时间：2023-10-29 02:23:53
【关键词】四则运算；数学；规律
教师在学生学习的过程中，应注重对学生的引导，而教师的导，学生的学，都必须遵循学生的认识规律，引导学生积极、主动地获职知识。而四则混合运算的教学主要是梳理四则混合运算的运算顺序，并在整理混合运算的运算顺序时，解决实际问题，使学生在解决实际问题的过程中，进一步掌握分析问题、解决问题的策略与方法，同时让学生体会运算顺序的必要性，从而系统地掌握混合运算的顺序。
1 从规律出发，让学生理解四则运算
从儿童的年龄特点和规律出发，以旧拓新。课的开始，我经常出示一道口算题和一道整数四则运算题，让学生在复习旧知识的基础上巧妙过渡到新知识，激发求知欲望，并善于提出问题，善于引导学生发现问题。因而在关键处提出一些问题，且内容恰当，难易适度，并富于思考性，易调动学生思维的积极性。当出示尝试题后，说：“谁能不通过老师的讲解就能做题？”引导学生自己去探索知识，做的过程中提出：“先算什么？后算什么？”由于学生对这些知识并不陌生，很快会根据先算什么，后算什么。这一系列问题，对于学生的思维，有明确的导向作用。理解四则运算，是学习四则计算的基础。根据小学生的年龄特征和认识规律，在四则运算教学中，应主要从感性认识上说明加、减、乘、除法的含义，使学生对四则运算有个初步的理解，还不能从理论上给出它们的定义。而在经过大量的四则运算的基础上，教师对四则运算的意义和四则运算之间的关系，进行抽象、概括，不仅是必要的，而且是可行的。因此要使学生进一步理解四则运算的意义，掌握加法与减法、乘法与除法之间的关系，为学生进一步学习打好基础。在四则运算的过程中，教师要尽量使学生理解和掌握加法、乘法的运算定律，能够进行一些简便运算，发展学生思维，提高学生的计算能力。
2 理解运算定律是学习简便运算的前提
许多简便运算都是充分合理地应用运算定律、性质的结果。如果学生没有理解运算定律、性质，简便运算就是无本之木、无源之水，只能是照葫芦画瓢，在题目明确要求用简便方法时才简算，题目没有明确要求用简便方法计算时，即使算式有简算条件，也不会自觉地采用简便方法计算。因此，教材在每次教学简便运算前都有计划地安排运算定律、性质的教学。一种是把运算性质安排在习题中，让学生通过解答习题，了解运算性质。如练习题中填写下表，说一说：什么数没变？什么数变化了？怎么变化的？加数280 280 280 280 280 280 ，加数10 40 70 100 130 160和被减数 250 250 250 250 250 250 250 ，减数10 40 70 100 130 160 190，学生通过填一填、比一比、说一说，知道了一个加数不变，另一个加数增加几，和也增加几；被减数不变 ，减数增加几，差反而减少几。对和、差变化规律直观的、初步的认识，为以后学习一个数加上（减去）另一个接近整十、整百数的简便算法创造了条件。另外是把运算定律、性质安排在应用题复习中，让学生在重温应用题解答的过程中感知运算定律、性质。如用两种方法解答应用题：“三年级同学参加春季植树，把90人分成2队，每队分成3组，每组有多少人？”这道题的两种解法结果相同，所以90÷2÷3=90÷（3×2），这个等式表示：“一个数连续用两个数除，每次都能除尽的时候，可以先把两个除数相乘，再用它们的积去除被除数，结果不变。”教材对这条除法性质的直观描述，成为教学390÷5÷6、420÷35的简便算法的基础。还有一种是为运算定律的教学安排例题，在学生充分感知的基础上进行抽象概括，形成对运算定律的理性认识。简便运算是在特殊条件下应用运算定律、性质的快速计算。运算定律、性质本身是具有普遍意义的规律。如只要是三个数连乘都可以先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘；只要是连减，都可以先把各个减数相加，再从被减数中减去各个减数的和。但在应用运算定律、性质简便计算时，需要根据算式所具备的特殊条件灵活运用。思维的灵活性是简便运算的灵魂。简便运算在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。首先，要培养学生敏锐的观察力。在教学中加强有针对性的口算练习。第二，要使学生正向思维和逆向思维同步发展，能正向也能逆向应用运算定律。如39×25×4=39 ×100=3900是正向应用乘法结合律，25×24=25×4×6=600是逆向应用乘法结合律； 9×37+9×63=9×100=900是逆向应用乘法分配律。在应用的同时让学生正向、逆向表述运算定律、性质。如表述减法性质：“一个数连续减去几个数，可以从这个数里减去各个减数的和”，“一个数减去几个数的和，可以从这个数里连续减去各个加数。”第三，要使学生收敛思维和发散思维同步发展。有些简算虽然方法相同，但可以用不同的原理来解释，如637+102=637+100+2=737+2=739，可以看作是应用和的变化规律，也可以看作应用加法结合律。在教学中不宜把简算方法教得过死，也不要把一道题可能用的简算方法教得很全，要鼓励学生动脑筋，自己寻找简算方法。
3 分清运算顺序
在混合运算初步教学阶段，教学由百以内加减法组成的两步式题、由表内乘除法组成的两步式题、很简单的乘加（减）与有小括号的两步式题。在这一环节中，四则混合运算教学有三个特点：一是，以 口算为主；二是，解题时只要求写出两步式题的结果；三是，辅助相关知识的教学，如乘加（减）两步式题能帮助学生了解相邻两句乘法口诀之间的联系。四则混合运算教学的第二个环节是各种运算顺序的教学，它有两个特点：一是，用四句话概括表述了常用的混合运算顺序，“在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，都要从左往右按顺序运算”，“在没有括号的算式里，有乘法和加、减法，都要先算乘法”，“在没有括号的算式里，有除法和加、减法 ，都要先算除法”，“算式里有括号，要先算括号里面的”。教材中暂时把“先乘除、后加减”分成两句话表述，适当降低了教学要求；第二个特点是，解题时要写出每步计算的结果，以表明运算顺序。四则混合运算教学的第三个环节是在学生初步掌握混合运算顺序的基础上，教学三步计算的式题。它也有两个特点：一是，由易到难，先教学比较容易的三步式题，如16×4+6×3，74+100÷5×3；二是，式题中有乘、除数是两、三位数的乘、除法，计算比较复杂，容易出现错误 。教师要在学生掌握连加、连减、加减混合式题和连乘、连除、乘除混合式题的基础上，把同级运算扩展到不同级运算，掌握混合运算式题的运算顺序。教师要使学生明确在混合运算式题计算中，要看它是含有同级运算还是含有不同级运算，同级运算的运算顺序是从左往右，依次演算；不同级运算的，要先算乘除，后算加减。
总之，上好一堂四则混合运算课，教师要充分发挥引导作用，以旧拓新，激发兴趣，启迪思维，引导学生探讨知识，正确处理教与学的联系。
【参考文献】
