高中数学的定理范文

高中数学的定理篇1

关键词：高中数学 圆 垂径定理 例题解析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）1（b）-0000-00

1 圆的垂径定理及其重要性分析

圆在高中数学中占据着极为重要的位置，在高考数学中所占的比例也是相当之大的，其一直是高考的核心内容之一。从近年来的考察分析来看，高考对圆部分的要求越来越高，因而在日常的学习和圆部分的训练一定要循序渐进，掌握层次。这就需要咱们的学生在对知识有一定掌握的同时，必须要让学生能够对相关知识能进行进一步的灵活应用，在解决较为困难或综合性较强的问题的同时， 能够发散自己的思维。 解题的高效，灵活， 快捷，方便。有的人会说，解析几何的本质就是在于引导学生使用代数法对几何图形的性质进行相关的研究， 使几何问题代数问题两者之间能够相互转换， 一旦只是一味的使用纯代数进行相关的运算，方式方法的选择不得当的话，解析几何的运算量将会有明显的增大，学生的解题正确率就会很明显地下降，常常会因为运算太繁琐半途而废，也常常会因为运算的失误功亏一赞。

在高中数学的几何教学中，数形结合的思想无疑是最重要的数学思想之一，数形结合的典范很大一部分来自于解析几何，能够进一步体现数形结合的数学思想，学生若是能够对几何图形进行深入研究会发现，数的严谨性与形的直观性能在这一思想中得到充分的发挥。

2 垂径定理证明

如图1 ，在O中，DC为直径， AB是弦，ABDC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

图1垂径定理证明图

证明：连OA、OB分别交于点A、点B.

OA、OB是O的半径

OA=OB

OAB是等腰三角形

ABDC

AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）

弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC

弧AC=弧BC

3 题型分析

3.1 常规题

已知圆C：（x-1）^2+y^2=9 内有一点P（2，2），过点P作直线L交圆C于A、B两点.

（1）当弦AB被点P平分时，求直线L的方程。

（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦AB的长。

（1）当弦AB被点P平分时

圆心C与点P的连线必然与AB垂直

所以得到AB的斜率

k=-1/2

y-2=-1/2（x-2）

x+2y-6=0

（2）直线l的倾斜角为45°，直线AB的方程y=x

求圆心（1，0）到直线y=x的距离为1/√2

利用垂径定理，得|AB|=2×√34/2=√34。

3.2 两圆相交，巧用垂径定理

圆c：x2 +y2=2，过P（1，1）作两条相异直线与圆分别交于A，B两点，直线PA和PB拘倾斜角互补，判断直线OP与AB是否平行？若是，请给出证明；若不是请说明理由

解 过点P作y轴的平行线，与圆C交于点Q，则Q（l，-l）因为直线PA和PB的倾斜角互补，所以直线PA、PB关于直线Po对称，即角APQ=角BPQ所以，AQ= BQ，所以，oo垂直平分AB.因为直线OQ'的斜率为-l，直线OP的斜率为l，所以OO垂直OP，所以OP与AB平行。

3.3 椭圆化圆，运用垂径定理简化过程

椭圆的问题通常采用二次方程的根与系数的关系或引入参数来求解，但常常导致运算上的繁琐和消参的困难，而圆的有关问题却更容易解决。圆和椭圆具有明显区别，但又有必然联系。对于圆来说，利用垂径定理和点到直线间的距离公式，可以极大地简化计算量。将椭圆转化成圆，是利用了点与曲线、曲线与曲线的位置关系在这一变换下的不变性。

先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax'，y=by'的坐标转换。在这种转换下，xoy平面内的任一点P（x，y）转换为x'o'y'平面内的点P'（x'，y'）。椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o'y'平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。但是要注意，被转化的椭圆的方程是标准方程。【椭圆的一般方程（高中不接触）经坐标变换总可以化为标准方程，当然我们接触的都是标准方程】还要注意要将结果完全还原。常见的问题会有：判断直线和椭圆位置关系，常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。因而，对上面问题的证明通常情况下可进行如下处理：一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论（也是一个定理）如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx'+bBy'+C=0和单位圆x'^2+y'^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/√（a^2A^2+b^2B^2）。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d0。同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-C^2

参考文献

[1] 许明达. 展示 “垂径定理” 教学过程 培养学生的思维品质[J]. 辽宁教育， 1998， 6.

[2] 陈广南. 圆与正多边形――圆的概念与垂径定理[J]. 中学理科： 初中数理化， 2004 （11）： 69-70.

[3] 赵彦庆. 关于垂径定理的另一条推论及其应用[J]. 中学生数学： 高中版， 2010 （008）： 37-37.

