分数的意义教学设计范文

分数的意义教学设计篇1

1．让学生看图和实物回答问题。

①把一个苹果平均分给两个小朋友，每个小朋友得到这个苹果的多少？

②把一张纸平均分给四位同学，每人分得这张纸的多少？

2．用分数表示下面各图的阴影部分。

（附图 {图}）

3．在下面图中，用阴影表示分数。

（附图 {图}）

4．7分米＝（ ）／（ ）米

3厘米＝（ ）／（ ）米

通过复习，引入新课，板书课题。

二、亲自实践，认识意义。

1．了解分数的产生。

让学生看问题：

①两个小朋友分一块糕点，平均每人分得多少？

②用1米长的尺子去量黑板的边沿，如果量得3米多一点，怎样用数量表示？

③让学生拿出长方形和正方形的纸片，用折纸的方法，分别折成表示1／2，2／3，1／4，3／4的 图形。

通过以上实践，小结：

把“一件东西”平均分成2，3，4……份，分数是表示其中一份或几份的数。

在此基础上，让学生看课本第52页第一段课文后，再小结：

人们在等分物体或在测量和计算中往往不能得到整数，为了正确地反映数量关系，常把1个单位（或单位 “1”）平均分成若干份，再用它的1份或几份来表示，这就产生了新的数——分数。

2．理解分数意义。

①突出“平均分”。

回顾前面的“复习旧知”与“教例”，指出“平均分”这一前提，增强学生的均分意识。

②明确单位“1”。

1）让学生看课本第52页与第53页列举的6个图，讨论各表示什么意义？

板书：每份是几分之几：1／2，1／3，1／5；

阴影或括号部分表示几分之几：2／3，3／4，5／8。

2）教师指出：从6个图形中可以看到，一块糕、一个圆、一条线段、一个长方形在没有等分前，都是一 个完整的单位，我们把它叫做单位“1”或整体“1”。

3）出示课本第53页的苹果图，提问：

这图把什么看作一个整体？

把这个整体平均分成几份？

一个苹果是这个整体的几分之几？

4）出示红旗图，提问：

这幅图是把什么看成一个整体？

把这个整体平均分成几份？

2面红旗是这个整体的几分之几？

5）教师小结：单位“1”具有以下“三性”：

A．概括性。它不仅可以表示一件东西、一个计量单位，也可以表示一个整体。如一堆苹果、一盒乒乓球 、一个班的学生等，所以单位1应加上引号。

B．可分性。即可以根据需要，把单位“1”平均分成几份。

C．相对性。即每个分数表示的部分与整体的关系是相对而言的。如把半块饼看成1／2，它的单位“1 ”就是一块饼。如把4块饼看成一个整体（单位“1”），那么一块饼就仅仅是其中的一部分（1／4）了。 必须注意，单位“1”要根据对象范围来确定。

③认识分数意义。

1）引导学生重看课本第52页与第53页的6个图，从第52页3个图中可看出，把单位“1”平均分 成若干份后（指着图解释“若干”的意思），只表示其中的一份的分数是（指着上述板书的第一排数）1／2 ，1／3，1／5；从第53页3个图中可看到，把单位“1”平均分若干份后，表示其中的几份，得到的分 数是（指着板书的第二排数）2／3，3／4，5／8。

2）小结：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

三、设计练习，巩固意义。

在完成书本上练习的基础上，教师设计下列几组练习，以加深学生对分数意义的理解。

1．下面各图用分数表示的阴影部分对不对，为什么？

（附图 {图}）

2．下面的说法对吗？为什么？

①把15支钢笔平均分成5份，每份占钢笔总数的1／3，是把钢笔总数看作整体“1”。

②把全班人数分成5个小组，4个小组是这个班的4／5，是把全班人数看作单位“1”。

3．说说下列题中把什么作为单位“1”，题中的分数各表示什么意义？

①1分米是1米的1／10。

②一堆煤有30吨，已运走了2／3。

③五年级甲班女同学人数占全班的3／5。

④玲玲看了一本书的1／5。

四、小结归纳，强化意义。

1．演示：教师在一个纸盒内放上6支粉笔，让学生分别从盒内拿出这些粉笔的1／2，1／3。接着， 使纸盒中增加到12支粉笔，又让学生从盒内分别拿出总数的1／2，1／4，1／3，2／3，3／4。在 此过程中，归纳出：首先要确定把多少支粉笔作为单位“1”，再平均分后取出所需的支数。

2．讨论：前面我们分了些什么？还可以分哪些东西和物体？

归纳出单 一个东西（一个水果，一块糕……）

位“1” 一个计量单位（1米，1吨……）

一个整体（一所学校，一项工程……）

分数的意义教学设计篇2

教学过程：

一、联系生活，理解单位“1”的含义

1.提问：（分别出示1支粉笔、1盒粉笔，板书数字“1”）1支粉笔和1盒粉笔都可以用自然数“1”来表示，但“1”所表示的具体意义的不同在哪儿？

2.游戏：教师说表示1个物体的“1”，学生说由许多这样的物体组成的1个整体的“1”。

①具体的物体：1块饼干、1个苹果、1个学生、1张练习纸、1小组学生、1本练习本。

小结：1本练习本我们既可以看作由多张纸组成的一个整体，也可以看作一堆练习本中的一个物体，看来一个物体与一个整体是相对而言的。

②计量单位：1厘米、1千克、1分钟。

3.揭示：现实世界中一个物体或者由若干个物体组成的整体或者像1厘米、1千克这样的一个计量单位，都可以看作 “1”。同样的“1”表示了不同的数量，是因为计量方法或单位的不同，数学家们给它们取了一个相同的名字――单位“1”。

4.儿歌：（课件：一只大饼一个梨，一吨稻谷一克米，一堆石子一群鸡，数量不一却称“1”，都是看作单位“1”。）读一读并说一说对单位“1”有什么新的认识？

【设计说明】认识单位“1”是抽象、概括分数意义的前提和基础，是本课教学的重点之一。用1支粉笔、1盒粉笔等直观感知的数学事实使概念的内涵具体、明晰，学生体会到单位“1”的多样与丰富，形象地渗透了“1”具有“元素”与“集合”两种不同的意义，自然数1的确定性和单位“1”的相对性得到了有机统一。