小数乘法1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。1.5×1.8就是求1.5的1.8倍是多少。计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。4、求近似数的方法一般有三种：⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。7、运算定律和性质：加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 【(a-b)×c=a×c-b×c】除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
1．使学生理解、掌握四则运算的五大定律和两个性质。
2．掌握积、商的变化规律。
3．能运用这些定律、性质和规律进行简便计算，提高计算能力。
教学重点
运用定律、性质和规律进行简算。
教学难点
如何“灵活”运用。
教具与学具准备
投影仪、投影片、判断牌、选择牌。
教学过程设计
(一)揭示课题
提问：“请同学们回忆一下，我们在学习整数四则运算时，已经学过了哪些运算定律？哪些运算性质？”(指名回答)
(板书)
加法交换律减法的性质
结合律
乘法交换律除法的性质
结合律
分配律
很好，今天我们就来复习这些定律和性质及其应用。(板书：四则运算的定律和性质复习)
(二)复习五大定律
1．提问：这些定律用字母怎样表示？用语言怎么叙述？(学生边回答教师边板书字母公式。)
2．判断下面应用运算定律的过程有没有错误，没错举“√”，有错举“×”，并指出错误所在，改正过来。
投影出示：
(1)(43＋25)×4=43×4×25×4
(2)(700＋1)×68=700×68＋68
(3)153×(220＋57)=153×220＋57
(4)45＋(54＋55)=54＋(45＋55)
(5)63×8＋37×8＝(63＋37)×(8＋8)
3．小结：我们运用这些定律时要注意正确。
(三)复习两大性质
1．提问：我们还学习了哪些运算性质？你能把它们用字母表示出来吗？说说它们表示的意思。(学生边说老师边板书。)
减法运算性质：a－(b＋c)=a－b－c
除法运算性质：(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c(c≠0)
强调除法性质中的a，b都要能被c整除，且除数c不能是0。
2．做一做：在等号后面的横线上填数，里填运算符号。
(1)157－(27＋68)=157－27_________
(2)3214－537－463=3214－(537463)
(3)(945＋63)÷9=945÷________63÷
(4)156×102=156×(100_______)
指名一人做胶片，其他同学做印好的练习片子，然后投影说结果，并说明根据什么性质。
(四)积、商的变化规律
1．提问：我们在学习多位数乘、除法时，还学过积、商的哪些变化规律？谁还记得？
(1)投影：在乘法里，如果一个因数扩大10倍，另一个因数不变，那么积就________倍；如果一个因数缩小100倍，另一个因数不变，那么积就________倍；或者，一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积________。
想一想：这是什么道理？(是乘法交换律和结合律的具体体现。)
投影说明：
(a×10)×b＝a×10×b＝a×b×10＝(a×b)×10
(a÷100)×b＝a÷100×b＝a×b÷100＝(a×b)÷100
(a×10)×(b÷10)=a×10×b÷10
＝a×b×10×10＝(a×b)×1＝a×b
(2)投影回答：在除法里，被除数和除数___________扩大(或缩小)___________的倍数，_______________。
问：你能联系乘、除法的关系和乘法运算定律来说明其中的道理吗？(根据除法是乘法的逆运算关系，这也是乘法运算定律的具体体现。)
说明：整数四则运算的定律和性质，对小数四则运算同样适用。(只有除法的性质略有变化，a，b都要能被c除尽。)
2．练习。
口答：
(1)一个因数扩大100倍，另一个因数扩大10倍，原来的积就____________倍。
(2)把除数扩大100倍，要使商不变，被除数应该____________倍。
(3)在下面的横线上填上适当的数，里填运算符号。
①3.6＋0.85＋6.4＋0.15=(_____________)(_____________)
②4.53－1.64－0.36=_____(______0.36)
③7.8×5.3＋7.8×4.7=______(__________)
④4.2÷0.7＋2.8÷0.7=(____________)______
(五)课堂总结
我们掌握四则运算的五大定律和两个性质主要是为了应用，使计算简便，而且要灵活运用。
(六)课堂练习
1．选择题：(投影出示，学生举选择牌。)
(1)被减数不变，减数增加5，得到的差[]。
①增加5
②减少5
③不变
(2)对于25×48，小明想了以下几种计算方法，分别应用了()知识。
25×48=25×(40＋8)=25×40＋25×8=1000＋200=1200
应用了()知识。
25×48=25×(6×8)=6×(25×8)=6×200=1200
应用了()知识。
25×48=25×(50－2)=25×50－25×2=1250－50=1200
应用了()知识。
25×48=(25×4)×(48÷4)=100×12=1200
应用了()知识。
①积的变化规律②乘法交换律和结合律
③乘法结合律④乘法分配律
⑤乘法交换律
追问：哪种最简便？
2．简算，在片子上完成，指名两个同学用胶片做。
①1.25×2.5×64×5
=1.25×2.5×(8×8)×5
=(1.25×8)×(2.5×8×5)
=10×100=1000
②5.8÷0.7＋0.42÷0.07＋40÷7
＝58÷7＋42÷7＋40÷7
=(58＋42＋40)÷7=140÷7=20
集体在投影上订正。
(七)课堂总结
今天这节课我们上得很好。在今后的学习和实践中要注意应用我们所学过的定律和性质，使计算简便，提高效率。
课堂教学设计说明
一、 激发参与，“经历”必不可少
教学场景再现：
师：今天吴老师和大家一起来学数学，这节课我们研究什么样的话题呢？
生：商不变的规律。（学生看着屏幕上的课题回答。）
师：听说过它吗？（学生自由回答后。）有听说过的，有没听说过的，不要紧，有什么问题吗？
生1：商为什么不变？
生2： 商不变有什么规律？
生3：商在什么情况下才能不变呢？
师：真好！你们刚才发问的这些问题都是这节课我们要研究的问题。商为什么不变？它怎么就不变了？中间有什么样的秘密和规律？这正是我们期待，我们就一起走近它，好吧？（边小结边在黑板上写下三个问号。）