高中数学的定理篇2

关键词： 高中数学教学 新旧教材 余弦定理

在课堂教学中，教材是重要的课程资源之一，是体现课程理念的重要媒介。不同的教材体现了不同的知识传授理念，也体现了不同的教学成效。新旧教材之间存在着些许差异，为了能够更好地实施课堂教学，全面细致地比较和研究新旧教材的差异对实际教学工作是有必要的。

本文通过以余弦定理为例，对新教材与旧教材关于余弦定理章节的内容编排特色做了一个比较，主要对余弦定理的提出、余弦定理发现的证明过程等环节做了细致的比较，并在此基础上，提出合理科学的教学建议，帮助教师形成合理的教学设计，提高课堂教学效率。

一、新旧教材的内容设计比较

在人教版数学第二册（下）中，余弦定理被设计在第五章――平面向量的第二节解斜三角形中。新教材人教版数学必修5，余弦定理被设计在单独章节解直角三角形中。

1.关于余弦定理的提出

旧教材直接提出问题，基于特殊到一般的数学思想，从解直角三角形入手，切入余弦定理：新教材给出探究，而新教材结合初中全等三角形的知识，从量化的角度提出问题，体现初中和高中的知识衔接，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。全等三角形的判定学生在初中时就已学过，这样便于学生建构和联系余弦定理，即三角形的边角关系。

2.余弦定理的发现和证明过程

旧教材因为余弦定理编排在平面向量的章节中，所以，余弦定理的引入也毫无疑问地运用了向量的方法推导出。提出问题后，直接用向量的方法研究问题。

例如，在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b。

由此推出余弦定理。

新教材在推导余弦定理的设计上同样也用了向量数量积的方法进行证明，但是提出了思考。引导学生用已学过的知识和方法来解决这个问题。

由于涉及了边长问题，我们可以考虑用向量的数量积，或者用解析几何中的两点间距离公式来研究这个问题。

新旧教材都用了向量数量积的途径来展现余弦定理的证明这一问题。这样的设计合理、简捷，但是对于学生来说，这样的证明方法来得突然、不自然，不利于发挥学生的主动性，无法让学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程，缺少新旧知识的搭建和连接。

3.余弦定理在三角形形状判断的应用

旧教材并未涉及此内容。

新教材从余弦定理和余弦函数的性质两方面相结合，分别对三种形状的三角形进行了量化讲解。

二、基于教材编写对比分析的教学建议

1.对余弦定理提出的教学建议

在教学中，提出问题、创设情境这一环节可直接用新教材的探究，不仅体现了初中高中知识的衔接，还为之后要说明满足已知边角边的三角形的解是唯一的，不会出现正弦定理两解的情况留下了悬念。

2.对余弦定理的发现和证明过程的教学建议

余弦定理的引入及其证明过程，新旧教材中的向量方法虽然简捷，但是这样的证明过程来得太突然，我们可以设计得更自然一些，既让学生联系已学过的知识，又让学生体会到从特殊到一般的探究方法。可作如下设计：

已知直角ABC，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，问如何去求出直角所对的边c边？

同学们很自然地会利用勾股定理解出c边。

其次，若我们将点C沿边BC向左移动，这时原来的直角ABC变成了锐角ABC，这时如何去求c边？

若我们将点C沿边BC向右移动呢？这时又会形成钝角ABC，如何去求c边？

这就将特殊的问题延伸到了一般的问题，形成对任意的三角形如何去求第三边的问题。这样既结合了旧教材的提出问题部分，又是一种学生易接受的探究方法。

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下）[M].北京：人民教育出版社，2003.6.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学（必修）5[M].北京：人民教育出版社，2007.1.

高中数学的定理篇3

【关键词】初高中数学教学 衔接 研究

一、探究初高中数学教学衔接背景

（一）初高中数学教学内容上有很强的延续性，初中数学是高中数学学习的基础，高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展，在教学内容上、思想方法上，均密切相关。没有初中数学扎实的基础，学生将无法适应高中阶段的数学学习。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在初中阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础，是初中数学教学必须研究的重要课题。

（二）初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、中考数学的导向性作用，新课程标准对数学教学的要求，高中数学教学对初中数学教学的要求等方面进行综合性研究，试图找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为初中数学教学提出有用的建议，对初中数学教学为适应学生高中数学学习进行有效地定位。

二、研究目的与意义

（一）找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为初中数学教学提出有用的建议，对初中数学教学为适应学生高中数学学习进行有效地定位。

（二）从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在初中阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础。

（三）为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础，提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解；

（四）为初中数学教学设置一个知识上限，研究对象为初中数学教学内容的深度与广度。为学生进入高中后能有效适应高中的数学学习。

三、研究内容

（一）初、高中数学课程教学衔接内容的教学要求：

与以前知识、高中教师原有认知相比认为存在但初中已删除需衔接的内容

1.常用乘法公式与因式分解方法：立方和公式、立方差公式、两数和立方公式、两数差立方公式、三个数的和的平方公式，推导及应用（正用和逆用），熟练掌握十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解（竖式除法）

2.分类讨论：含字母的绝对值，分段解题与参数讨论，含字母的一元一次不等式

3.二次根式：二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算

4.代数式运算与变形：分子（母）有理化，多项式的除法（竖式除法），分式拆分，分式乘方

5.方程与方程组：简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式与韦达定理，巩固换元法

6.一次分式函数：在反比例函数的基础上，结合初中所学知识（如：平移和中心对称）来定性作图研究分式函数的图象和性质，巩固和深化数形结合能力

7.三个“二次”：熟练掌握配方法，掌握图象顶点和对称轴公式的记忆和推导，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，用根的判别式研究函数的图象与性质，利用数形结合解决简单的一元二次不等式