二、做“分数”，感悟分数的意义。

（一）经历“分数”产生的过程，感知分数的意义。

1.用一个物体或一个计量单位创造分数。

①引一引：（出示一张长方形纸和一条一分米长的线段）一张长方形的纸、一条一分米长的线段，都可以看作什么？

（将长方形的纸对折，把其中一份涂上阴影后打开）长方形是单位“1”，那阴影部分可以用哪个数来表示呢？这是什么数？

②试一试：你也能用用一张纸或一分米这些不同的单位“1”创造出一个分数吗？可以折、量、画，边做边思考，你是怎么做的，要注意些什么？

（学生动手折、量、分、画，创造不同分数。教师边巡视指导边选择后续教学需要的素材）

③比一比：（展示作品1： ）你用哪个单位“1”创造了几分之几？说一说创造的过程。你认为创造分数时要注意些什么？（展示作品2： ）这是 吗？为什么？

强调：平均分是创造分数的前提，先平均分，再表示分数。

提问：作品1的阴影部分是 ，那空白部分可以用哪个分数来表示？这个分数里有几个 ？

揭示：我们在创造分数时，把其中的1份称为分数单位。这里就是分数单位。

④想一想：（展示作品3和作品4： ）你创造了几分之几？是怎样创造的？这个分数的分数单位是什么？有几个这样的分数单位？另一部分可以用哪个分数表示？

用一张纸或一分米这样的单位“1”能创造出多少个不同分数？这些不同分数都是怎样得到的？

2.用一个整体创造分数。

⑤分一分：（课件出示： ）用圆圈把6个苹果圈起来表示什么意义？用这个单位“1” 能表示出不同的分数吗？你想表示几分之几？怎么表示的？

（根据学生的回答，课件分别呈现： ）

⑥说一说：表示的分数不同，但表示的方法是相同的。我们都是怎样做的？

【设计说明】通过对不同教学材料的操作“做分数”，学生能充分体验“分数”是先“分”（平均分）后“数”而产生的“数”，知道了“分数”首先是“平分物体（计量单位）的行为”，有完整、严格、具体的产生“过程”，不是一个静态抽象的数学“对象”，“过程”是其意义的本源，只有用数字符号来表示这个“过程”的结果时，“分数”才成了认识的“对象”。因此，“做分数”的过程是生成“分数意义”的过程，既是手段也是目的，是最直接、最有效、最数学化的教学。

（二）反思“分数”产生的过程，理解分数的意义。

1.猜想分数的产生过程，领悟分数的意义。

①拓展：（出示第一个分数）这个分数是怎样表示出来的呢？这个分数的分数单位是多少？它有几个这样的单位？

（学生结合具体的情境说 的创造过程）

小结：一张纸、一条线段、一盒棋子……都是单位“1”，不管单位“1”是谁，表示 这个分数的过程是完全相同的，都是把单位“1”平均分成b份，表示出其中的a份。这个分数的分数单位是 ，有a个 。

②概括：（出示第二个分数是 ）这个分数又是如何表示的呢？

【设计说明：让学生脱离具体的操作情境去猜想、反思、抽象、概括 和 两个分数产生的过程和意义，由具体可感的实际操作过渡到学生的心理操作，是借助于动作、图像的数学理解内隐为表象化的数学思考，“过程”意义得到了“压缩”，“对象”意义得到了“提炼”，有助于学生建构具有“过程”与“对象”两重属性的“分数”概念，其意义在丰富的、逐步抽象的心理表征的基础上得到了进一步凸现、提升与内化。】

2.初步了解分数表示具体数量的多样性和表示倍比关系的确定性。

①实践：你能用和两种棋子表示出分数 吗？谁来试一试？

（学生分别展示：

）

②思考：还能摆出多少个不同的 ？怎样摆，就一定能表示出分数 呢？为什么？

③解释：同样都是 为什么黑子个数不同呢？

小结：这些 有相同之处，表示的都是2份与3份的关系，也有不同之处，代表了不同的数量。这就是说，一个分数能表示不同的数量，但表示的关系是相同的，分数是不同和相同的统一。

【设计说明】分数是“过程”与“对象”的统一，又是“量”的多样性与“率”的确定性的统一，这是“分数”难以理解的缘由之一。通过数量不同的黑白棋子都能表示出同一个分数的直观操作与对比分析，不同的对应 “量”与相同的“率”的辩证关系具体形象，发展了学生对分数的理解，由“份数”的定义逐步向“商（比）”的定义过渡，突出了分数的本质是比率关系，为“分数与除法的关系”的学习做了“伏笔”。

三、反馈拓展，深化对分数意义的认识

1.分数“贴图”。

①看图写分数：课本第36页“练一练”。

②给福娃找家：在直线上画出表示每个福娃（分数）的点。

2.分数“博客”：说出每个分数所表示的意义。

①五年级一班三好学生占全班人数的 。

②中国用世界的 耕地养活了世界的 人口。

提问：中国耕地少，人口多，看到这两个对比强烈的数据你有什么感慨或建议？

3.分数“论坛”：图中黑、白棋子共12个，你能用分数表示下图中的黑棋子吗？

思考：为什么同样是4 个黑棋子，可以用三个不同的分数表示？你是怎样想的？你认为这三个分数之间有什么关系？

【设计说明】看图写分数，让意义的理解具体化、形象化；在数轴上找分数，借助于数形结合的方式，对分数做了直观的几何解释，加强了分数与数轴间的联系；说出句子中分数所表达的意义是概念在具体情境中的应用，准确地确定分数相应的单位“1”、说出对应的关系是学生学习分数应用题的基础，同时结合具体题材进行了适当的德育；同样的数量可以用不同的分数来表示，暗含了分数的基本性质，让学生看到了确定的数量和关系可以有不同的表示方式：分数单位不相同，对应的分数也不同，每个分数都有很多“替身”（等值的）也就是相同的数量，由于计量单位（标准）不同，计量的结果就不同。

四、 说收获，个性化表达对分数意义的认识（略）

分数的意义教学设计篇3

本人收集了与本节教学有关的大量课例，对其做了深入细致的整理和剖析，现选择其中若干比较典型的，有代表性的案例列举、评析如下：

设计一：教师引导学生先复习初中锐角三角函数在直角三角形中的定义，接着引导学生在直角坐标系中用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数。教师利用三角形相似原理来讲解终边上的点的位置的变化不影响比值的结果，从而简化表达式引出单位圆，利用终边与单位圆的交点坐标或比值来定义锐角三角函数，然后给出任意角三角函数的定义，然后讲定义域和应用。

评析：这种设计基本源自教材，是多数老师选择的概念引入方法，学生在老师的引导下可以顺利自然的得出概念，且用时不多，结构紧凑，可以为讲解定义的应用节省出较多时间。但学生会存在以下疑惑：1、为什么要研究任意角的三角函数？有何意义？2、为什么要在直角坐标系中研究锐角、任意角的三角函数定义？3、为什么可以从锐角三角函数的定义推广到任意角三角函数，三角函数是否符合函数的定义？这三个问题在此设计中未能体现和解决，导致学生不能很好的认识坐标法作用；不能充分利用已学的函数知识来分析和推广函数的定义；不能让学生认识到三角函数是为了解决和刻画现实生活中具有周期性现象的一种模型。并且让学生感觉始终是老师在强行牵着走，生硬的给出知识和概念。在本次课的目标是也有些偏差，重难点应该是概念的形成、认识过程，而不是概念的应用。这种设计对概念的理解、从实际应用出发去认识概念都未得到体现。

