长方形的面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
全班学生不由自主地齐声鼓掌，老师也给予了高度评价。
反思：研究，是对“未知”的一种探索。探索中产生错误，很正常的。如果错误给学生带来“嘲笑、讽刺、挖苦”，将会给他们造成恐惧的心理，最终导致他们不敢、不愿去研究。因此，教师要使学生乐于研究，必须给学生创造自由、安全的心理环境，这是学生学会“研究”的前提，这样的环境才能使学生的思维处于活跃的状态，学生的创造潜能才能得到最大限度的发挥。
二、问题，“研究”的起点
[案例二]“能被3整除的数的特征”的教学
师：谁能随便说个数，这个数要能被3整除。
生：9能被3整除。
师：谁能说得大一点，如三位数。
生：123能被3整除。
师：这个三位数确实能被3整除。
师：用了这么长的时间，太慢了！
师：我有了123做基础，可以一口气说一堆这样的数。
师：（边板书边说）132，213，231，312，321这些数都能被3整除，你们信吗？
生：不信！
师：可计算一下。
生：您有什么窍门呀？
师：你们也会。我说516能被3整除，这个数作基础，你们也能说出许多数。谁来试试？
……
师：从这些能被3整除的数中，你能得出怎样的结论？
师：刚才大家大胆地猜想了能被3整除的数的特征，这些猜想对不对呢？我们再来列举些数字看看就知道了！
……
反思：布鲁纳说过：探索是数学的生命线，没有探索，便没有数学的发展。问题，是研究的起点，有问题才有思考，有思考才有进行研究性学习的可能。学生对问题越是百思不解，他们的思维就越活跃。因此，要让学生学会研究，就应该在课堂上有问题。本节课中，教师把教学内容设计成“三问”，显然，这样设计，激起了学生极大的探究欲望。通过猜想—验证，产生了新的疑问，思维始终处于兴奋状态，激发了学生主动探究的欲望。学生通过自己的探索、交流，使自己的答案更优化。
三、方法，“研究”的核心
生实验讨论。师生形成如下对话：
生1：我把长方形和正方形的角重放在一起，发现一样大小。
师：好办法。长方形的四个角都一样大小吗？（立刻再操作）
生2：长方形和正方形的角都一样大小，都是四个直角。
师：你是怎么知道的？
生1：用直角板量过。
师：同意。
生3：不相同的地方是正方形四边一样长，长方形不是，只有对边一样长。
师：怎么知道的？
生3：用尺子量的。
生4：对折知道的。
生示范、小结。
反思：操作是学生“活动”的一种形式。活动是主客体交流的桥梁。克鲁捷茨基认为：“一个人的能力只有通过活动才能形成和发展。”“操作—实验”的研究过程，有利于“活动性原则”在课堂上得到落实。案例中，教师预留了足够的空间让学生用自己的方式去设计并通过不断反思和修正来发现，这才是学生的数学活动。学生给自己定下操作目标，用自己的方式去证明，这样的数学活动才是学生的自主参与，才是学生自己的数学活动。
综上所述，“研究性学习”改变了我们的课堂教学，改变了学生的学习方式，使课堂充满了探究的乐趣，学生真正成了学习的主人。
【关键词】探究性学习；认知基础
探究性学习是新课程倡导的一种学习方式，课堂教学中的探究性学习，是在课堂教学活动中，学生在教师的引导下，从探究中主动获取知识、应用知识、解决问题，从而培养学生创新能力和实践能力的一种学习活动。在新课程理念引领下，现在很多教师喜欢采用探究的学习模式，在课堂中强调学生自主探究，自主学习，独立解决问题。
在新课程实施中，一些教师把“探究性学习”视为医治百病的良药，一堂课中总要安排几个探究环节，但并不是所有的问题都适合用探究学习的模式。如果运用不恰当，不仅对学生掌握知识和发展能力没有积极的作用，而且还会适得其反，弄巧成拙。
【案例1】一位教师在三年级数学“认识分数”一课中，创造情景引入新课。
师：中秋节，红红到兵兵家做客，有4颗糖，2瓶饮料和一块饼干。怎样平均分给2个孩子吃呢？
生：4颗糖，平均分给2个人吃，每人吃2颗。
生：2瓶饮料，平均分给2个人吃，每人吃1瓶。