师：我想请一个同学帮我记几个式子。你写式子的时候写大些，后面的同学和老师就看到了。我们的课就从这个故事开始。（教师绘声绘色讲述花果山猴王分桃子的故事：6个桃子3个猴子分；60个桃子30个猴子分，600个桃子300个猴子分。黑板上的同学用算式进行记录，学生不由得笑了。）同学们笑了，小猴子笑了，老猴子也笑了，笑声过后总得有思考，我的问题是：谁的笑是聪明的一笑？为什么？
生：这些式子的商都是2。我们的笑是聪明的一笑。
师：猴王也是胜者呢！
生：对啊，不管怎样分都是2个。猴王就这样把小猴子耍了。
师：（微笑）在这组题中，你发现了什么？
生：结果都是2。
师：结果在除法里有自己的名字叫――商。这道题的商是2，这道题的商也是2，那道题的商依然是2。（引答。）
师：我们就在思考：商不变是什么使然呢？被除数你怎么变，除数你又怎么变，商就不变呢？要想研究这样的一个规律，恐怕一组题――
生：有点不行，有特殊性。
师：再看一组（出示一次函数图像），你看到了什么？
生1：2、4、6、8只；10元、20元、30元、40元。
生2：我还看到了很多格子，像统计图一样。
生3：我还看到线条了。
师：这都是外衣，谁还看到这里有故事？
生4：我看到了买笔的事儿，2支笔10元钱，4支笔20元钱， 6支笔30元钱， 8支笔40元钱。
师：是你吧（抚摸着生1），你看到的是数和箭头，而这位同学在这里看到了买笔的故事，2支笔要10元钱，4支笔要20元钱，伸出手，一起感受一下：买6支笔要30元钱，买8支笔要――
生：买的笔越多，需要的钱数就越多，买的笔越少，钱数就越少！（边说边做手势。）
师：我喜欢你用体态语表达自己的理解。他跟你们只看到箭头的人不一样，他发现这两组数之间有点――
生1：故事。
生2：有联系。
师：你还发现了什么？
生：我还发现每支笔都是5元，因为10÷2=5元，20÷4=5元，30÷6=5元，40÷8=5元。（一生在黑板上记录上述算式。）
师：总有一些与众不同的人。这个女同学深刻，她睁开数学的眼睛看到了图里没有的事儿，那个5在哪儿呢？
生1：5是用除法算出来的。
生2： 5是商。
师：我想用一条斜线把它们连在一起，商5都落在哪里呢？
生3 ：斜线上。
师：我要买100支笔，这个点还落在斜线上吗？
10 000只呢？
生：还在斜线上。
师：每支笔还是5元，单价是没有发生改变的。单价就是商。但是数量和用的钱数呢？
生：买的数量越多钱就越多，买的数量越少钱就越少，但单价不变，都是5。
师：谢谢你。我们又写出了一组算式。这样一组商不变。这样一组商又不变。（指着板书中的两组算式） 选一组独立思考，被除数、除数发生了怎样的变化商不变？把你的发现标在算式上。（学生自主进行探索。）
由于认知经验不同，学生对新知的学习有一定的内隐性。吴老师通过猴王分桃子的故事，为学生提供了一个人人都能参与的问题情境，唤醒了学生的已有经验。借助学生写出的三个算式：6÷3=2、60÷30=2、600÷300=2，使学生的问题意识得以萌发，同时也让学生发现要研究被除数、除数怎么变，商才不变的规律，一组题目或许会有特殊性，说服力不强，从而积累了学生进行数学学习的经验和方法。
吴老师又适时地出示了一幅“钢笔支数与总价”的一次函数图像，鼓励学生：看看能从图中看到什么故事？在对话交流中让我们看到了“个性差异”“分层教学”“因材施教”的现实场景，体现了不同层次学生的读图能力。学生不仅读出了图中笔的支数和钱数的关系，还“睁开数学的眼睛，看到了图里没有的事情”――单价也就是商不变，它始终落斜线上！在吴老师充满感情的引导下，学生自主地把自己的想法化作了一系列商是5的除法算式。这种立足于学生数学活动经验积累的教学活动设计令人赞叹，既丰厚了探究的资源，又使学生亲历了思维碰撞、提升的过程，丰富了学生的体验，感受到情境中有数据，数据背后有规律，激发了学生强烈的探究欲望，同时为学生后续的数学学习做了孕伏。
二、 促进思考，“点拨”尤为重要
教学场景再现：
自主探索后，集体交流，生生相互质疑、释疑。
（6÷3=2、60÷30=2、600÷300=2组。）
生：大家猜出我们这样表示的意思了吗？
生1：第二个算式的被除数和除数都乘10，商不变。
生：猜对了。有补充的吗？
生2：不管后面添上多少个0，哪怕一亿个0，商也不变。
生3：从第一个式子到最后一个式子被除数和除数都乘100，商也不变。
（生不会评价，冷场后问：还有吗？）
师：就这事，如果是我，我会说，我们就想到乘10，乘10商不变了，我们还真没有想到乘100，乘100商也不变。我谢谢你给我们的补充。
生（不好意思了）：谢谢你的补充，让我们思考的多了、全面了。
师：这就叫对话，这就是欣赏。这组被除数乘10，除数也跟着乘10，商不变；被除数乘100，除数也跟着乘100，商也不变，大家看明白了吗？那下一组。
（10÷2=5，20÷4=5，30÷6=5。）
生1：第二个算式的除数是第一个算式的2倍，第一个算式的被除数乘2是第二个算式的被除数，商不变。也就是说如果被除数扩大几倍，除数也扩大相同的倍数，商不变。
生2：第一个算式和第三个算式比，被除数乘4，除数也乘4，商也不变。
生3：我发现相邻两个算式之间相乘的倍数是相同的。
生：这个补充有一定差别的，比如说，如果10不乘2的话，跳过去，也可以，你的话不严密。
生4：我补充，如果不相邻的话，如果隔一个算式，商也不变。比如10到120乘12，2也乘12，120÷24商还是5，商不变。
师：你用例子反驳他，是说不一定相邻，隔着几个，只要被除数和除数乘的数相同，商也是不变的。
生：这是我写的，谁看明白了？
生1：第一个式子被除数加10，除数加2，变成第二个式子，商也不变，是可以的。
生2：我补充：被除数加10，除数加2，就是表示的方式不一样而已。
生3：我觉得你的发现没有意义。
师：你用了一个没有意义真好。你是怎样想的？
生3：用加法来表示，加的数总在变化，没有规律。
师：他的意思我听懂了，这组题，那组题，几组题都要有共同的规律，才有意义。
生4：被除数加10，除数加2，就相当于都乘2，商也不变。乘法和加法是有联系的，所以也是可以的。
师：你觉得用加法说好，还是用乘法说好？
“一切为了学生”是每一个教育工作者的追求，要真正做到并不容易。但是吴老师做到了，她用自己的教学行为诠释着对每一个孩子的关爱，使每一个孩子都能在她的课堂上得到满足，都能在学习的过程中有所收获。课堂上，吴老师善于制造、把握、激发思维矛盾，善于为学生创设交流的机会，慷慨地把时空让给学生，鼓励他们独立思考、发表自己的见解。由于学生观察、发现的角度不同，感受就不一样，如何依托学生个性化的感悟，促进学生数学化的思考？吴老师用实实在在的教学行为给了我们最好的解答――她总是捕捉细节，顺学而导。因此，吴老师在反馈时总是“用心良苦”，选取学生学习中的问题资源，让学生一层层暴露。吴老师从不轻易否定，也不轻易下结论，她在激起学生疑惑的同时，总是把数学的思想和数学的方法渗透其中，慢慢地等待，于是我们常常在学生争论与思辨中，聆听到了学生智慧被开启、数学素养在提升的生命成长的声音。