设计二：教师引导学生复习初中锐角三角函数定义，然后放在直角坐标系中研究，用终边上点的坐标表示锐角三角函数，然后推广到任意角三角函数的定义：为终边上的一点，（简称三角函数比值定义）。最后由简洁的思想得到单位圆，从而给出任意角三角函数另一定义:为终边与单位圆的交点，所以。（简称三角函数单位圆定义）

评析：这种设计沿袭的课改前原教材的设计意图，先给出的三角函数的比值定义，然后得到三角函数的单位圆定义。教师在引入概念时节省很多时间，为后面留下的时间。但这种设计除了包含设计一中不足外，还忽视的学生的认知过程，直接把知识灌输给学生，学生成了知识被动的接受者；并且未突出单位圆定义的作用，为后面利用圆的对称性来解决问题、画函数图像、分析函数性质都带来不便，且没有很好利用数形结合的思想来分析问题，可以说只传授的知识，没有培养能力。本人认为这种引入是不可取的。

设计三：教师通过摩天轮做圆周运动引入课题，引导学生利用数学中函数建模知识来分析这一生活中的周期现象。圆周上的一点的运动位置在数学中用坐标来刻画从而引入直角坐标系，需要分析之间关系，接着借助初中锐角三角函数的定义知识分析为锐角时四个量之间的关系。通过三角形相似原理分析P点的位置变化不影响三角函数值的大小，令引出锐角三角函数的单位圆定义。利用函数的定义来认识三个三角函数，任取的自变量都有唯一函数值与之对应，让学生发现为钝角、象限角、任意角都满足这个函数定义，从而推广到任意角三角函数。

评析：这种设计从生活中的实际问题出发，引导学生利用所学知识来解决生活问题，激发学生的兴趣，也让学生明白学习三角函数的必要性（刻画周期现象），让学生认识到坐标法的作用，利用所学函数的定义分析锐角三角函数的概念，从而推广到任意角。对概念的分析比较深刻，并且很好的解决的设计一、二中未能解决的问题。这种设计符合新课改的要求，符合学生的认知特点和思维方式，培养了学生数学的看待问题、分析问题、思考问题的能力。唯一遗憾的地方时对于抽象的提出的摩天轮问题没有时间给出函数解析式,但可以让学生做为思考题去做，这样子也做到首尾呼应了。

设计四：教师提问学生对所学过的任意角和弧度制印象深刻的知识是什么，对学生回答的角在（下接15页）（上接第9页）直角坐标系中具有周期性这个特点进行引入，提示学生终边上的点在做什么圆周运动，并让学生列举生活中的例子，从而引导学生利用函数知识研究周期现象。余下设计同设计三中后面部分。

评析：这种设计充分考虑的学生的认知特点和思维方式。从已学过的任意角在直角坐标系中具有周期性规律，角的转动引出圆周运动，用函数研究周期现象。设计者汤学生明白的学习三角函数作用，贴近生活，让学生温故知新，培养了学生数学的提出问题、分析问题、解决问题的能力，并且继承的设计三中的优点。是符合新课改的典范之作。值得商榷的地方是时间问题，引入时间大概为18分钟，是否过长？这节课的重难点是对概念的认识、理解，所以我认为合理。

在收集的案例中，也有老师采用直接给出三角函数概念的设计，这样的设计虽然“开门见山”，对本节概念的知识目标能落实，但与新课程所倡导的启发、探究、经历、体验理念想去甚远，而且从长远角度讲对学生全面提高素质的培养不利，我认为不值得提倡。并且得到以下教学启示：1、正确看待教材的作用，教学时以教材为主，但不要仅仅局限于教材，教师应该带着对作为科学的数学和作为教育任务的数学的认识，在学生的数学思维培养和发展上发挥积极作用。我们还要从认知过程的角度解决“教什么”问题，我们应当教概念概括过程，应当教理解，即要使学生会在具体背景中建构数学定义；应当教应用，即要使学生学会根据问题需要调动头脑中的知识；应当教发现和创造。2、从学生学生“学”的角度处理教材，教材是学生数学学习的载体，在学生数学思维活动中起着重要的导向作用，学生是课堂的主体教师对教材内容处理要兼顾学生的认知特点、思维方式。让学生学会数学的看待问题，思考问题和解决问题，注重培养学生的数学品质和数学能力。

参考文献：

章建跃，为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J]数学通报、2007、1

分数的意义教学设计篇4

在教学论和教学法著作中，对概念教学的过程一般都表述为：感知--理解--巩固--应用--系统化。这是从学生对概念的认识过程来理解数学概念教学过程的。

的确，数学概念的形成过程是一个由具体到抽象的过程，学生对于数学概念的认识和理解是一个从感性认识向理性认识过渡的过程。对于一个数学概念，学生要先认识其特殊、具体的形式，从具体、感性的认识逐步过渡到对概念的本质的认识。然后再运用概念解决问题，达到巩固和应用。但是对这个问题的理解和认识，不应该局限在某一节概念教学课上，也不应该孤立地看待教学过程的各个环节，而是应该用整体的观点，把一个（或一组）具有完整意义的概念作为一个整体，从整体上认识其形成的规律和教学中所应采取的对策，这就要求我们教师应从总体上把握教学目标，从整体上设计教学方法。下面结合“分数意义”的教学谈一 谈对这个问题的认识。

概念教学的目标要与小学数学教学的总目标一致，应该包括知识、能力、思想教育等几个方面的内容。但这并不是说在每一节课上都简单地考虑这几个方面的目标，面面俱到地完成各项要求，而是应该在具体设计教学目标时，要从总体上全面把握大纲中所规定的各项目标。具体的落实到某一部分内容的教学时，就要在整体思考的前提下，分清层次，逐项落实。“分数意义”这部分内容的教学，从总体上看，作为一个单元教学的内容，应该达到使学生建立准确的分数概念，培养学生比较、分析、抽象概括等逻辑思维能力，认识分数与整数、小数等知识的联系，以及对学生进行包括学习目的、实践的观点、学习的习惯等方面内容的思想品德教育等。这就较为充分地体现了教学目的的完整性和全面性。在对这一 单元教学内容进行研究和分析时，就要充分考虑这些教学目的，每一节课也都应该围绕这些总目标来设计。这些目标构成了一个相互联系、相互制约的整体。设计教学时，只有从总体上把握教学目标，才能使教学大纲中规定的总的教学目的得到落实。而具体一节课的教学目标既要服从于总体的目标，又应该具有一定的特殊性和差异性。要把总体设计的教学目标具体化，落实到每一节课之中，一节 课教学目标就应该是有所侧重，即应突出某一个方面的内容。在“分数意义”教学中，开始认识分数意义时，重点是使学生通过具体问题，从具体到抽象认识什么是分数，分数是来自于生活和生产实践的，以后逐步使学生运用分数概念分析解决问题，了解分数与其他数学知识之间的联系，逐步达到灵活地运用和系统化。