8.平行与相似：介绍平行的传递性，平行线等分线段定理，梯形中位线，合比定理，等比定理，介绍预备定理的概念，有关简单的相似命题的证明，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理

9.直角三角形中的计算和证明：补充射影的概念和射影定理，巩固用特殊直角三角形的三边的比来计算三角函数值，识记特殊角的三角函数值，补充简单的三角恒等式证明，三角函数中的同角三角函数的基本关系式

10.图形：补充三角形面积公式（两边夹角、三边）和平行四边形面积公式，正多边形中有关边长、边心距等计算公式，简单的等积变换，三角形四心的有关概念和性质，中点公式，内角平分线定理，平行四边形的对角线和边长间的关系

11.圆：圆的有关定理：垂经定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理；相切作图，简单的有关圆命题证明，介绍四点共圆的概念及圆内接四边形的性质，巩固圆的性质，介绍圆切角、圆内角、圆外角的概念，等分圆周，三角形的内切圆，轨迹定义

12.其它：介绍锥度、斜角的概念，空间直线、平面的位置关系，画频数分布直方图

（二）数学思想方法在初高中数学教学衔接中运用。高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换，划分与讨论，这些思想方法在高中教学中充分反映出来。在初中数学教学中教师有意识的培养学生的数学思想方法，以适应高中教师在授课时内容容量大，从概念的发生发展、理解、灵活运用及蕴含其中的数学思想和方法，注重理解和举一反三、知识和能力并重的要求。

四、实施初高中教学衔接具体做法

初高中教学衔接研究方法宜采取初、高中一线教师合作研究方式，对初、高中数学教学内容、数学思想方法、考试导向作全面的比较分析，提出对初中数学适应性学习教学的要求，为初中数学教学指定出适应高中教学的具体目标，从而解决长期以来初高中教学脱节的问题。

（一）实验法：“分组合作教学”，提炼出初中教学衔接的具体内容，时机、内容、有效性合作。

初中参加实验班级每周授课时间设置为5+2模式，即5节课为正常完成教学任务时间，2节课为根据教学进度找到高初中知识衔接点进行实时渗透，引导学生进行自主探究，对课本要求的知识点进行深化理解。

（二）总结法：参与实验教师做教案设计，活动记实，具体教学衔接内容的研究，教学反思等。

作者简介：

高中数学的定理篇4

关键词：高等数学；反例；应用

中图分类号：O13

1， 反例在高等数学教学中的作用

高等数学的反例是指符合某一个命题的条件，但又和此命题结论相矛盾的例子。正确的命题需要严密的证明，错误的命题则靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

关于二元函数的极限的概念，现在的描述性定义尽管比过去的“ ”定义简单，但 是表示点 以任何方式接近于点 ，所以在讨论极限是否存在时，只要选择两条不同路径，而按这两条路径计算的极限值不同，既可说明极限不存在。

例 讨论二元函数

是否存在极限？

解 当点 沿直线 趋于点 时，有

，当点 沿直线 趋于点 时，有 。可见沿不同路径函数趋于不同值，该函数的极限不存在。又

同理可得 ，二元函数在一点不连续，但其偏导数却存在。但对于一元函数是可导必连续，连续未必可导。

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等数学中，学生对定理条件和结论之间的“充分”、“必要”性的理解通常是学习难点。而反例使学生打开眼界，拓宽思路，从而全面正确理解高等数学的基本定理。拉格朗日定理是微积分的基本定理，关于它的学习，一般先介绍定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导，则在 内至少荐在一点 ，使得

成立），再结合图形给予证明。对给定的具体函数，要求能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，并能求出满足定理中的 。

1.3 有助于错误命题的有效纠正

在一元函数中有两个重要结论。一是可导必连续，连续未必可导；二是若f （x）在某某区间（a， b）内只有一个驻点 ，而且从实际问题本身又能够知道f （x）在该区间内必定有最大值或最小值.则 就是所要求的最大值或者最小值。按照常规的思维模式，人们很自然把它们推广到二元函数。

2 在高等数学教学中反例的应用

在高等数学教学中加强反例思想的渗透，能够强化学生对一些基本概念和定理的学习和理解，并能够激发学生学习数学的兴趣，进一步提高教学效果。

2.1 恰当构造反例，加深对概念的理解

理解概念是学生学好高等数学的基础，也是其能力培养的先决条件。通过反例，从反面消除一些容易出现的模糊认识，严格区分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本质。在高等数学的极限概念教学中，恰当地构造反例，会得到事半功倍的效果。在极限概念的学习中，学生认为：①有界函数的极限一定存在；

②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述两种想法都是错误的.对于①构造反例

因为当 时， 不能无限接近于一个确定的常数 ，所以，极限 不存在，对于②构造反例 ，

2.2正确应用反例，加深对定理的理解

定理教学中，反例和证明具有同等重要的地位，通过严密的证明才能够肯定一个命题的正确性，而巧妙的反例即可否定一个命题的正确性。

在高等数学的定理教学中，正确地应用反例，能够全面地理解定理的条件和结论，更好地应用定理解决问题。关于罗尔定理（若函数 满足条件： 在 上连续； 在 上可导；. 。则在（（a，b）内至少存在一点 ，使得 成立）的教学，因为它只是拉格朗日的特例，一般是结合图形给予说明，不做重点讲解。但能够应用反例加深对定理的理解，说明罗尔定理的三个条件是使 成立的充分条件，而不是必要条件。