生：1块饼干，平均分给2个人吃，每人吃半块。
师：半块饼干，也可以用分数二分之一表示，二分之一就是分数。你听说过吗？你能用你自己喜欢的方式来表示二分之一吗？
生写出： 21和2•1。
师：我们把二分之一写作 12 ，读作二分之一。
教师并没有评价前面学生写的分数对不对，只是出示了正确的分数书写形式，但由于学生开始写出的21干扰了学生的认知，所以有学生把分数的分子和分母写颠倒。比如把25写成 52。
在案例1中，由于教材是第一次安排认识分数，学生没有关于分数的认知基础，分数对于他们来说是完全陌生的。前面的学生创造出的分数是分子分母颠倒的，影响了学生的思维模式，所以直到课堂练习中，还有相当一部分孩子会把分子和分母写颠倒，需要教师花时间去纠正。
在社会心理学中，由于第一印象的形成所导致的在总体印象形成上最初获得的信息比后来获得的信息影响更大的现象，称为首因效应，也叫最初效应。从心理学的角度讲，人的第一印象很重要，但第一印象并非总是正确，却总是最鲜明、最牢固的，并在头脑中占据主导地位。在案例1中，学生获得的是错误的第一印象，虽然教师出示并讲解了正确的分数，但学生第一次见到的分数还是占据着主导地位。
【案例2】在五年级数学“平行四边形的面积”一课中，教师出示了abc三块草坪，a是长方形，b是平行四边形，c是不规则图形，问：哪块草坪的面积大？
生：c草坪面积大。
师：你是怎么知道的？
生：差别很大，一眼就可以看出来。
师：a和b哪块面积大呢？
生甲：a大。
生乙：b大。
生丙：a和b一样大。
师：这次为什么你们的看法不一样呢？
生：它们的差别很小，我们猜的。
师：要想知道它们的面积到底谁大，我们要通过计算它们的面积来比较它们的大小。
生学过长方形的面积计算公式，独立计算a的面积。
师：怎样计算平行四边形的面积呢？你会计算吗？
生：不会。
师：你能猜一猜平行四边形的面积计算公式吗？
生甲：平行四边形面积=长×宽
生乙：平行四边形面积=高×底
生丙：平行四边形面积=长×高
师：你们到底猜的对不对呢？我们来验证一下。
生拿出准备好的长方形和正方形的纸和方格纸，剪刀。小组讨论打算怎样使用学具，然后小组合作操作材料。并自己总结出平行四边形的面积的公式是：平行四边形的面积=底×高。
通过实际操作，学生明白了平行四边形的面积公式后，教师再把开始学生猜测的公式与正确的公式进行对比，加以区别。在课堂练习中，大多数学生掌握了平行四边形的面积的公式，并能运用公式解决问题。
案例2中，因为学生有了长方形面积计算的认知基础，所以学生探索平行四边形面积公式时，学生会想到把平行四边形面积转化为长方形面积来计算。这样就由未知转化为已知，学生有了认知基础做支撑，就比较容易得出正确的面积公式。
我认为在课堂教学中开展探究性学习，既要符合学科的特点，又要遵循学生的认知基础和认知规律。探究不是盲目的猜想，一定是在学生已有的知识基础上的有逻辑的推理。
奥苏泊尔在他的最有影响的著作《教育心理学：一种认知观》的扉页上写道：“如果我不得不把教育心理学的所有内容简约成一条原理的话，我会说影响学习的最重要的因素是学生已知的内容”。可见在课堂教学过程中，若没有充分的思考基础——基础知识和生活经验的积累，而欲开展有效的探究性学习，那简直是无法想象的。
我们平时的教学中应多给学生创设探究学习的时间和空间，让学习逐渐养成探究的意识。教师能注重实施探究性学习的理念，积极探索实施探究性学习的策略，那么我们的教学就能不断的进步，就能更好的把我们的学生培养成为具有较强的创新意识和创新能力的创造型人才。
参考文献
[1] 高威华 给自主探究的“不良症状”把脉开方[j]基础教育研究 2007-06-013
[2] 马维荣 数学教学中如何培养学生探究性学习的能力[j]科学之友 2010-02-092
1.可以这样去“想”
1.1本册“图形与几何”部分安排了哪些内容？
1.2本册“图形与几何”部分的教学目标是什么？