在上述教学情景中，她先抓住了学生互相评价中的“不严密”，把学生观察的视角从局限于相邻两个算式，拓展到可以跳跃的更宽泛的算式，提升了学生思考――只要被除数和除数乘的数相同，商就是不变的；她又捕捉到了“没意义”，在生生争辩中让学生明晰了观察变化时，要抓住题目中共同的规律，探索才有意义，同时又通过生生间的释疑，沟通了加法、乘法的关系，使学生的数学表达在变与不变、区别与联系中不断优化，学生的数学素养在交流、探索、辩论中得以提升，学生在解决矛盾的过程中感受着智力活动的快乐。可以说，智慧的吴老师带着智慧走进课堂，又在课堂中播种智慧、催生智慧。这样，学生学习的就不是书本上的文字，而是属于自己的、活生生的数学；收获的就不仅仅是知识、数学研究的方法，更是数学思想、数学思维的浸润和濡染！
三、 引导反思，“感悟”不可或缺
教学场景再现：
师：对商不变的规律有感觉了吗？有感觉的做一件事，举例子，举两个除法的例子，而且商不变。
生书写例子。（被除数、除数同时乘3、乘7、乘5、乘1 000。）
师：乘着乘着，问题就来了，课上写、课下也写；今天写、明天还写，具有这样规律式子写不写得完？
生：写不完。
师：那你有什么发现？写下来。
生1：我发现一辈子也写不完。
生2：你乘10，我也跟着乘10，商不变。
师：（转向生1），你在窗外说一辈子也写不完呢，这位同学已经推开了一扇窗，他说了你乘10，我也跟着乘10，商就怎么样？（不变，生1回答。）比你怎么样？他找到原因没？
生1：找到了。
师：他已经推窗往里去了。再看看第三位同学的发现。
生3：被除数乘几，除数乘以相同的数，商不变。
师：2号的想说些什么？
生2：3号同学说得更全面、更准确，范围更大了。
师：他总结的帽子戴在乘7、乘9的头上合适吗？戴在乘186的头上合适吗？
生2：合适。
师：你总结的帽子怎么样？
生：小了。
师：1号同学站在窗子外边喊呢，这样的式子一辈子也写不完呀！2号同学有了伟大的发现，推开了一扇窗，可是回头一看，发现了3号同学总结得更有概括性。
师：你能不能再简单地写出发现？
生：你乘a，我也乘a。
师：此处该有掌声！第一个孩子就在门外张望，不肯进来；第二个孩子把门推开了；而第三个孩子不仅推开了门，还为大家打开了一扇窗；而这个孩子（第四个孩子）发现了更加本质的东西。刚才的过程对你有没有些帮助？总结的时候要把你的、我的、他的发现都得概括进去。看看你的发现和几号一样。
如果说，数学是思维的体操，那么对学习的“反思”就是体操中的高级动作。学生经历了数学活动，获得了一些数学活动经验和数学思考，但往往是零散的、模糊的、浮于表面的，适时适度地引导学生进行反思，可以使之条理化、清晰化、系统化，这样才能对以后类似的学习有指导作用。吴老师在本课结束的时候，结合学生的对规律概括的个性化表达，以“在门外张望，不肯进来”“把门推开了”“不仅推开了门，还为大家打开了一扇窗”“而这个孩子发现了更加本质的东西”，引导学生反思自己的思维方向是否正确，思维处于什么水平，是否抓住了事物的本质和规律，促使学生在观察、倾听、思考、交流中，不断地对自身的数学活动经验进行反思、修正、改进，使自身的数学学习经验去伪存真、由表及里、由此及彼地向着更优化发展。这样，学生学习的就不是书本上的文字，而是属于自己的、活生生的数学；收获的就不仅仅是知识、数学研究的方法，更是数学思想、数学思维的浸润和濡染！
[关键词]商的变化规律 探究 时间和空间
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-068
课程标准明确指出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。然而，仍有不少教师在课堂教学中，轻过程、重结果，忽视知识的形成过程，忽略学生对新知的认知过程，让学生机械重复地去做习题，与新课程教学理念背道而驰。如何让学生有足够的探究时间与空间，真正经历数学学习的探究历程？下面以“商的变化规律”一课为例，谈谈我的思考与实践。
一、激发学生探究欲望，让学生主动探究
学生学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。只有激发学生的探究欲望，激发学生挑战的斗志，激活学生的知识潜能与内驱力，才能促使学生去观察、去思考、去分析，自主探究的意识也就随之萌发与滋长。
【教学片段一】
课件出示：（54×■）÷（18×■）=？
20个0 20个0
师：谁能说出得数是几？（学生面露难色）
生1：等于2。
生2：可能等于3。
师：能说说为什么等于3吗？
生3：可以把它看成54÷18=3。
生4：可以从小数字开始研究，找找规律。
师：是不是等于3呢？和54÷18=3是不是有联系呢？学习了这节课的知识后你们就会明白其中的规律。
以“54÷18”为中心，把被除数和除数巧作变化，为新知的探索创设了学习情境，有利于激发学生探究的欲望。长此以往、坚持不懈，学生就会形成持久的学习内驱力。
二、搭建学生探究平台，让学生成为探索者
教师在教学活动中要根据学生的心理特点，增设活动素材，为他们搭设一个开放的具有挑战性的探究平台，尽量多给学生一点思考的时间，多给学生一次展现自己的机会，多给学生一份探究的空间，使课堂教学活动真正成为学生自主学习和探索的天地。
【教学片段二】
1.课件出示：计算下面各题，你有什么发现？
（54×2）÷（18×2）= （54÷6）÷（18÷6）=
（54×3）÷（18×3）= （54÷9）÷（18÷9）=
（54×5）÷（18×5）= （54÷18）÷（18÷18）=
我的发现：
2.小组交流自己的计算结果与发现。
3.全班汇报。
生1：商都等于3。
生2：被除数54乘一个数，除数18也要乘一个数，商还是3。
生3：被除数54乘一个数，除数18也要乘同一个数，商还是3。
生4：除以也可以。
生5：右边被除数54除以一个数，除数18也要除以同一个数，商还是3。
生6：被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。
生7：被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
生8：被除数和除数都乘或除以一个相同的数，商不变。
师：说得真好，把掌声送给他们。
……
师：大家发现的这个规律真的正确吗？也许这个规律只适用于“54÷18”呢？我们要确认这个规律，还需要干什么？
生9：需要进一步验证其他的除法算式里是否也存在这样的规律。
师：谁能举几个例子来进行验证？
生10：（32×5）÷（8×5）=4，（32÷4）÷（8÷4）=4。（板书）
生11：（72×2）÷（9×2）=8，（72÷9）÷（9÷9）=8。（板书）
……
师：你们不但会发现规律，还能进一步验证规律。我也来举两个例子（54×0）÷（18×0）=0和（54÷0）÷（18÷0）=0（板书），好像商发生了变化，难道前面的规律错啦？
生12：除数不能等于0。
师：那刚才得出的规律还需加上一个什么条件？