概念教学方法，一般来说要经过感知、理解、巩固、应用、系统化等几个不同的阶段。但这也并不是说每一节课都要经过这样几个阶段，而是要从学生形成数学概念全过程的整体上看应该经过这样几个阶段。因此在设计概念教学方法时，就要从整体上思考，按照学生形成数学概念的不同阶段设计不同的教学方法。从整体上保证学生经历建立数学概念的几个阶段，才能很好地完成概念教学的任务，实现概念教学的总体目标。在整体思考的前提下，要按照教学内容的进度，根据学生对具体概念的理解和掌握的情况，按照不同的层次，组织概念教学。一节课可能只是概念教学全过程中的一个或几个阶段。在具体的教学中，要把概念的全过程看作是一个整体，把学生对于概念的形成过程看作是一个连续的，但又相对独立的一些课堂学习内容组成的整体。按照这样一个思考，具体地设计一个单元的概念教学时，就要做到整体设计、重点突出、前后联系、逐步深入。

1．整体设计。就是把每一节课都看作是整个概念教学的一个组成部分，从整体上设计教学的内容和方法，保证概念教学的总体目标的实现。在“分数意义”教学中，总体的目标是使学生形成完整、系统的关于分数的概念。这应该包括对概念的初步理解，对概念的深入理解，对概念的进一步巩固，以及概念的系统化等几个环节。这些任务不可能在一节课里完成，在设计时要把这些任务科学地安排分散到各节课的教学中。如第一课的主要任务是引导学生在对具体事物感知的基础上，形成分数的概念，用恰当的语言概括出什么是分数，以及认识分数各部分名称。而分数概念的巩固、应用和系统化的任务则要安排在后面各节课中来完成。

2．重点突出。就是在每一节课中重点体现和落实概念教学中的一项或几项具体的任务。这是设计每一节课所必须考虑的问题。每一节课都有一个重点内容。

而在概念教学中，一节课的重点内容是什么，应该从这节课在整个概念教学的全过程中的地位而定。抓住这节课所要解决的主要问题，就使一节课真正成为学生掌握一个完整的数学概念的有机组成部分。在“分数意义”教学中，学生初步理解了分数的意义后，接下来的课就是要学生重点巩固所学的概念。那么教学的重点就是采用各种“变式”的问题，让学生在不同的情况下认识分数，并学会用分数的意义解释一个具体的数是不是分数，其含意是什么，能够完成“在直线上表示一个分数”；“5／6是（）个1/6，3个1/8是（）”等等诸如此类的问题。

3.前后联系。就是综合地考虑课与课之间的内在联系，保持各节课在内容和方法上的相互联系与协调一致。既保持每一节课的相对独立性，又使它们构成一 个概念教学的整体。教学中充分注意各节课之间的联系性，才能做到科学地设计和组织教学，避免不必要的重复，提高课堂教学效率。在“分数意义”教学中，概念的形成、巩固和系统化各个环节都是有着密切联系的。在认识一个分数的意义，了解分数与除法的关系时都与开始时学生对分数的正确、全面理解是分不开的。

分数的意义教学设计篇5

关键词： 高等数学； MATLAB； GUI编程； 教学辅助系统； 演示模块

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2017）05-64-04

Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching

demonstration system based on MATLAB GUI

Liu Bing1，2

（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）

Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.

Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module

0 引言

高等笛[1]课程一直是高等院校绝大多数专业的必修基础性课程。在传统的高等数学教学模式中，教师是教学活动的主体，教师对数学概念的定义与对相关定理及结论的推导会贯穿整个课堂教学。由于学生很少参与知识的形成过程，一直处于被动的学习状态，所以学生学习效果差。高等数学计算机辅助教学[2-6]是计算机技术与数学软件进入数学教学后出现的一种新型教学模式，此种教学模式将先进的计算机技术引入到数学教学过程中，借助于计算机技术将数学概念所蕴含的数学思想及其几何意义可视化、形象化，进而可实现教学内容的直观化、通俗化，改善教学效果，提高教学质量。

当前，在高等数学计算机辅助教学中，常用的开发工具主要有PowerPoint、Flash等。这些软件虽然都可以在不同程度上实现对高等数学教学内容的辅助教学作用[2-3]，但都存在比较明显的不足。例如，软件本身所具有的科学计算功能微乎其微；教学演示过程中无法做到对概念的准确与定量的描述，且它们的主要作用都体现在放映效果上，缺乏与操作人员的交互性。与这些软件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的数值计算与可视化功能的软件，它既能进行科学计算，又具有面向对象的图形技术与GUI功能[11-12]。利用该软件所提供GUI图形界面编程机制，可以使开发者轻松的设计与开发出自己所需的人机交互性良好的应用程序。近年来，伴随着MATLAB软件自身技术的不断进步及其在各领域的应用，出现了许多利用MATLAB GUI开发的高等数学辅助教学系统[4-6]。这些系统可以起到一定的教学辅助效果，但系统的演示效果单调、乏味，且对概念的演示较为肤浅，对学生的直观理解帮助很大。此外，系统的演示内容也较为单薄，对于高等数学中的一些重要知识点并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI编程，从高等数学课程的教学现状出发，依据高等数学课程中各重要数学概念的几何意义及其数学思想，开发出了一种针对于高等数学各个教学模块的辅助教学演示系统。与文献[4-6]中的系统相比，本系统交互性良好，系统的设计理念与设计原则均来源于教学实践，且演示内容全面，演示效果生动、深刻，能准确揭示出所演示概念的本质。

1 演示系统的设计与开发

在高等数学课程教学中，对各个重要数学概念的理解与掌握是最关键的。概念掌握了，与概念相关的其他教学内容，包括一些定理、推论等也就不难理解了。而对于概念的理解与掌握，最关键的是要借助于其具体的几何意义。基于此，本系统的演示对象主要针对的是高等数学课程中一些主要教学模块所包含的重要数学概念，而系统的设计依据与演示内容则为各个演示对象（即数学概念）的几何意义。

1.1 系统的演示内容

高等数学课程的教学内容繁多，本系统重点针对四大教学内容，分别是一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何和多元函数微分学。这四大教学内容中，每部分都包含许多重要的数学概念，有导数、微分、空间曲面及偏导数等等。整个演示系统共有17个教学演示模块，如图1所示。

1.2 系统主界面的设计

系统主界面的设计主要是菜单栏的设计。菜单栏选项与图1中系统各个教学演示模块是相对应的，其设计是通过MATLAB GUIDE所提供的菜单编辑器来实现的。系统主菜单共有6项，其中主要菜单项有4项，分别为一元函数微分学菜单项、一元函数积分学菜单项、空间解析几何菜单项和多元函数微分学菜单项。而对于每一个主菜单项，又会包含许多子菜单项，这些子菜单项即为最终要演示的具体对象。主界面设计完成后，运行效果如图2所示。