《观察物体》的教学目标是：①让学生经历观察的过程，认识到从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的。②通过观察实物，能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的两个物体或一组立体图形的位置关系和形状。③通过拼搭活动，培养学生的空间想像和推理能力。
《多边形的面积》教学目标是：①利用方格纸和割补、拼摆等方法 ，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。②认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。
《密铺》的教学目标是：①通过实践活动，继续让学生认识一些可以密铺的平面图形，会用这些平面图形在方格纸上进行密铺。②让学生在实践活动中感受密铺，了解密铺的特点，培养空间观念。
1.3本册“图形与几何”部分教材编写有哪些特点？
《观察物体》教材的编写特点：①不仅设计观察活动，而且注意设计需要学生进行想像、猜测和推理进行探究的活动。②呈现从不同方位观察一个立体图形所得到的图像，让学生搭出相应的图形，培养空间想象力和思维能力。
《多边形的面积》教材的编写特点：①加强知识之间的联系，促进知识的迁移和学习能力的提高。②体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程。③注意练习的探索性，形式多样化，以促进学生对知识的理解和灵活运用。
直得注意的是：各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。同时按照学习的先后顺序，探索的要求逐步提高。平行四边形面积的计算，是先借助数方格的方法，得到平行四边形的面积；再引导学生将平行四边形转化为一个长方形，推导出平行四边形的面积计算公式。三角形的面积计算就直接要求学生将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。每一种图形教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索，自己得出结论，从而给教师和学生都留以较大的创造空间。
《密铺》教材的编写特点：①通过动手操作，探索哪些平面图形可以密铺，哪些不能密铺，使学生认识一些可以密铺的平面图形。这里每次密铺的基础的图形都是大小和形状相同的同一种平面图形。②综合运用已有知识，在方格纸上根据给定的两组图形设计密铺图案，计算出每次密铺中不同平面图形所占的面积，使学生感受数学在生活中的应用，用数学的眼光欣赏美和创造美。
2.可以这样去“理”
知识之间总是联系着的，“理”就是对所学的知识内容进行整理，使之“竖成线，横成片”。帮助学生理清思路，弄清脉胳，提高学习效率。
3.可以这样去“教”
3.1《观察物体》教学。由于本单元有大量的观察和拼搭等活动，所以除教具外，最好每个学生都准备一套相应的学具。教师要切实组织好学生的活动，要让所有的学生都真正地、实实在在地进行观察和操作。不要让教师的演示或少数学生的活动和回答来代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和亲自思考。要鼓励学生敢于发表自己的意见，与同伴交流自己的想法，在交流中理清思路，互相启发。
【教学案例】（片段）
3.1.1谈话导入。
谈话：同学们，还记得《题西林壁》这首古诗吗？
学生背诵，课件逐句出示该首古诗。
提问：同一座庐山，为什么诗人看到的却是“远近高低各不同”的景色呢？
揭示课题：由于观察的角度不同，庐山呈现出千姿百态的景色。这里，诗人是从不同角度对实物进行观察。如果用若干个相同的小正方体拼摆成立体图形，在观察中又会存在哪些特点？今天，我们就来继续研究这个问题。
板书课题：观察物体