2.3 有效利用反例，纠正习题中的错误

学习高等数学需要解题，在解题中要鼓励学生从多方面进行思考，多角度进行探索，挖掘新思路：鼓励学生去联想发挥，改变条件，对习题进行拓宽。有些失误难以通过正面途径检查出来，而举反例就能在较短的时间内，较直观地反映出错误所在，而且，由此往往能产生正确的途径。

“反例”揭示了数学上这种“失之毫厘，差之千里”的特点，达到了教学中那种“打开眼界，拓宽思路”的效果。所以，在高等数学教学中，广大教师应重视和恰当地应用反例。

参考文献

[1]吴里波.浅谈高等数学课中微分中值定理教学方法一反例教学法.思茅师范高等专科学校学报，2012（3）.

[2]侯波.应用数学.沈阳：科学出版社，2007.

高中数学的定理篇5

关键词：数学建模；大学数学；教学方法；兴趣；创新思维

引言

随着我国科学技术的不断发展，计算机应用技术给我们的生活带来了前所未有的便利，数学在我们日常生活中的应用变得越来越普遍，利用数学方法来解决我们的生活及工作中的难题将成为数学应用在未来的发展趋势。高校数学教学效率很大程度上取决于学生对数学的学习兴趣，将数学建模思想应用于数学教学中可以将数学问题形象化、简单化，将枯燥无味的数学课堂变得更加生动、有趣，从而激发起学生的学习效率，提高数学的教学质量。

一、数学模型应用概述

随着社会主义经济不断发展，数学已在各个领域得到广泛的应用，建立数学模型解决实际工作问题是大学生走向社会要经常运用到的基本技能。利用数学模型解决问题仅仅是具有数学知识和数学解题能力是不够的，它还需要大学生具有优秀的综合素质能力，而且具有这种优秀素质的专业人才在社会工作中会比数学专门人才受欢迎得多。高等学校的教育目标是为生产、服务以及管理前线输送高素质专业人才，因此数学建模的应用就成了高校数学专业学生择业的必备素质和技能[1]。

二、高校数学教学弊端

数学作为科学研究的基础工具，在知识性人才的培养方面具有不可替代的作用，但是当前我国高校的数学专业教学在教学内容和教学方式上存在着一定的弊端。从高校数学的教学内容来看，老师在教学过程中过于重视理论教育而忽视数学的实际应用问题；过于注重解析数学问题的小技巧，而忽视整个解题思路的训练；过于强调例题的经典性，而忽视对新案例的引进，不能对学生进行新思维的锻炼。从教学方式上来看，高校数学老师往往重视对知识的传授而忽视对学生学习方法的指导，使得学生根本不能独立的解决问题，缺乏独立思维能力，只要一遇上实际问题，学生往往会显得手足无措，不知道从哪开始下手。古人言“授之以鱼，不如授之以渔”只有学生学会了正确获得知识的方法，那么他们就能够进行独立自主的学习，在以后的生活和工作中都将受益无穷。从教学手段来看，由于高校学生从高中升入大学一直接受的是应试教育，应试的思维模式已经根深蒂固，习惯了填鸭式的教学方法，他们很不适应大学里提倡的自主学习模式，实践教学环境的缺失，使得学生学到的数学知识远离实际应用和社会需求，不利于创造型人才的培养，数学教育模式继续改革。实践调查证明，在高校数学教育中引入数学建模思想和教学方法，能够取得良好的教学效果，很多学生在建立数学模型的过程中逐渐地对数学专业产生了浓厚的兴趣，数学建模思想的引入促进了学生将理论知识与社会实践相结合的学习模式，使学生的学习效率有了显著的提高。

三、数学建模思想和方法在高校数学教学中的作用

数学建模就是指用数学语言和方法将现实信息进行翻译，并对所得数据进行整理、归纳所得出来的数学产物。数学模型经过演绎、推断和求解的过程，最后将得出的推论和结果回到社会现实世界当中进行实践验证，从而完成数学模型由实践到理论，再由理论到实践的有效循环过程。从高校数学教学的角度来看，指导学生运用所学到的数学知识建立数学模型是一种创新性的学习方法，这种方法的运用可以让学生体验综合运用数学知识和方法解决现实问题的过程，能有效激发学生的学习热情，有助于学生创新意识的培养，提高学生数学的综合运用能力[2]。

（一）数学建模思想有利于激发学生的学习兴趣

数学建模的思想过程符合学生对事物认知过程的发展规律，数学建模能有效提高学生学习数学，应用数学的积极性；数学建模从实践到理论再到实践的建造过程，不仅能帮助学生牢固的掌握数学知识，还能有效训练学生运用数学语言和数学方法的能力，帮助学生树立正确的数学观，有效促进了学生在生活中运用数学的意识。数学建模将枯燥无味的数学理论知识转化成了生动形象的现实案例，使学生非常清楚的感受到了数学在日常生活中的应用过程，能有效启发大学生们的数学灵感，提高学生的学习效率。数学建模思想的形成能够让学生在学习方面产生良好的学习习惯，即使在以后的工作及生活中都会受益无穷。