2 系统的演示效果

本系统的演示模块数量较多，由于篇幅所限，在此我们从空间解析几何和多元函数微分学两个主菜单中各选出一个演示模块，来对整个系统的教学演示效果加以说明。

2.1 “柱面的认识与绘制”教学模块的演示效果

“柱面的认识与绘制”教学演示模块从属于系统中的空间解析几何主菜单项。柱面是高等数学空间解析几何教学中的一类重要的空间几何图形，它有两类基本构成要素：一个是准线，一个是母线。教材中，重点学习的是准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。在传统的板书及PPT教学方式下，部分内容的难点在于，教师无法实现对任意给定的此类柱面的直观绘制，这又率寡生很难理解与认识此类空间几何图形。

运行本演示模块，可得如图3（a）所示界面。在界面的参数设置区中首先选择柱面类型，这里选择“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型，然后再输入准线函数表达式2*x^2+x-2（即准线在xoy面的表达式为y=2x2+x-2），单击“绘制图形”按钮，得到图3（b）所示界面。

由以上演示过程易见，该演示模块可实现对所学任意类型柱面的绘制。图3（b）实现了对“准线在xoy面，母线平行于z轴”类型柱面的绘制，通过改变选择的柱面类型并修改准线表达式，还可以绘制出其他类型的柱面。如图4，此时，绘制的为“准线在zoy面，母线平行于x轴”且准线表达式为的柱面。

2.2 二元函数偏导数的几何意义教学模块的演示效果

“二元函数偏导数的几何意义”教学演示模块从属于系统中的多元函数微分学主菜单项。偏导数是多元函数微分学教学内容中的核心概念，同时，也是学习与解决多元函数全微分、多元函数极值与最值等各类问题的基础。学习与掌握多元函数偏导数的概念关键是要去理解其几何意义。众所周知，多元函数偏导数的实质为一元函数的导数，因此，其几何意义仍为曲线在某点处切线的斜率。以二元函数z=f（x，y）为例，其在点（x0，y0）处对x偏导fx（x0，y0）的几何意义为曲面z=f（x，y）与平面y=y0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率；其在点（x0，y0）处对y偏导fy（x0，y0）的几何意义则为曲面z=f（x，y）与平面x=x0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））处切线的斜率。在传统的板书教学与PPT演示教学中，此部分教学内容的难点在于教师不能够灵活、直观、准确地绘制出任意所给定的二元函数z=f（x，y）所表示的曲面与相应平面的交线，这样，致使学生对于其几何意义的认识不直观、不深刻。

运行该模块，可得如图5（a）所示界面。在该界面中，当在参数设置区内输入二元函数的表达式f（x，y）及（x0，y0）点的具体值并选择求偏导的类型后，当点击“计算偏导”按钮，可以计算出输入的二元函数在输入点（x0，y0）处关于选定的偏导的类型的偏导数。之后，当点击“演示几何意义”按钮，可形象直观地绘制出相应计算出的偏导数的几何意义。例如，当输入的二元函数为2*x^2+x*y^2+x*y（即书面中的函数2x2+xy2+xy），x0为1，y0为1，选择求偏导类型为“对x求偏导”，点击“计算偏导”按钮，之后，点击“计算偏导”按钮，可形象直观地绘制出其几何意义，如图5（b）。

由图5（b）易见，该演示模块可实现对所输入的任意二元函数在任意点（x0，y0）处的偏导数。本例中，求得的f（x，y）在点（1，1）处对自变量x的偏导值fx（1，1）为6。除此以外，该演示模块最大的优势在于可以直观、生动的演示出fx（1，1）的几何意义。由图5（b），易知，该演示模块界面左侧的空间直角坐标系中可显示出此时曲面z=2x2+xy2+xy与平面y=1的交线；而与此同时，为了更直观的来理解fx（1，1）的几何意义，演示模块界面右侧，则将该交线从空间直角坐标系中分离出来，将其放置在平面y=1内部的平面直角坐标系（该坐标系横轴为x轴纵轴为z轴）内，此时该平面曲线在点（1，4）的切线（即图5（b）中右侧坐标系中红色的切线）的斜率即为fx（1，1）的几何意义。当然，通过改变偏导的类型，选择“对y求偏导”，也可以类似的获得f（x，y）在点（1，1）处对自变量y的偏导值fy（1，1）及其几何意义。

3 结束语

本文中所研发的基于MATLAB GUI的高等数学辅助教学演示系统，人机交互性良好，演示内容全面，演示手段丰富且演示效果生动、深刻，能准确的揭示出所演示数学概念的本质，因而，更能贴近于教学实践。从实践教学活动中的应用来看，学生对系统的交互性使用及其演示效果均较为满意。下一步，计划将高等数学中一些更为复杂的教学模块（包括多元函数积分学及级数等）引入到模块中来，从而实现对整个高等数学课程知识点的全覆盖。

参考文献（References）：

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[10] 张志涌，杨祖樱.MATLAB教程[M].北京航空航天大学出版社出版，2015.

[11] 罗华飞.MATLAB GUI设计学习手记[M].北京航空航天大学出版社出版，2014.

分数的意义教学设计篇6

[关键词]数学理解 理解性目标 理解性问题 理解性活动

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-053

数学理解是指主体在已有的认知水平的基础上，通过某种方式或途径获取新知识、思想方法、经验或体验的过程。教学设计旨在让学生知道所学知识的由来，把握所学内容的本质，体会新旧知识的联系，促进学生对知识进行迁移和创新。围绕目标与知识、教学策略等教学设计的核心要素，本文着重研究了促进学生数学理解的教学设计策略。

一、确定“理解性”目标，体现深刻理解数学本质的核心要点

“理解性”目标在这里主要指课时目标，以全面理解为总体导向，是教师在深刻理解数学知识的基础上，依据学生身心发展的实际水平，分解和细化课程目标和内容的具体体现。“理解性”目标包括以下问题：需要理解什么、如何理解和理解的程度。

1.深刻理解数学知识

教师要深刻理解教学内容，把握教学内容的数学本质，用“联系”的眼光看待数学知识，确定教学内容与哪些内容存在关联，揭示隐藏在知识背后的数学思想和数学方法，使数学知识成为一个有机的整体。

例如，教学“百分数”时，教师要能把握其数学本质――表示两个数的比。百分数与分数都表示一种倍数或比的关系，但百分数只能表示两个数之间比的关系，不能表示某个对象的具体大小。很多学生难以理解大于100%的百分数，这是因为他们还没有从抽象的角度去认识百分数。要让学生真正理解百分数的意义，教师必须帮助学生把生活经验转化为数学知识，借助几何直观促进学生理解百分数表示“两个量之间的关系”的含义。

2.定位好学生应达到的理解层次

“数学理解”是有层次的――工具性理解、关系性理解和创新性理解。工具性理解是只知是什么，不知为什么；关系性理解是不仅知道要做什么，而且知道为什么创新性理解是知其然并且知“新”的“所以然”。这也是在已有认知水平的基础上，对已有知识进行提高、推广和拓展。针对具体数学知识，我们从工具性理解、关系性理解和创新性理解等方面去剖析，定位好学生应达到的数学理解水平，设立合理的教学目标，预设学生应学会什么。