生13：0除外。
生14：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
师：太完美了，把掌声送给她。
继续以“54÷18”为中心，把被除数和除数作出相应的系列变化，分为同乘和同除（以）两种情况，刻意地改变了教材里表格式填数的呈现方式，为学生提供了简洁、明了的探究材料，有利于学生观察和思考，学生精妙绝伦的回答就是最好的例证。只有为学生提供适合的、开放的、具有一定挑战性的探究平台，才能使学生有思索的空间，促使学生智慧火花的迸发。
三、分享学生探究成果，让学生体验成功
心理学研究表明：活动中成功的体验，会让学生产生积极学习并再次体验成功的需要。因此，给学生提供深入思考的机会，让学生拿研究得出的结论去解决学习中的疑惑，能使学生感悟到数学学习的价值所在，从而获得成功的快乐与喜悦。
【教学片段三】
师：回过头来看，（54×■）÷（18×■）等于多少呢？ 20个0 20个0
生1：等于3。（学生异口同声地回答，情绪高涨）
师：能说说为什么吗？（几乎全班学生都举起了手）
生2：被除数和除数都乘一个相同的数，可以看成“54÷18”来计算，等于3。
顺延“54÷18”这条主线，在引导学生观察，初步得出规律后，举例进行验证，任意更换相除两数和或乘或除以同一个数，为学生提供了更为深入思考的契机。当教师举出例子进行验证时，学生马上明白还缺少一个必要条件，从而完整地得出商不变的规律，并应用规律解决了课始的难题。当学生通过独立思考，经历了探索全过程，解决了新奇而富有挑战的数学问题后，就能从中体验到一种成功感，从而走向想探索、爱探索、乐探索的漫漫求知之路。
四、提升学生探究能力，让学生自主发展
探究能力，是一种综合的学习能力，是一种科学的精神，也是一种意识。在经历了一个完整的探究历程以后，需要师生一起回顾自己的探究历程，积累探究的基本策略与活动经验，总结探究的基本方法，不断提升学生的探究能力，从而促进学生的自主发展。
【教学片断四】
师：今天我们是怎样学习的？主要经历了哪几个步骤？
生1：我们开始遇到了困难，学会退，从小数字开始研究。
生2：我们通过举例、计算、观察、发现了规律。
生3：我们还验证了规律、应用了规律解决问题。
师生一起小结：
策略：遇到难――退，退回原点――容易
方法：举例――计算、观察――发现规律――验证规律――应用规律
师：这是非常好的一种探究学习的策略，大家可以在以后的学习中经常运用。
教学活动应是教师引导学生不断探究，获取新知的过程，要改变以往以教师为中心的教学方式，真正让学生成为学习的主人，多给他们探索、思考、交流的时间和空间，使学生乐于探索、敢于探索，从而深深爱上探索。
在小学数学学习内容中，存在着大量有关数的四则计算法则、运算定律与性质、计算公式等内容。这些内容既是现实世界数量关系和空间形式及其计算规律的概括与总结，又是有关计算过程具体实施细则的具体规定。在这里我们把这些内容统称为数学规则，将学生对这些内容的学习称之为数学规则的学习。由于数学规则反映的是几个数学概念之间的关系，因此他们的学习层次和复杂程度都高于概念学习。
学生对数学规则的掌握主要体现在以下几个方面。
一是理解数学规则的推导与总结过程，不仅懂得各个数学规则是怎样规定的，而且还懂得为什么要这样规定，以此明确数学规则规定的合理性和必要性；二是将总结出来的数学规则灵活运用到各种具体情境中去解决相应的问题，对于一些基本的数学规则（如四则计算法则、运算定律和计算公式等）其运用水平应达到比较熟练的程度；三是掌握不同数学规则之间的关系，明确它们之间的区别和联系。
二、小学数学规则学习的基本形式
数学规则学习和掌握的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间关系的理解又依赖于新规则与原有认知结构中有关知识的联系。由于新规则和原有认知结构中的关系可以分为下位关系、上位关系和并列关系三种，因此数学规则的学习也可以分为以下三种基本形式。
l．下位学习。
如果原有认知结构中有在概括层次上高于所学新规则的知识，那么新规则和原有认知结构中的有关知识就构成下位关系，利用这种关系获得数学规则的学习形式叫做下位学习。在下位学习中，新规则揭示的概念与概念之间的关系是从原有认知结构里概括层次较高的知识中分化出来的，新规则可以直接和原有认知结构中的有关数学知识发生联系，并直接纳入原有认知结构使其变得更加充实。很明显，在下位学习中新规则同原有认知结构相互作用的方式是同化，其学习过程主要是通过分化使有关数学认知结构充实、完善，并形成新的数学认知结构的过程。
根据所学数学规则与原有认知结构中有关数学知识之间的关系，又可以将下位学习具体划分为派生类属学习和相关类属学习两种不同形式。前者是指将要学习的新规则整合到原有认知结构的有关内容中去，新规则对原有知识只起支持或证实的作用，新规则通过新旧内容的相互作用而获得意义，原有认知结构不发生质的变化。如学生学习圆柱体的体积计算方法，由于他们在前面长方体的体积计算方法学习中已经知道了长方体的体积等于底面积乘以高，并且掌握了其计算公式V＝sh，所以学习时就可以将它作为前面已有计算方法的一种特例，通过派生类属学习的形式加以掌握。相关类属学习是指将要学习的新规则整合到原有认知结构中的有关内容中去，新旧内容整合的结果不但使新规则获得意义，并且原有认知结构被扩充或修改，使原有认知结构发生变化。如梯形面积计算公式虽然不能直接由平行四边形面积计算公式派生出来，但是它可以通过割补拼合转化成平行四边形，从而得出其面积计算公式s＝（a＋b）h÷2。很明显，梯形面积计算方法就可以通过相关类属学习的形式去掌握。
2．上位学习。
通过对原有认知结构中有关内容的归纳和综合，概括成新的数学规则的学习形式叫做上位学习。如根据长方体的体积计算公式V＝abh、正方体的体积计算公式V＝a3、圆柱的体积计算公式V＝πr2概括出计算公式V＝Sh的学习过程，就属于上位学习。上位学习所采用的思维方法主要是概括与综合，由于它主要通过归纳和综合原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构，因此上位学习必须具备两个基本条件：一是所学习的数学规则在概括层次上一定要高于原有认知结构中的已有知识；二是原有认知结构中一定要有可供归纳和概括的内容，即头脑里必须具有比新的数学规则层次低的相关内容。如要概括加法交换律a＋b＝b＋a时，学生头脑里必须有3＋5＝5＋3、25＋75＝75＋25、500＋400＝400＋500……可供概括的内容。
上位学习，在小学数学学习中有着非常广泛的运用，概括运算定律和运算性质、总结运算法则、建立概括层次较高的计算公式通常都要采用上位学习。由于小学数学教材内容在安排上反映为一种连续扩充和深化的过程，因此某些知识体系要通过多次的上位学习过程才能获得。如整数乘法的计算方法，乘数是一位数的乘法法则是表内乘法的扩充，乘数是两位数的乘法法则是乘数是一位数乘法法则的扩充。