（评议：将数学学科与语文知识有机整合，学生兴趣盎然。以学生四年级学过的古诗《题西林壁》引入新课，从学生的生活实际和已有的知识经验出发，让学生发现数学、学习数学、研究数学、喜欢数学。）
3.1.2教学新知。
教学例1
① 学生根据教师提示用小正方体独立拼搭物体。
师：面对自己横向连续摆3个正方体；接着，在第一排左边第一个后面再摆一个。
② 同组4名学生，绕着拼搭成的物体走一圈，分别从物体的正面、上面和左面进行观察。
③ 各自用小正方形卡片摆出从三个角度观察到的平面图。
④ 反馈交流，引导学生发现、归纳结果。
师：同一个物体，从不同的角度观察，观察的结果是怎样的？
⑤ 学生概括：同一个物体，从不同的角度观察，观察的结果各不相同。
（评议：学生在拼搭立体图形的过程中观察、探索，根据自己的实践体验感悟从不同的角度观察立体图形所看到的形状不同，并且用语言描述物体的相对位置，发展了空间观念，教学效果好。）
3.2【多边形的面积】教学。本单元面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以操作是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。通过实际操作活动，发展学生的空间观念，培养动手操作能力。
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，一方面启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，渗透“转化”的思想方法；另一方面引导学生去主动探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，切忌由教师直接演示讲给学生。
【教学案例】（片段）（三角形面积公式推导部分）
教学过程：
3.2.1阅读质疑。先请同学们自己阅读一段材料，然后以小组为单位交流一下你们都学会了哪些知识，可以提出什么问题，并把问题随手记录下来。学生阅读后首先回顾了平行四边形、长方形地面积公式及推导过程。然后学生提出了质疑，主要问题有：
①数方格怎么求三角形的面积？
②不数方格怎么求三角形的面积？有没有一个通用公式？
③能把三角形也转化成我们学过的图形求面积吗？
④转化成的这些图形跟三角形有什么关系吗？
（评析：孔子曾说，“质疑是思之始，学之端”。这里老师打破了学生等待老师提问的常规，要求学生把阅读材料作为学习主题，通过阅读提出问题，真正体现了“以生为本”。）
3.2.2点拨激发思维。
①数方格的问题。学生根据学习材料可以解答用数方格的方法求三角形的面积。
老师接着问：有一个很大的三角形池塘，你来用数方格求它的面积。
学生小声笑了起来。为什么笑？老师问到。学生说数方格太麻烦了，池塘也不好划分方格。
嗯，看来数方格求面积是有一定局限性的， 今天我们就来研究三角形的面积。
（评析：一石激起千层浪，学生由数方格方法的局限性这一认识的困惑与冲突，有效地引发了学生探究面积计算公式的生长点，使学生有了探究发现的空间。）
②转化的问题。你想把三角形转化成什么图形？（学生会转化成平行四边形、长方形、正方形。）梯形行吗？这时学生会有两种答案，有的说行，有的说不行，为什么不行？老师追问，学生在讨论中达成共识：必须转化成学过的，可以计算面积的图形。
师：三角形怎样才能转化成这些图形？请同学们利用手中学具，通过拼一拼，折一折，剪一剪，利用转化成这些图形来解决下面的几个问题。
（评析：这里把“新”问题转化成了“老”问题来解决，有效地把学法指导融入到了教学中，给学生创造了更广阔、更真实的自主空间，无疑有利于学生可持续性发展。）
3.3《密铺》教学。
《密铺》的教学，我们认为要解决三个问题：
3.3.1上成什么类型的课？《密铺》是人教版小学数学第九册第109一110页中的内容，根据教材的编写意图，应当上成综合应用课。密铺也称镶嵌，是生活中非常普遍的现象，它给人们带来丰富的变化和美的享受。教师要通过实践活动让学生认识一些可以密铺的平面图形，会用这些平面图形在方格纸上进行密铺活动，从而进一步理解密铺的特点，培养学生的空间观念。