我在深刻理解百分数后，制定以下“理解性”目标：

1.工具性理解：感受百分数的作用，能正确读、写百分数。

2.关系性理解：借助几何直观理解百分数的意义，初步体会用百分数表示部分与整体的关系时，它通常小于或等于100%；表示两个独立数量的关系时，它可以大于100%；感受百分数与分数的联系和区别；能选择恰当的百分数运用于具体情境，或对具体情境中百分数应用的合理性作出评价。

3.创新性理解：迁移百分数的学习经验，探索千分数、十分数的含义和表示方法。

二、设计“理解性”问题，构成数学理解的动力支持

“理解性”问题应是直指数学本质，涵盖教学内容的关键和重点，需要学生深入思考的一个或多个问题。

1.在重难点处设计“理解性”问题

“理解性”问题往往都是围绕教学重点和难点设计的。例如，教学六年级“图形的放大与缩小”时，概念本质是所有对应边长的比相等。教师可设计以下“理解性”问题：“哪一种变化符合数学意义上的放大？为什么？数学意义上的放大指的是图形形状不变，形状为什么能保持不变呢？”第一个问题启发学生从观察现实生活中的放大与缩小到关注数学意义上的放大与缩小，引出研究的对象。第二个问题更具挑战性，直接驱动学生思考、计算、比较、交流，形成对图形放大的本质认识。

2.在关联处设计“理解性”问题

“理解性”问题的设计不能仅仅考虑一节课的内容，还要兼顾与之相关的知识之间的联系。如“平行四边形的面积计算”这一课是学生后续学习三角形、梯形、圆等平面图形面积计算的基础。对于这种具有强大生长力的教学内容，“理解性”问题的设计要偏重于学习方法的教学。因此，这节课的“理解性”问题可以设计为：“要求出平行四边形的面积，可以把平行四边形转化成什么图形？怎样转化？转化后又应该怎样推导面积公式？”这些问题的提出，有利于学生理解平行四边形面积公式的来龙去脉，感悟出转化的数学思想，为后续的学习打下坚实的基础。

3.在错误处设计“理解性”问题

学生出错率较高的地方，往往是学生的困惑之处，解决了问题，新知的理解也将得以实现。例如，教学“乘法分配律”时，学生常犯的错误是相同因数只乘一次，如（6+4）×24=6+4×24。若教师反复强调，学生又会出现如（6×4）×24=6×24×4×24这样的错误。这些问题都是由于学生不理解乘法分配律的真正含义导致的。在探索规律时，我重点提问：“为什么左边的算式只有一个24，右边的算式却有两个24呢？”有了前面生活实例的铺垫，学生很快就找到了答案：“左边是算10个班的跳绳数，右边算的是6个班的跳绳数加4个班的跳绳数。如果右边的6不乘24，那就变成6个班级数和4个班的跳绳数加，没有意义。”还有的学生用乘法的意义去比较：“6加4个24应该等于24加上4个24。”在这样的讨论中，学生真正理解了算式的内涵，加深了对乘法分配律具体算式的理解。

三、组织“理解性”活动，建构数学知识的意义

学生理解数学知识必须浸润在问题解决的过程之中。

1.组织抽象概括活动

数学教学应揭示知识的数学本质，这需要教师对具体内容进行深入探究，一层一层地追问，挖掘隐藏在数学事实背后的规律和思想。教学“角的度量”时，为让学生经历量角的探究过程，我出示了一些角，提问：“你能在量角器上找到一个与它同样大的角吗？这样就把全班的注意力都集中到找相同角上来，从而引导学生探索比较角的大小的方法。

2.组织知识连接活动

要促进学生从整体上认识和把握数学，需要教师科学地组织和加工教学素材，把学科知识结构与学生的思维结构整合起来。例如，教学“年、月、日”时，我截取学校“阳光体育”的画面，从讨论“这张照片是什么时间拍摄的”切入，引入年、月、日、时、分、秒，激活学生在学习“时、分、秒”时建构起来的经验储备；通过交流“看到了这个板书，你还想知道什么”，确定研究问题。由此，学生围绕问题开展观察、分类、交流等学习活动，完善认知结构。这样教学，把“年、月、日”的教学放到整个时间的系统框架中，与前面学习的“时、分、秒”进行有效对接，能让学生快速理解新知识。

3.组织变式应用活动

教学中，教师要遵循认知规律，通过改变问题情境、变换问题的条件或结论、转换问题的内容或形式，引导学生多角度、多方位、多层次地理思考问题。例如，教学“最大公因数”后，可进行如下变式应用：

只有理解才是真正的学习，理解是课堂教学的核心所在，是学生开展自主探究、进行数学实践活动的必要条件。践行基于“数学理解”的教学设计，给教师提供了一个理性思考和改进教学实践的新路径和新框架。

分数的意义教学设计篇7

关键词： APOS理论 职高数学概念课 《函数的概念》

一、引言

能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程被称为概念学习.数学是反映现实世界中空间形式和数量关系的学科，而数学概念是数学学科知识体系的基础，是数学知识本质属性的反映，是构建数学理论的基石.因此数学概念学习就成为数学学习的核心.数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式.它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性.在现实教学中，由于数学概念的抽象性与概括性，往往令很多学生头疼.实际上，中职学生原本数学基础比较薄弱，对那些抽象的数学概念难以理解，学习时更是困难重重.如何上好职高数学概念课，让学生理解掌握数学概念呢？本文就以一节概念课为例进行探讨.

二、APOS理论

20世纪90年代以后，建构主义的教育理论思潮迅速流行.其主要观点就是学生获取知识不是被动的，而是通过学习主体自主建构.APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，由美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）提出的，主要针对数学概念的学习，从数学心理学的角度将学生的心智建构分为四个阶段：action（操作）、process（过程）、object（对象）和schema（图式）.它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情境，从而建构他们自己的数学思想.

（一）操作（Action）阶段——引入概念.

操作阶段是学生理解概念的基础.通过操作感觉事物，感受概念的直观背景和概念间的联系，是感性认识阶段.

（二）过程（Process）阶段——概括概念.

教学中应充分发挥学生主体的能动性，通过前一阶段的操作活动进行思考，经历思维的内化过程，总结出概念的定义.

（三）对象（Object）阶段——分析概念的内涵与外延，揭示概念的关系.

通过对概念演化发展过程中资料的分析、抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象.

（四）图式（Scheme）阶段——深化学习.

学生不断调整自身已有的认知结构，通过同化和顺应建立新的平衡，形成新的知识图式.

APOS理论充分反映了个体认知数学概念的思维过程，揭示了数学概念学习的本质.对职高数学的概念教学具有极大的启发意义.

三、教学设计

（一）教学内容解析.