（二）数学建模思想有助于学生创新意识的培养

传统的教学理念主要强调老师在教学过程中的主导作用，老师一味地对学生进行理论知识的传授，将学生当作知识的储存器，过于偏重于知识的灌输，在课堂上留给学生自主思考时间很少，从而抑制了学生创新思维能力的发展。传统的数学教育模式主要注重对数学知识的演绎，对于数学归纳方法则不是太看重；虽然演绎法在数学学习中很重要，有利于学生对数学原理的学习和运用，但是它对学生创新思维意识的形成却没有太大帮助，不能很好的引导学生去创新。要想在数学学习中培养学生的创新思维必须重视数学中归纳法的学习，培养学生从社会现实中善于发现和归纳的能力。所以高校数学老师应转变教育观念，革新教育思想，在数学课堂中引入数学建模思想，有利于提高学生的创新能力。

（三）数学建模思想有助于提高学生的数学应用能力

美国科学院院士格林教授曾说过：“时代需要数学，数学需要应用，应用需要建立模型”。利用数学模型来解决实际问题，不仅需要大学里所学的数学知识，而且需要多方面的综合知识，包括熟练掌握计算机应用技术和对问题的建模能力。老师对学生数学建模能力培养，需要让学生掌握所运用数学知识产生的背景，加深对问题的深入了解，拓展学生的知识面，从多方面提高学生的数学知识水平。

四、数学教学中应用数学建模的具体方法和措施

在数学教学中引入数学建模思想需要以实例为中心，让学生在学习体验过程中掌握数学建模的中心思想和步骤，老师应丰富数学课堂的教学内容，将学生视为课堂主体，采用启发式教学为主、实践教学为辅的多种形式相结合的教学模式，充分让学生体验用数学知识解决实际问题的全部过程，并感受其中的学习乐趣。

（一）从实例的应用开始学习

学生对数学的学习不能只局限于对数学概念、解题方法和结论的学习，而更应该学习数学的思想方法，领会数学的精神实质，了解数学的来源以及应用，充分接受数学文化的熏陶。为了达到教学目的，高校数学老师应结合教学课程，让学生认识到平时他们所学的枯燥无味的教学概念、定理及公式并非空穴来风，而都是从现实问题中经过总结、归纳、推理出来的具有科学依据的智慧成果[3]。将教学实例引入课堂，从教学成果来看，数学建模思想可以充分的让学生理解数学理论来源于实际，而学习数学的最终目的却是将数学理论回归到实际生活应用中去，学生明白了学习数学的实际意义，有助于提高学习数学的兴趣，促进创新意识的培养。

（二）在实际生活中对数学定理进行验证

高校数学教材中的很多定理是经过实际问题抽象化才得出来的，但正是因为定理和公式过于抽象使得学生们在学习时特别枯燥和乏味。因此数学老师在讲授定理时，首先要联合实际应用对数学定理进行大概的讲解，让学生们有个直观的印象，然后结合数学建模的思想和方法，把定理当中的条件当作是模型的假设，根据先前设置的问题情境一步步引导学生推导出最终结论，学生经过运用定理解决实际问题切实的感受到了定理运用的实际价值。例如，作为连续函数在闭区间上性质之一的零点存在定理，在高等数学的学习中有着非常重要的意义。零点定理的应用主要有两个方面：其一是为了验证其他定理而存在，其二是为了验证方程是否在某区间上有根。学生学习这个定理时会有这样的疑问：一个定理是为了验证另一个定理而存在，那么这个定理还有没有实际的应用价值呢？所以我们高校数学老师在讲完定理证明之后，最好能够结合现实生活中的问题来验证定理的实际应用。

（三）结合专业题材，强化应用意识

数学学习涉及到高校的各个专业，拿电子科技类专业来说，毕业生毕业后主要从事有关工程和科学的职业，这些工作要求学生必须具有数学技能和解决科学问题的能力。学生学习数学的目的主要是为了培养利用数学思维分析问题的能力以及解决工作中出现的具体问题的能力，这种职业要求决定了高校学生理解数学思维并使用数学的重要性。因此在大学数学教学中老师需要结合专业的相关知识，根据专业的不同有目的性地选择典型问题进行教学，去掉数学教材中的一些纯数学的案例，能够有效地激起学生的求知欲，在数学建模过程中强化数学思维及数学应用意识，提高学生的专业能力。

五、结束语

综上所述，在大学数学教学中贯穿数学建模思想，等于传授给学生一种良好的学习方法，更是为学生架起了一座从数学知识到实际问题的桥梁，学生只有大量接触与专业有关的现实实例，才能够建立正确的数学观念，提高整体的数学课堂教学效果，拓宽学生解决问题的思路，提高学生分析并解决实际问题的能力，强化专业知识，提升人才培养的力度，为社会各界输送高质量的人才。

参考文献

[1]陈龙.数学建模思想在高等数学教学中应用价值的研究[J].亚太教育，2016（4）.