3.3.2课题怎么定？既然是综合应用课，以活动为主，引导学生探究，那么是以“密铺”做课题好还是以“铺一铺”做课题好呢？我们的意见是以后者做课题为好，当然还可以有其它。
3.3.3活动要解决的问题是什么？本节课可以安排二个活动。
第一个活动：铺一铺。让学生从圆形、三角形、长方形、梯形、正五边形、正六边形纸片中自选一种（只选一种，每种10片左右）在纸上进行铺一铺活动。
这个活动要解决三个问题：①什么是密铺？（四年级已学过，仍有复习的必要）②进行密铺有什么要求？（无空隙、不重叠等）③学过的平面图形中哪些图形可以单独进行密铺，哪些不可以？
第二个活动：试一试。给出两组图形“瓷砖”（一种两个都是等腰直角三角形，另一种一个是三角形一个是四行四边形）和一大张方格纸，请学生自选一组设计密铺方案。
这个活动要解决的三个问题是：①活动二与活动一在选材上有什么不同？（活动一是单个图形进行密铺，活动二是两种图形进行密铺）②能够进行密铺的两种图形的边有什么要求？（三角形一条直角边的长度等于平行四边形长边所在的高）③密铺后每种图形用了几块，所占的面积是多少怎么求？
教学中，教师可以介绍密铺的历史背景，搜集生活中的密铺实例和精美的的密铺作品在课堂进行展示，使学生在惊叹之余感受到数学知识的实用性与艺术性，激发学生的创作欲望，提高学生学习数学的兴趣和应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
【教学案例】（人教版五年级上册第109～110页“铺一铺”）
教学过程：
〔一〕、开门见山 认识密铺
（1）上个学期我们就认识了密铺，现在一起回忆一下，你知道了哪些有关密铺的知识呢？
（2）平常在生活和学习中，你们见到过密铺的现象吗？
（生举例……）
师：你们真是生活的有心人。
老师这儿有几张有关密铺的图片，请同学们一起来欣赏。
密铺在生活中有着及其广泛的运用。也给我们带来了美的享受，今天就让我们在铺一铺的活动中，继续体验密铺吧。（板书课题：铺一铺）
〔二〕、操作探究 了解密铺
师：这是咱们学校的大礼堂正在装修，工人师傅推荐了八种瓷砖。现在请同学们一起参与挑选瓷砖，大家愿意吗？（课件出示正在装修的大礼堂照片和八种平面图）
活动一：
（1）猜一猜。 探究哪些平面图形不能密铺
黑板展示圆形、正三角形、长方形、等腰梯形、正五边形、正六边形。正方形、平行四边形（教师把各图形贴到黑板上。）
（2）摆一摆。验证有争议的密铺图形。（可能是正五边形、正三角形、正六边形、平行四边形）
（3）学生汇报（学生展示作品，边展示，边将8种图形分类。）
（4）提出质疑
老师特别喜欢正五边形、觉得很漂亮，谁能帮老师想想办法，使它能用来密铺呢？ （课件演示有空隙、有重叠和两种图形组合密铺的图形）
（5）阶段小结。
可以单独密铺的--（长方形、正三角形、梯形、正六边. 正方形、平行四边形）
不可以单独密铺的--正五边形、圆形。
活动二：用两种图形密铺
教师设疑：老师有个新问题，这些可以单独密铺的图形也可以相互组合密铺吗？
（1）学生想象猜测，举例。
（2）小组合作，设计密铺图案。
（3）学生作品展示交流。
（4）归纳，得出结论：用一种图形能单独密铺，用两种或两种以上的图形不但可以密铺，而且能密铺出十分美丽的图案。
〔三〕、欣赏作品 体验密铺
欣赏密铺图片，感受数学之美。
著名的密铺图画。（埃舍尔的艺术作品）
欣赏了这些作品，你最想说什么？
〔四〕、总结收获 感悟密铺
这节课你有什么收获？或者有什么感受？
今天老师与同学们一起在神奇而美妙的密铺世界里进行了探索。密铺其实就在我们的身边。希望大家在生活和学习中要不断地用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。
参考文
[1]《数学课程标准》
[2]章明、钱继芳.“观察物体”的教学设计与评析，http：//.cn