函数是贯穿整个中职数学课堂的主线之一，它所蕴涵的数学思想和方法渗透到科技和生活的各个领域，是现代数学的基础.函数的教与学使学生由初中形象思维向高中抽象逻辑思维转化，培养学生基本运算能力和解决实际问题能力.因此，在学生高中数学知识体系的构建上，本节课起到了至关重要的基石作用.

函数概念的教学要求利用集合的观点，对初中学过的函数知识进行再认识，拓展了函数概念的外延，丰富了其内涵.针对学生的实际认知水平，本课的教学基于建构主义的APOS理论，采用问题驱动的方式，利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念，从而使学生掌握知识和发展思维.

（二）教学重难点.

本课的重点确定为：函数的概念，函数的两要素，求函数的定义域.而对函数的概念及记号的理解，判断两个函数是否相同，这些内容作为本课的难点.

重难点突破：利用加油站计价器的动画导入函数的概念，让学生体会探究并发现两个变量之间的依赖关系，从集合的角度抽象出函数的概念.通过计价器的变化帮助学生理解函数的定义域，指导学生求出函数值.通过三个计价器的动画对比剖析，引导学生深入理解定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同要看这两个要素是否相同.

（三）教学目标解析.

通过生活中实例帮助学生建立函数的概念，理解函数的定义及函数符号的含义；使学生能用集合与对应的语言描述函数，深入理解函数的两个要素.通过从实例中抽象出函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力及数学思维能力；理解函数定义域的含义，会求函数的定义域，并能将函数的定义域用集合的方式表示出来；通过函数值的求解，培养学生的计算能力；认识函数的两要素，掌握判断两个函数是否相同的方法，培养学生对比分析问题的能力，学会抓住问题的关键.

教学过程中鼓励学生积极、主动地参与课堂教学的整个过程，感受数学严谨的逻辑推理过程，通过师生的课堂问答，帮助学生建立攻克难点的自信，发现探索新知的乐趣，获得成功的体验.

（四）教学过程设计.

依据APOS理论，本课的教学分成四个阶段：

1.操作阶段：创设情境，问题引导.

播放动画：3月初，小王开车来到中国石化加油站加油.请同学们仔细观察视频中加油计价器上数字的跳动.

回答下面四个问题：

（1）这个加油的变化过程中，有哪些量在变化，哪些没有变化？哪个量依附于哪个量在变化？

（2）请同学们计算，当加油量为15升，36升和48升时，计价器上显示的金额分别是多少？

（3）加油量是否一直在增大？写出加油量的变化范围.金额是否一直在增加？写出金额的变化范围.

设计意图：

问题（1）是让学生寻找加油过程中的两个变量，引导学生用已有的运动变化的观点抽象出函数概念.

问题（2）是引导学生求函数值，培养学生的计算能力.

问题（3）因为汽车油箱容积一定，所以加油到50升时就满了，油箱的容积决定了函数的定义域，加满油时金额也不会再上升，初步找出加油量与金额的变化范围，并用集合表示出来.

（4）如果把加油量看成x，把金额看成y，你能建立起x与y之间的关系吗？

由于前三个问题的铺垫，水到渠成，学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系，对于自变量x的取值范围，应加以强调.

通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动，学生对函数的概念有了感性认识.

2.过程阶段：对照引例，形成概念.

在上述例子中，我们可以发现，在汽车加油的变化过程中有两个变量：加油量x与金额y，因为油箱只有50升，即自变量x有它自己的取值范围：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x，按照8元/升的价格，都有唯一的金额y与之对应，我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系：y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f（x）.

设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将新的集合的观点描述的函数的概念，加入学生已有认知结构中.

3.对象阶段：概念剖析，巩固强化.

y=f（x）是函数概念的形式化的符号，x表示自变量，如例中的加油量，y是x的函数，如例中的金额，f表示对应法则，如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升，那么，不同的对应法则可以用不同的符号表示，如g（x），h（x），F（x）等，自变量x的取值范围叫做函数的定义域，如例中油箱的容积为50，D={x|0≤x≤50}.

定义域与对应法则称为函数的两个要素.

当x=x■时，函数y=f（x）对应的值y■叫做函数在点x■处的函数值，记作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函数的值域，如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.

基于学生对函数概念的初步认识，设计了3个例题.

例1.判断下列代数式哪些是函数，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

设计意图：前两小题学生能很快做出回答，分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识，认为3不是函数，因为没有变量x，而4是函数，因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义，强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解.从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.

例2.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

设计意图：强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中，定义域是由问题的实际意义所确定的，如油箱的容积为50，在用代数式表示的函数中，定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.

例3.设函数f（x）=■，试求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

设计意图：第一题由老师求解，后面三小题可由学生板演.

通过有关函数值的计算，培养学生的计算能力.

4.图式阶段：对比实例，深入解析.

观察三次加油的课件：

1.2014年3月初，小王车加油，油箱50升，单价8元/升.

2.2014年3月初，小张车加油，油箱35升，单价8元/升.

3.2014年1月初，小王车加油，油箱50升，单价7元/升.

问题1：观察1、2两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（定义域不同）

问题2：观察1、3两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（对应法则不同）

设计意图：回归到汽车加油问题中，改变加油量的最大值与单价，教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准：定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.

例4.指出下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函数的定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，而与表示函数所选用的字母无关.

设计意图：通过以上四个例题的分析求解，深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.

通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如指对函数、三角函数等）进行完善.

紧扣本节课的重难点，设计几道课堂练习题，帮助学生应用知识，强化训练.

1.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判断下列各组函数是否为同一函数：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后进行归纳小结，布置作业.

四、设计体会

APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析，真实反映了学生的心智建构过程，揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的，而是呈循环螺旋上升的趋势.基于APOS理论设计的本课的教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识上升到理性认识的过程.在函数的概念教学中，教师引导学生不断探索，相互交流，培养了学生解决实际问题的能力；引导学生自主实践，勇于发现，培养了学生的创新能力.

参考文献：

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[4]顾泠沅，鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海教育出版社.

[5]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）.高等教育出版社.

分数的意义教学设计篇8

活动本着“注重研讨、注重参与、注重交流、注重感悟、注重提高，促进垦区教师团队意识的进一步形成，促进垦区教师的专业水平和能力的进一步发展提高，提升垦区教师整体素质和教育教学能力”的宗旨，遵循“说讲（说课与讲课）结合，团队协作，共同提高”的原则，以管局为单位5人组成一个团队的形式参与，每个团队的5名选手，都要根据自己团队选中的做课内容，从说课、说导学案（或课件制作）设计、讲课、评课四方面准备，4位选手分别完成以上4项，第5位选手要现场点评其他团队的讲课，且每人所完成的项目要由抽签的方式确定，因此参加展示的选手对4个项目的每一项都要做充分地准备，才能使展示收到良好的效果.