[2]刘君.在高等数学教学中融入数学建模思想的探讨[J].科技视界，2016（5）.

[3]林显宁.数学建模思想在高职数学中的渗透研究[J].信息化建设，2015（12）.

高中数学的定理篇6

关键词 初高中数学 教学衔接 三角函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）05-0016-02

高中实施新课程以来，初高中数学教学的衔接问题大家议论的很多，因初中教材要求掌握较窄或较浅的内容，甚至于不要求掌握的内容在高中数学学习中经常要用到，这样就出现了初高中教材“脱节”现象，从而影响到高中数学的学习。所以在初高中数学衔接中，要引导学生适应高中数学学习的习惯和解决问题的思维方法。

一、重视数学概念的教学

数学概念的教学是中学数学教学的一个重要环节，不应该仅仅是“一个定义，几项注意”，更不能以题海战术来取代。这样花了很多时间对学生进行反复训练，无形中增加了学生的负担，磨灭了学生的学习兴趣，结果学生还没有真正理解概念。因此，正确理解数学概念是学好数学的前提条件，学生对概念的理解程度直接影响到以后的数学学习。由于高中阶段给出的概念比较抽象，逻辑性强，因此，在进行概念教学时，充分利用初中学过的数学概念与高中概念的联系来进行教学。如：初中阶段讲解锐角三角函数时，主要通过直角三角形边的比值来定义锐角三角函数，而高中任意角的三角函数是利用平面直角坐标系中点的坐标或坐标的比来定义的，造成高中学生学习任意角三角函数时，受到初中学习的思维定势，用定义解题时只看到锐角，还不能推广到任意角，从而影响到后续的学习。所以，在数学概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，要从学生的实际出发尽量找学生熟悉的生活实例创设情景，并应用好书中的例子，为学生提供思考的空间，给予学生交流的机会，让学生自身体验概念的发现，形成过程。通过分析、抽象、概括最后形成概念。这样学生对概念的理解才深刻，在理解基础上才容易记住概念。

二、初高中数学知识结构结合点剖析

初中数学对数学概念、定理采用描述性定义，而高中数学要求对数学概念、定理采用严格的定义与推导。初高中教材内容相比，高中数学内容增多，难度加大，范围变广，理论性强。而高一数学大部分知识都与初中知识有联系。但是大部分高中教师没有教过初中，对初中教材不熟悉，因此，高中教师有必要认真研读实施新课程后的初高中教材及课程标准，对初中知识有所了解，在高中数学教学中，可以从学生已有知识出发来探究新知识。如：初中学的锐角三角函数仅仅限于直角三角形中，而高一的三角函数讲到任意角的三角函数，难度突然增大，学生难以理解或掌握。因此，在高中数学教学中，要求教师利用好初中教材，准确把握好课堂教学的起点，由浅入深、由感性到理性过渡到高中知识来实现初高中数学教学的有效衔接。

三、注重知识循序渐进、螺旋上升梯度的把握

初中教材内容简单，知识难度不大，要求低，学生容易理解，此外课时多，教师有充足的时间来突破难点。而高中教材内容丰富、难度大、要求高、课时少，即使是教学重点内容，老师也没有时间进行反复强调，加深讲解。初中教材每一新知识的引入大部分与学生日常生活实际有关，比较直观，学生一般容易理解、接受和掌握。根据高中教材特点，我们不能用过高的要求来对待高一的数学教学，在高一的教学中要从学生已掌握的知识出发，对教材进行必要的处理和知识铺垫，找到初高中教材知识的衔接点，有意识地分散难点，注重由浅入深、循序渐进，逐步向抽象思维转化，从而形成新知识。如：初中阶段学习的锐角三角函数，它是利用梯子的倾斜程度来引入，通过直角三角形边长的比来刻画的；而高中的三角函数用角的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比来表示，概念范围扩大，并且与生活联系不紧密，只有学生具有一定的想象力才能理解。因此，讲解数学核心概念、重要数学思想方法时，要让他们有反复接触的机会，从中获得应有的数学基础知识，体验它们形成的过程，真正领悟数学核心概念、重要数学思想方法的本质特征，不追求“一步到位”，应遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。

四、注重引导学生感悟数学思想

高中数学的定理篇7

高中数学例题教学模式问题对策高中数学是学生学习数学的中级阶段，同时也是学生学习简单数学到复杂数学理论的过渡阶段，关乎到学生今后的数学学习质量。目前，我们国家正在推行新课程改革，不仅仅要改革课程内容设置方面，还要改革教师的教学理念、教学模式，只有这样才有利于实现我们国家教育制度改革的目标。在高中数学课堂教学过程中，例题教学模式对提高高中数学课堂教学质量、实现教学目标有着重要的作用。但是，高中数学例题教学模式在某些方面也存在着不足，这就需要我们不断地研究与分析，制定科学有效的对策。

一、高中数学例题教学模式的相关概况

高中数学是学生接触比较复杂的数学理论的初始阶段，并且也是一门综合性比较强的学科。高中数学的教学内容主要包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》和《平面解析几何》等，这些定理和公式对于高中生来说比较抽象、难懂，只有运用例题教学模式才能够提高学生的理解能力，帮助学生更好地掌握高中数学知识。