从学习的认知方式来看，下位学习依靠的是同化，上位学习依靠的是顺应，它要通过改造原有认知结构才能获得新规则的意义，因此一般来讲，上位学习比下位学习困难。
3．并列学习。
利用所学数学规则与原有认知结构中有关知识的并列关系，通过类比而掌握数学规则的学习过程叫做并列学习。并列学习所采用的思维方法主要是类比，其关键在于寻找新规则与原有认知结构中有关法则、规律、性质的联系，在分析这种联系的基础上通过类比实现对新规则的理解和掌握。并列学习在小学数学学习中也有十分广泛的应用，许多数学规则学生都要通过这种学习方式去掌握，如学习分数的基本性质和比的基本性质，学生都要利用它们和除法商不变性质的联系通过类比去掌握。
我们说上位学习、下位学习和并列学习是三种不同的学习形式，这主要是为了讨论的方便，事实上它们之间并不是彼此孤立的，三者之间有着密切的联系，常常体现于同一数学规则的学习中，只是某些数学规则以下位学习为主，某些数学规则以上位学习或并列学习为主罢了。另外，在小学数学学习过程中常是先上位学习后下位学习，如运算法则一般都是先用上位学习从具体计算过程概括出法则，然后通过下位学习将法则运用于具体计算。在实际学习中，要注意根据具体情况灵活运用几种学习形式，从而促进数学规则的更好掌握。
三、小学生掌握数学规则的心理分析
纵观小学数学教材不难发现，四则运算法则是小学数学规则的主要内容，它的学习和掌握在数学规则学习中具有十分典型的意义。下面试以运算法则为例简要分析小学生掌握数学规则的心理过程。
运算法则是用文字表述的运算规定，它是在算理指导下对运算过程实施细则作出的具体规定，它所反映的是一种规范化的操作程序。心理学研究表明，小学生掌握运算法则通常要反映出以下心理过程。
1．从具体到抽象再到具体的过程。
小学生掌握运算法则通常都是以具体的计算为起点，通过一定数量习题的计算从中发现一些带规律性的计算方法或具有普遍适用性的运算程序，并将他们上升为运算法则，然后用概括出来的法则指导计算，由此将抽象的运算规定变成具体化的计算过程。这表明小学生掌握运算法则要经过由具体到抽象概括再到具体的心理发展过程。纵观整个小学数学教材，有关运算法则的内容基本上都是按照这种程序编排的。如乘数是两位数的乘法法时，教材先让学生计算24×13、212×34、132×32、214×23等题，通过这些习题的竖式计算，学生很快从中发现计算的操作程序，并从这些具有普遍意义的操作程序中概括出三条运算规定：①先用乘数个位上的数去乘
被乘数，得数的末位和乘数的个位对齐；②再用乘数十位上的数去乘被乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；③然后把两次乘得的数加起来。紧接着又用这种计算程序去进行大量的计算，从而使乘数是两位数的乘法法则变成具体的计算过程，完成学生对运算法则认识的第二次飞跃。
根据这一特点，我们在引导学生概括运算法则时要特别注意两点：一是先要安排一定数量的习题让学生计算，为运算法则的概括提供足够的依据，不要让学生仅根据个别习题的计算去概括法则，防止学生把运算法则变成缺乏感性认识的教条。二是概括运算法则时要重视其理的指导，不仅让学生知道法则是怎样规定的，而且还懂得为什么要这样规定，以此使学生明确运算法则规定的必要性和合理性，从而保证他们在后面的计算中自觉遵循运算法则的规定。
2．从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程。
心理学研究和教学实践都表明：学生学习新法则的初期，他们的思维活动总是按照法则规定的运算步骤一步一步展开的，每一个运算步骤都要在他们的思维过程中详尽地展现出来，如学生开始学数是小数的除法，计算10.44÷0.725（人教版义务教育六年制小学数学第九册第20页例5）时，他们的思维活动按照除数是小数的除法法则规定的程序通常要经过以下过程。
①将除数“0.725”的小数点向右移动三位变成整数“725”；
②被除数“10.44”的小数点也要向右移动三位；
③被除数“10.44小数部分的位数不够（怎么办）；
④在被除数的末尾添“0”补足，被除数变成整数“10440”；
⑤按照除数是整数的小数除法法则计算“10440÷725”。
当学生对运算法则有了正确的理解和比较熟练地掌握以后，在计算中就会逐步压缩运算过程中的某些中间环节，省略和简化其思维过程。这时计算“10.44÷0.725”一类式题，就会将其思维过程压缩为两大步骤：①根据除法商不变性质将除数是小数的除法算式变成整数除法算式“10440÷725”；②根据除数是整数的小数除法法则计算“10440÷725”。
从上面的例子和论述我们不难发现，学生学习运算法则初期展开的、详尽的思维过程实际上是一个充分认识、深刻理解法则的过程，开展是为了理解，以保证运算过程和结果的正确。但是，如果长期要求学生在计算中这样详尽地展开思维过程，对于培养他们的计算能力和思维能力是不利的。因此，当学生对所学运算法则有了正确的理解以后，教师应及时引导他们压缩和简化运算的思维活动，使其计算速度适当加快，确保学生的思维能力和计算能力得到有效发展。
3．从明确意识法则到完全不用意识法则的过程。
心理学研究表明，小学生运用运算法则进行笔算，开始时他们总是通过在头脑里明确意识法则的运算规定去进行计算的。即学生运用法则的初期，面对具体的计算任务，他们要靠在头脑里联想法则的运算规定才能计算，并且这种计算通常都是按法则规定的运算步骤去一步一步的展开的，甚至有时还伴有对法则运算规定的默默念颂。如一年级学生刚开始学习笔算加法，列竖式时他们要联想“相同数位对齐”的运算规定，计算时要联想“从个位加起”和“个位满十向十位进1”两条运算规定才能完成计算任务。否则，其计算过程就会因为缺乏操作的依据而无法进行。当学生对运算法则掌握得比较熟练以后，计算时就完全不用意识法则了，面对具体的算式，学生无需去联想法则的运算规定就能直接进行计算，整个计算过程完全变成了一种自动化的演算过程。如学生对加法法则有了比较熟练的掌握以后，计算时他们根本不用去联想三条规定，而是直接连通计算任务和计算过程得出计算结果。
学生掌握运算法则的这一心理特点给我们一个重要启示：在四则计算教学中，一方面注意要求学生在学习初期按照法则的规定进行计算，以保证运算过程的规范性和计算结果的正确性；另一方面，随着学习过程的不断深入，要注意引导学生逐步减少对法则的依赖，使计算逐渐过渡不用去联想法则的运算规定就能直接计算的水平，以此促进学生计算能力的迅速发展。
1．加强小数与整数的联系。由于小数与整数在计数形式、计算方法等许多方面联系非常紧密，所以教材注意在已学的整数有关知识的基础上，教学小数乘、除法的计算法则。如通过具体例子，着重说明小数乘、除法的计算法则与整数乘、除法基本一致，不同的主要是小数点的处理。讲整数乘法运算定律推广到小数时，指出对小数同样适用。由于突出了小数和整数的联系，很多内容就不需要完全当作新知识讲，可以引导学生把已学的整数知识迁移到小数中去，然后区分与整数不同的地方。这样既节省教学时间，又使学生易于掌握小数知识，还有利于培养学生迁移类推的能力。