此次活动根据垦区有部分学校应用学案导学法实施课堂教学的现状，设置了说学案设计一项，意在促进教师对导学案的意义、作用等作进一步研究，使之在实际教学中发挥良好的作用.在本次活动中牡丹江管局东部代表队“有理数的乘方”与宝泉岭管局局中代表队“角平分线的性质”两节课，团队老师的展示较为突出，其各环节的展示呈现了课堂教学教什么，课堂教师和学生又是怎样实施教与学的，说课与评课又说明了为什么要这么做，现将“有理数的乘方”呈现给大家，希望能给大家带来启发与思考.

今天我说课的题目是“有理数的乘方”第一课时，选自人教版七年级上册第一章第五节的内容.根据新课改理念，围绕努力实现“用好教材”，而不再是传统教学中的“教教材”，我将从七个方面逐一阐述我们对于本节课的教学设计：

一、教材地位与作用

有理数的运算是初等数学的基础，所以有理数这一章是整个初中数学的奠基石.乘方是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用.

基于对教材的理解和分析，结合新课标对本节课的要求，我们将本节课的教学重点确定为：有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；有理数乘方的运算；幂的符号法则.

二、学生情况分析

从知识基础方面来看，学生已经有了两个方面良好的基础，一是小学学过如何求一个正数的平方与立方，使学生能很好地理解乘方的意义和记法，实现知识的正迁移；二是学生刚学完有理数的乘法不久，具备良好的运算基础，对于准确理解有理数乘方的符号法则具有很重要的作用，缺点是从小养成了重结果、轻过程的习惯，基础知识不够扎实，计算准确性不够.对于（-3）2与-32这类型运算易混淆.因此本堂课的教学难点定位为：有理数乘方运算的符号法则.

三、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下四方面的教学目标：

知识技能：让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算.

数学思考：在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中类比的数学思想.

解决问题：通过经历探索有理数乘方意义的过程，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题. 在解决问题的过程中，提高学生分析问题的能力，体会与他人合作交流的重要性.

情感态度：通过回顾奥运夺金瞬间提升学生的爱国主义情怀.在经历发现问题、探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣、团体合作意识，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心.

四、课堂结构设计

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，为了体现以学生发展为本、遵循学生的认知规律、体现循序渐进与启发式的教学原则，在本课的课堂结构设计中，我具体设计了以下教学流程：

激动时刻摩拳擦掌沉着冷静来点儿机智火眼金睛归纳总结夜谭乘方课后作业

五、教法学法

本节课运用了导学案来进行教学，实现了将课堂还给学生，并且充分以学生的自主探究为主，教师的引导点拨为辅.

六、教学过程

【激动时刻】

1.2012年伦敦奥运会我国代表团获得38块金牌，位列奖牌榜第二名，小明知道这个消息后，要通知其他同学.小明先同时通知5名同学，这5名同学再分别同时通知（不重复的）5名同学，以此类推，每人再同时通知5个人.如果每同时通知5人共需1分钟，第10分钟里可以通知到多少名同学？请列出算式.

2.生活实际中我们还会遇到这样的计算：（课件展示动态列出）

我们发现算式太长，怎样用一个简略的书写形式表达这种几个相同因数的乘积呢？

设计意图：回顾奥运夺金瞬间首先提升了学生的爱国情怀，同时以此为背景创设问题，进而提出如何用简略的书写形式表达下列各式，以此引出本节课的课题——“有理数的乘方”.

【摩拳擦掌】

1.思考：正方形面积与边长a的关系？正方体体积与棱长a的关系？怎样用简略的形式表达？面积： = 体积： =

怎样读这个表达形式？每个数都表示什么意思？

2.类比：

设计意图：在小学原有的认识上递推出用乘方的形式表示出多个相同因数相乘的式子，体现出知识的延伸，并培养了学生通过类比的数学思想获得新知的方法.

3.猜想： 的结果？记作 ，怎样读？

在an表达式中，a叫什么？n叫什么？an叫什么？数学家们给出了好听的名字.请同学们打开书第41页，定义看一遍，齐读一遍.

设计意图：以猜想的方式字母表达的形式概述规律.

4.定义：求n个相同因数的 的运算叫乘方；乘方的结果叫做 ；在an中， 叫做底数，n叫做 .其中n是正整数.

注：一个数可以看作这个数本身的一次方.

例如：8就是 ，指数为1时可以省略不写.

设计意图：对有理数乘方的概念进行补充和规范.

【沉着冷静】

1.（课件）下列式子读作什么？表示什么意义？底数是什么？指数是什么？

2.请按下列要求写出乘方形式.

①底数是6，指数是4 ；②2个（x+y）相乘 ；

设计意图：习题1是已知式子说意义，而习题2是已知意义书写数学式子，是两个互逆的思维，其中③④是为了对分数和负数的乘方书写时需要括括号的检测.⑤⑥是为了体现出乘方的相反数的书写，这样的练习也是为了后面区分（-6）4与-64这类式子的意义做铺垫.对此题采取个人板演的方式检测，对有争议的问题先让板演者先自评，而后再采取他评的方式更正或补充.

【来点儿机智】

（课件）计算总结：阅读教材41页例2的解题过程，完成下题.

设计意图：环节1以小组讨论的形式进行，通过学生自己做练习、探索规律，获取乘方运算的符号法则.教师放手学生操作，把课堂还给学生，真正体现了学生的主体地位.在情感上让学生感受合作的重要性和作用，同时将课题的学习气氛带入一个高潮.

反馈：

【火眼金睛】

我来了，你认识我吗？不擦亮眼睛，我可会哭呦！（先独立思考，再小组合作）

说出下列式子的意义：

设计意图：此环节再次以小组讨论的形式进行，之所以强调先判断式子的意义而后计算，是因为我们认为只有准确了解式子的意义才能正确进行计算，为后续学习有理数的混合运算奠定基础.

【归纳总结】

设计意图：让学生把课堂教学中所获得的知识、情感与技能都尽快转化为学生的素质.

学完本课后，你有什么问题想问吗？

设计意图：疑问与联想往往是推动科学前进的原动力.

【夜谭乘方】

巴衣老爷说：“你能每天给我10元钱，一共给我20年吗？”阿凡提说：“尊敬的巴衣老爷，如果你能第一天给我1毛钱，第二天给我2毛钱，第三天给我4毛钱，以此类推，一直给20天，那我就答应你的要求。”巴衣老爷眼珠子一转说：“那好吧！”亲爱的同学们，你知道阿凡提和巴衣老爷谁得到的钱多吗？

设计意图：此环节的设定是对有理数乘方的活学活用，进而提升学生的数感，感受生活中的数学.并从中引申出做人的道理.

【课后作业】

1.必做题：教科书47页练习题第1题.

练习册：有理数乘方.

（2）1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？（列出式子，结果写成乘方形式.）

（3）珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8 848米.把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？

设计意图：针对学生的差异进行分层训练，既让学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的.

七、教学设计说明

本节课的教学设计以知识为载体、以培养学生的思维能力为着力点，力求在每一个环节上都能以学生为主体，让学生自己完成知识的探索，体会他们的工作是有意义、有科学性、有创造性的.努力创设提高能力、自主互动、激活思维的课堂氛围.