例题教学模式是以高中数学的基本理论知识、公式和定理为基础，把握数学的基本规律和定势，帮助学生更好地进行数学学习。高中数学例题是根据数学的教学内容设定的，目的在于解释公式、定理的运用方法，帮助学生更好的学习。高中数学例题是将教学的重点知识与实际例题相结合，综合体现了高中数学教学的目标，帮助学生思考和预习等，强化学生的知识理论水平。不仅如此，高中数学例题教学模式还能够提高学生对数学理论的使用水平，举一反三，能够有效的提高学生的思维能力、创新能力和逻辑推理能力。

二、高中数学例题教学模式过程中存在的主要问题

高中教学质量的提高是我们国家教育制度改革目标实现的重要阶段，同时也是学生形成正确学习观的重要阶段。虽然我们国家的高中数学例题教学模式取得了一定的成就，但是在其发展过程中也存在着许多方面的不足。

高中数学课程内容设置方面比较落后，并且在例题的选择方面比较单一，没有合理的运用。不仅如此，高中数学例题的数量比较大，导致高中数学的课堂教学目标不易实现。由于高中数学理论与公式、定理的运用方式多种多样，在教材编写的时候，作者会根据所有的用法一一例举，这完全推迟了课程的进度，但是没有达到预期的效果。一旦课本中例题数量过多就会导致知识的体现深度和层次不够，学生不能够正确的选择理论知识的重难点，同时对学生思维能力和创新能力的提高有所阻碍。教师会根据课本例题进行讲解，不利于调动学生的学习积极性和自学能力，长久下去，学生就会养成依赖教师的习惯。

教师在利用例题教学模式进行教学的时候，往往会忽视了例题的难度，没有根据学生的实际知识水平和接受能力，使得学生难以接受和理解。在教学的过程中教师会经常提问，教学的过程过于形式化，使得学生完全不能够跟上教师的教学节奏。例题的难度层次体现了知识点的重要性，有的教师为了结合高考热点，将有关方面的例题运用于课堂教学中，忽视了学生的理论知识水平有限，使得教学质量与预期目标不一致。课堂教学过程中穿插提问环节虽然能够激发学生的学习积极性和提高学生创新思维能力的发散，但是如果设问数量过多就会降低学生的积极性，同时也不利于教学工作的开展。

在高中数学例题教学模式中，教师讲解例题的时候花费的时间过多，并且讲解的过程太过精细，不利于学生自主学习和自主探索能力的提高。不仅如此，在这个过程中教师没有充分地认识到学生的主体地位，自己一味地讲解，学生没有思考和整合的机会，这样大大的降低了高中数学课堂的教学效率，不利于实现教学改革的目标。在这种情况下，学生的积极性就会被逐渐磨灭，长久下去学生就会缺乏自主学习的能力和独立思考的能力，在自己独立做题的时候效率偏低。

三、提高高中数学例题教学模式的相关对策

1.国家教育部门和研究部门在设置高中数学课程内容的时候，要结合知识点、理论、公式和定理的具体情况来合理的设置例题，并且例题的选择要灵活多变。教师在数学例题教学模式过程中，要选择合理、有效的例题进行教学，充分的认识到例题在课堂教学中的重要性。只有这样，教师选择的例题才能够发挥其作用，在教学的时候才会事半功倍。不仅如此，教师要掌握国家教育制度改革的目标，不断改变自己的教学方法和教学方式，将教学与改革目标充分结合，为促进教育事业的发展做出自己的贡献。

2.教师要根据学生的实际知识水平和接受能力来选择合适的教学例题，正确的把握例题的难度，提高学生的接受能力和理解能力。教师要根据自己多年来的数学教学经验来选择教学例题，并且例题的来源不能够仅仅局限于教科书，还应该在其他数学教材、习题册和高考题目当中选用适合自己教学内容的例题。教师要积极备课，深入的了解例题的知识点来决定自己将会如何讲授以及如何设问，积极引导学生的学习，提高学生的思维能力和创新意识。

3.教师要致力于提高学生的思维能力和举一反三的能力，同时学生也要改变自己的学习观念，积极参与课堂教学过程中，与教师积极互动，共同提高高中数学例题教学模式的效率。教师要合理的分配教学实践，保证自己在讲授的同时还能够提供充足的时间供学生反思与总结，这样有利于学生的发散性思维能力的提高。同时，教师还可以充分地结合其他种类的教学模式，取其精华、弃其糟粕综合运用各种教学模式来改变目前的教学状态，合理地布置教学任务，以此来实现自己的教学目标。

四、结论

高中数学的本质决定其教学过程必须结合适当的例题进行讲解，这样才能够帮助学生快速地理解和掌握相关方面的数学知识。高中数学例题教学模式要不断进行创新与改革，只有这样才有利于实现国家教育制度改革的目标，才能够为国家和社会培养出全面的、创新型以及复合型的人才。

参考文献：

[1]王小明.例题学习研究及其课改意蕴[J].基础教育，2011，（02）.

[2]马杰.加涅的认知策略研究及其对教学设计的启示[J].黑龙江教育学院学报，2010，（11）.