2．改进应用题的编排，加强解题方法的教学。本册教材在应用题方面，先复习已学过的两步应用题和比较容易的三步应用题，在此基础上总结解答应用题的一般步骤，并适当扩大应用题的范围，出现一般的三步应用题以及有相遇关系的行程问题，进一步提高学生分析和解答应用题的能力。
3．加强动手操作，渗透数学思想方法，进一步发展学生的空间观念。加强实际操作是发展学生空间观念的有效途径。教材继续通过实际观察、制作、测量、拆拼等活动，使学生获得有关图形大孝特征的深刻印象，清楚地理解各种图形的面积计算公式的来源，能够根据所给的已知条件正确地计算有关图形的面积。
同时，教材注意在操作过程中渗透数学的思想方法，如数学变换思想，使学生把有关的图形知识很好地联系起来，促进新旧知识的转化，既可以帮助学生总结概括出计算公式，又可以发展空间观念，为以后进一步学习几何知识积累直观经验。
4．适当加强简易方程。简易方程属于代数知识。在小学数学中适当引入一些代数初步知识，有利于学生巩固和加深对已学过的知识的理解；可以使一些整数、分数、百分数的应用题（主要是逆思考的）化难为易，减轻学生学习负担，提高学生解题能力；有助于培养学生的抽象思维能力；有利于加强中小学数学的街接。下面就本册教材各单元的主要内容和编写意图作一简要介绍。
一、小数的乘法和除法（一）小数乘法这部分内容主要包括小数乘以整数和一个数乘以小数，积的近似值，连乘、乘加、乘减和整数乘法运算定律推广到小数。小数乘以整数和一个小数乘以小数，教材都是先讲意义，再讲计算方法。在教学小数乘法的计算方法时，先启发学生想怎样把小数乘法的计算转化成整数乘法，然后根据因数扩大倍数引起积的变化的规律过程，最后再引导学生分析积的小数位数与被乘数、乘数的小数位数的关系，帮助学生总结出小数乘法的计算法则。学生在做整数乘法时已经形成积总是大于被乘数的印象。学过小数乘法后，发现乘积有时比被乘数反而小，有些学生会产生困惑。
为此，教材在本节的最后引导学生把例题中的积和被乘数的大小进行比较，启发学生自己发现，积与被乘数的关系。这样可以使学生对小数乘法的意义认识得更清楚。在小数乘法中，求积的近似值，是在求小数的近似数的基础上进行教学的。教材通过实例说明在小数乘法中求积的近似值的方法。要根据实际需要确定保留一定的小数位数。教材中的练习题一般都注明得数要保留几位小数，但是也有些题目没有注明要求，而让学生根据实际情况确定，以培养学生运用所学的知识解决简单的实际问题的能力。小数的连乘、乘加、乘减是在整数四则运算顺序的基础上进行教学的。
教材首先复习整数的连乘、乘加、乘减的计算，然后再进一步说明小数的运算顺序同整数是一样的。接着通过一道例题教学小数连乘的计算方法。小数的乘加和乘减没有单设例题讲解，而是让学生在已有的知识的基础上类推的。整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用。这部分教材的安排同小数加减法基本相同，教学时要启发学生想怎样计算比较简便，应用了哪条乘法运算定律，以培养学生思维的逻辑性。此外，还要提醒学生，以后在做练习时能用简便运算的就要用简便运算。
（二）小数除法这部分内容主要包括小数除法的意义，除数是整数的小数除法，一个数除以小数，商的近似值，循环小数和简便计算。小数除法的意义是在整数除法的意义的基础上进行教学的。
教材首先是通过一组应用题，让学生直观地看到，小数除法的意义和整数除法的意义相同，也是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。然后，通过一道要求根据小数除法的意义写出小数除法计算式的商，使学生进一步熟悉小数除法的意义。小数除法的计算可以分两种情况：一种是除数是整数的，另一种是除数是小数的。由于除数是小数的除法计算要通过商不变的性质变化成除数是整数的小数除法来计算，所以除数是整数的小数除法是学习小数除法计算的基矗除数是整数的小数除法，教材先通过例题着重说明除数是整数的小数除法的计算步骤与整数除法基本相同，唯一不同的是解决小数点的位置问题。除数是小数的除法是小数除法教学的重点。教材通过一道例题着重说明如何把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法这一关键问题，再通过一道例题讲解被除数的小数位数比除数的小数位数少的情况。最后再引导学生根据上面两个例题总结概括出除数是小数的除法的计算法则。商的近似值的教学，由于前面已经教学过一个小数的近似数和求积的近似值，在这个基础上，教材通过一道计算题，让学生自己想象商的近似值。然后再帮助学生总结出取商的近似值的一般方法。取近似值的方法除了“四舍五入法”以外，还有“去尾法”和“进一法”。
这些方法在实际生活中也有一定用处。考虑到学生年龄较小，生活经验又少，对后两种方法不作为共同要求，只在练习题中安排了星号题，为学有余力的同学增加一点知识。循环小数这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。教材通过两道除法计算，使学生看到由于余数重复出现，商也重复出现，而且这样的重复是循环不断的。从而，引出循环小数的概念。循环节、纯循环小数和混循环小数等概念都是本册教材的选学内容。
二、整数、小数四则混合运算和应用题（一）整数、小数四则混合运算整数、小数四则混合运算是在学生已经掌握的整数四则混合运算和小数四则运算的基础上，对整数、小数四则混合运算进行概括、总结和提高。通过教学要使学生进一步掌握整数、小数四则混合运算顺序，学会使用中括号，能够正确地计算整数、小数四则混合运算式题。四则混合运算的顺序学生在前面已经学习过，但没有用第一级和第二级运算来叙述，本节教材通过例题明确提出第一级运算和第二级运算的概念，并在此基础上对四则混合运算的顺序进行了概括总结。为了提高学生灵活运用知识的能力，教学时，可以结合例题告诉学生，在计算混合运算式题时，为了提高学生灵活运用知识的能力，有时虽然整个题目不能每一步都用简便计算，但是有的步骤能用简便计算的，要尽量用简便计算。在列综合算式时怎样使用中括号，本册教材是在教学列综合算式解答文字题和应用题时引入的，以进一步提高学生列综合算式解答文字题和应用题的能力。学生在列综合算式解答三步应用题时，特别要注意括号的使用，如果有的学生直接列综合算式有困难，也可以让他们先分步列式，再改成列综合算式。
（二）应用题这一节主要包括两部分内容：前一部分是在已有知识的基础上总结解答应用题的一般方法和步骤，进一步扩展一般应用题的解题范围。后部分教学以反映两个物体运动为内容的相遇问题。通过教学，要使学生掌握解答应用题的一般方法和步骤，会列综合算式解答三步计算的应用题，初步掌握两个物体同时运动时速度、时间和路程之间的数量关系，会解答一些比较容易的行程应用题，进一步提高学生解答应用题的能力。解答应用题的一般方法和步骤，教材是在学生已有知识的基础上，通过解答一道应用题总结整理出来的。通过这样的归纳、整理和总结，便于学生较系统地掌握解答应用题的一般方法和步骤，提高学生的分析问题和解答问题的能力。