[3]卜范坤.新课程背景下数学例题功能探析[J].数学教学研究，2010，（03）.

高中数学的定理篇8

1.以高等数学符号、概念为背景来设计试题。

此类题目的命制是在题设中直接引入了高等数学中的某些概念、结论、运算等，要求学生能内化题目给定的信息，抓住相应的关系和特征，结合原有的初等知识解决问题。

例1（2009福州）在空间直角坐标系中，对其中任何一向量 ，定义范数 ，它满足以下性质： ，当且仅当 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数 ， （注：此处点乘号为普通的乘号）。（3） 。试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有一个向量 ，下面给出的几个表达式中，可能表示向量 的范数的是__（4）___.（把所有正确答案的序号都填上）

（1） （2） （3） （4）

【追根寻源】设V（F）是数域F上的线性空间，定义在F上的实值函数P：V（F）R如果满足以下条件：

正定性：x0，当且仅当x=0时等号成立；

齐次性：kx=kx；k∈R；

三角不等式：x+yx+y；

则称此实值函数P为V（F）上的范数，给定范数的线性空间（X，P）为赋范空间。[

【评析】本题以大学范数的概念为载体，考查演绎推理，抽象函数及其应用的。该函数具有一定的抽象性及函数图象的不可作出性，因此该函数的性质在理解时也具有很强的抽象性，体现了高考对数学本质、数学概念和性质的形成过程的考查.考查了学生的阅读理解能力、推理论证能力、抽象概括能力、数据处理能力。

【说明】高斯函数、小数函数、狄利克雷函数、分渐近线、凸凹性、整除性环域、群、封闭性等均可成为此类试题的源泉。

2.以高等数学的运算系统为背景来设计试题

此类题目的命制是以高等数学的抽象代数中的运算系统知识为背景设计一个陌生的数学情景，给出一定容量的新信息，通过阅读相关信息，捕捉解题灵感而进行解答的一类新题型。

例2（2011广东高考）设S是整数集Z的非空子集，如果 有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集， 且 有 有 ，则下列结论恒成立的是（A）

A. 中至少有一个关于乘法是封闭的

B. 中至多有一个关于乘法是封闭的

C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的

D. 中每一个关于乘法都是封闭的

【追根寻源】假定G是一个有代数运算“+”的非空集合，如果满足下面条件，那么我们就说G对于代数运算“+”构成群：

（1）结合律成立：即对于任意 都有（ + ）+ = +（ + ）；

（2）在G中存在一个元素 ，叫做G的单位元，对于任意 ，都有 + = + = ；（3）对于任意 G，在G中存在一个元素 叫做 的逆序元，使得 + = + = ，这里 是一个固定的单位元。

【评析】此题以大学的群运算为载体，正确理解封闭的含义是解答的关键。试题具有一定的开放性，便于考查学生对新颖材料的学习理解能力、信息处理的解题能力。

【说明】整除性、环域、群、封闭性常为构成此类试题的源泉。

3.以高等数学的知识居高邻下设计试题

此类试题运用高等数学的公式、定理、性质或其变式、引申，居高邻下设计试题，再利用初等数学知识来解决问题。

例3.（2013江西高考）已知函数 ， 为常数且 。若 满足 ，但 ，则称 为函数 的二阶周期点。如果 有两个二阶周期点 ，试确定 的取值范围。

【追根寻源】不动点原理是高等数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理。完整的表达：完备的距离空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f（x）=x。

【评析】高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现。就如本题学生只要理解函数f（x）的不动点的定义：不动点是方程f（x）=x的实数根。本题只要将 的实根 求出，再扣除不动点。此题只是在原来常见的求不动点的题型的基础上稍微进行了变化。

【说明】格朗日中值定理、闭区间上连续函数的介值性定理、根据同构观点利用“关系映射反演原则”对数学问题进行等价变换和求解、利用射影变换、仿射变换方法构造几何题都常为此类试题的源泉。

4.以中学数学概念、知识的延伸来设计试题。

高等数学所涉及的知识点要比初等数学所涉及的多（而且深），大学的许多内容是在中学知识的基础上进行引伸、推广的。所以可以中学数学概念、知识的延伸来设计试题，而此内容正是高等数学研究的范畴，此类题能较好地达到考查学生进一步学习数学的能力。

5.以高等数学的思想为背景设计试题

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。此类试题体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。

例4（2010福建高考）对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 （ 为常数），对任给的正数 ，存在相应的 ，使得当 且 时，总有 则称直线 为曲线 与 的“分渐近线”。给出定义域均为D= 的四组函数如下：

① ， ；② ， ；

③ ， ；④ ， 。

其中，曲线 与 存在“分渐近线”的是（C）

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是 时， 进行做答。

【说明】初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。所以试题的命制还可以以此为着眼点。

对于高观点下的数学试题，绝不是要求教师提前教高等数学知识，解决这个问题的关键是如何进行转换和过渡，这就要求教师高屋建瓴地处理数学教材，教学生如何进行知识的正迁移，建构出熟悉和谐的知识体系和问题背景。

参考文献1陈素贞高观点下中学数学试题的编制模式探究 2012.4