教学解答应用题的一般步骤时，可以按照教材提出的问题，依次引导学生思考和解答。关于应用题的检验，教材在原有检验方法的基础上，进一步介绍了第二种方法（把得数当作已知数，一步步逆推，看得数是否符合其中的一个已知条件）。由于这种检验应用题的方法比较难，要给学生讲解一下，同时还应向学生强调，检验是解答应用题的重要一步，既使题中没有要求检验，自己也要先检验，再写答案。归一、归总的三步应用题是在归一、归总的两步应用题的基础上教学的。
教材先通过复习题复习已学过的两步计算的归一题，然后通过改变其中的一个条件引出归一的三步应用题。之后，教材还在“做一做”中进一步提出：如果把复习题的问题改变该怎样解答？使学生明确在两步题的基础上，不仅可以通过改变条件把它变成三步题，而且还可以通过变化问题的问法把原来的两步题改为三步题，以加深学生对两步题与三步题的联系的理解。有关计划与实际完成数相比的应用题，在实际生产和生活中应用比较广泛，有必要让学生学习和了解。但是考虑到学生对这类问题接触不多，理解起来有一定的困难，因此教材专门安排了一个例题进行讲解，并在例题和练习题的选取上注意选取学生比较容易理解的和常见的数量关系。有关行程问题的应用题，这里以相遇问题为主，研究两个物体在运动中的速度、时间和路程之间的数量关系。两个物体运动的情况是多种多样的，有方向问题、出发地点问题，还有时间问题。学生要全部掌握这些是较困难的。
本册教材的重点是教学两个物体相向运动的应用题。其中又以“相遇求路程”和“相遇求时间”两种为主。学好两物体相向运动的相遇问题，关键是弄清每经过一个单位时间，两物体之间的距离变化。由于学生在这方面的生活经验较少，往往不易理解相向运动的变化特点，为此教材首先出现准备题，说明什么叫“相向而行”和“相遇”。然后再通过例题教学“相遇求路程”和“相遇求时间”的应用题。四步计算的应用题，大纲中规定不作共同要求，也不作考试内容。但考虑到教学这些应用题不仅可以复习、巩固已学过的应用题，而且还可以进一步提高学生分析解答应用题的能力。
因此，本册教材把这些应用题专门作为一段，安排在本单元的最后，供有条件的学校和班级选学。
三、多边形面积的计算为了使学生循序渐进地掌握各种多边形面积的计算方法，根据各种图形面积计算的内在联系和学习迁移的规律，本单元面积计算的教学顺序是：以长方形面积的计算为基础，从研究平行四边形的面积开始，引导学生把平行四边形转化为长方形来计算面积，然后再以平行四边形面积的计算为基础，推出三角形面积的计算方法。最后再引导学生运用迁移规律自己推导出梯形面积的计算公式。这样，不仅能使学生以简驭繁逐步掌握这些图形面积的计算方法，还渗透了数学的转化思想，培养了学生应用旧知识解决新问题的能力，既减轻了学生学习负担，又提高了质量。本单元在教学面积计算时，注意了以下几点：
【关键词】数学;中学;有理数;教学
一、先定符号 再求值
在进行有理数加减运算时,第一步确定和的符号,第二步再求加数的绝对值。
例1:计算(+32)+(-8)+(+68)+(-8).
分析:有理数的加法与小学的加法有较大的差异。进行有理数加减运算时要遵循“先定符号,再求值”。
解:原式=32-8+68+8
=100
二、结合相加
把互为相反数的数、整数与整数、小数与小数、分别结合相加)。
例2:(-0.5)-(-7)+(+2.75)-()-17+0.5
分析:题目中既有小数与小数、同分母的分数与分数相加,如果逐项相加,较为复杂,
如果结合相加,可以使运算较为简便.
解:原式=(-0.5)+7+2.75+-17+0.5
=[(-0.5)+0.5]+(7-17)+(2.75+)
=-10+3.5
=-6.5
三、同分母分数、同符号的两个数结合相加
例3 计算++-0.75++
分析:在有理数加减运算中,同分母分数、同符号的两个数、先结合进行计算,可以使运算简便.
解:原式=+
+=-20+10+4=-6.
四、便于通分的分数分别相加
例4计算.
分析:整体通分运算,复杂烦琐,运算量大,可将同分母或便于通分的分数分别相加,可以使问题化繁为简。
解:原式=+
==
五、合理拆分、重新组合
例5 计算-2010.3+(-2009.6)+4020+(-1.1)
分析:题目若直接计算,显然计算量较大。由-2010.3= -2010-0.3,-2009.6=-2009-0.6,-1.1=-1-0.6,这样化后发现,计算起来就简便了。
解:原式=-2010-0.3-2009-0.6+4020-1-0.1
=(-2010-2009+4020-1)+(-0.3-0.6-0.1)
=-1
六、巧用运算律,调整运算顺序
例6计算(-20)×.
分析:仔细观察题目可知:-20与-6的积恰好是括号中的分母的公倍数,则利用乘法分配律可以简化运算.
解:原式=(-20)×(-6)×+)=120×+)=110-100+90=100.
七、从外到内去括号
例7计算×[2.1×(3.2-6.8)+2.4]-0.48.
分析:按照有理数混合运算的顺序,有括号的应先计算括号内的算式,即去括号由里向外,但这样计算有时比较麻烦.经过观察本题可以发现:括号外的的分母3是括号内的2.1和2.4的约数,利用乘法分配律先进行计算可以使整个计算简捷明快.
解:原式=0.7×(3.2-6.8)+0.8-0.48 =0.7×(-3.6)+0.8-0.48=(-2.52-0.48)=-2.2.
八、巧用“1”在运算中的特点
例8计算+
分析:在有理数的运算中,常常会遇到互为倒数的两数之积为1,特别是在幂的运算中,为了进一步使运算简化,不但要结合幂的运算法则,而且要关注题目的特点,往往“1”起到较大的作用.
解:原式=
=(-1)+(-1)+1=1.
九、加减乘除混合运算 ,先算乘除后算加减
一个分数和一个小数相加减或一个分数和一个小数相乘除 ,可以将它们统一化为小数或统一化为分数,带分数相乘除时,应该首先把带分数化为假分数。
例9计算-7.8÷3.4÷3.4.
分析:观察题目可以发现:3.4与互为倒数,可将题目中除以3.4转化为乘以,然后再利用乘法分配律的逆运算,简化运算的过程..
解:原式=-7.8××=(-7.8+==-2.
有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的。有理数的混合运算的方法是:加、减混合运算统一为加法运算;乘除混合运算统一为乘法运算。能简便运算的尽量进行简便运算。
综上所述,在进行有理数的运算时,最重要的是练好基本功,这是一种数学功底,运算基本功可不是靠几条运算律就能做得到,必须经过长期的、刻苦的训练,并且在训练中还要注意动脑筋,寻找运算规律和技巧,不断总结经验。
参考文献
[1]华雪莹.有理数运算的多种技巧 [J]. 数学大世界:初中生数学辅导,2011(11).