时间：2023-10-03 09:09:27
【教学目标】
1. 进一步理解“一个整体”“平均分”的意义，初步了解“比1大的分数”，能从多种角度理解分数。
2. 在观察、思考、迁移、拓展等数学活动中，借助几何直观和生活事例，培养合情推理能力，积累数学活动经验，体会数形结合、变中不变的数学思想方法。
3. 增强数学与生活的联系，进一步树立学习数学的自信心。
【教学过程】
一、唤醒经验
思考：看到课题“分数的再认识”，有什么想法吗？（突出对“再认识”的思考：已认识什么？再认识什么）
【设计意图】“分数的再认识”一课是学生在三年级学习了“分数的初步认识”后对分数意义的再一次深入认识。要突出“再认识”，首先就要先明确“已认识了什么”。
二、多元建构
（一）认识“一个整体”
谈话（出示8个苹果）：如果把它们装在一个袋子中，叫做1袋苹果；如果把它们放在一个盘子里，叫1盘苹果；如果把它们装在一个篮子中，叫1篮苹果。数学上常用一个“圆”把它们圈起来，表示它们是“一个整体”。（板书）
对比：同样是这个人，怎么所占的分数会不一样？
拓展：还可以把什么看作“一个整体”？
（二）平分100万的遗产
事例：老人的100万遗产要分给4个子女，怎么分公平？（平均分成4份，各取1份）
冲突：是这样分吗？（出示：把支票4等分的图片）使学生的认知产生冲突（这样分的话，支票就作废了）
思考：怎样平均分？（先把支票换成等价的人民币再平均分）
（三）还能平均分吗
出示：马小跳的图片。
冲突：还能往下平均分吗？引发学生产生第2次的认知冲突――一个人怎么能再往下分呢？
【设计意图】通过“平分100万的遗产”和“往下分马小跳”，以通俗的事例，引发学生的认知冲突。在交流中，逐渐地让学生明白其中的事理，感悟其中的分法――“先换再分”和“想象地分”，从而较好地突破已有数学认知经验所形成的局限性。
（四）分数的“接龙”
活动1：数轴上的分数接龙。
观察：这一小段用分数几分之几表示？
拓展：再多1份呢？可以是多少份？
活动2：面积模型中的分数接龙。（图1）
【设计意图】教学中，借助鲜活的生活事例及几何直观，让学生感受从“不平均分”到“平均分”，从“实际地分”到“想象地分”，从“1以内的分数”到“1以外的分数”等，立足于整个单元的教学内容，把多元的素材融为一体，合力从抽象的角度、度量的意义、除法的意义等方面建构起学生关于分数的数学认知结构。在冲突中变通、在类比中强化、在思考中深入，从而在“学会”中进一步达成“会学”。
三、应用拓展
感悟：在单位“1”的数量不确定的情况下，谁取出的多并不能确定。
猜想：要猜中“终极密码”的答案，最多猜几次就行？
课前，让学生进行热身游戏――猜“终极密码”，即先在纸上写在一个自然数（1～100之间），让学生猜一猜写的是几？根据学生猜测的答案，给出正确答案的范围，再继续猜，直到猜中为止。活动中，把学生每次猜的数字都板书在黑板上，并统计出到猜中时的次数。如，猜第一个数“37”共用了11次，猜第二个数“82”共用了8次。这时，回首课前的活动，让学生展开思考：“要猜中终级密码，最多猜几次呢？”让学生展开猜想：11次、20次、99次等。
验证：借助面积模型的不断二等分，体会最多8次的道理。
第一个数先猜是不是50（对半），这时就把1～100分成了两个“阵营”，要么答案在1～50之间，要么答案在50～100之间，两种情况必居其一，最多剩50种不同情况；接着再对半猜，如果答案在1～50之间，就猜是不是25，这时就又把1～50分成了两个“阵营”，要么答案在1～25之间，要么答案在25～50之间，两种情况必居其一，最多剩25种情况；再对半地猜，最多剩13种情况……以此类推。这时借助正方形的面积模型（图2），以“数形结合”的方式，帮助学生建立方法模型。
【设计意图】教学中，安排了2个层次的应用对比。从“不同分数的取”到“相同分数的取”，丰富学生关于“分数”的认知。刚开始是不同分数的取球，因为对应箱子也有大有小，拓宽学生表达的空间，在交流中增进学生数学理性思维的培养；接着便是不同对象的同一分数的捐款，学生便直通知识内核“不一定”，并说明理由。最后，在再认识“终极密码”数学游戏中，从“不确定次数”到“可确定次数”，把“数”与“形”有机地结合起来。
四、回顾升华
回顾：这节课，我们关于“分数”有了哪些新的认识？
感悟：你觉得“分数”怎么样？
【设计意图】通过回顾和感悟，一方面进一步把零散的知识串起来形成一个有机整体――核心是“把谁平均分”。另一方面，对以往的“平均分”做一次理性的认知和飞跃：从分实物到分数量，到“先换再分”，到“想象地分”，到线段上的平均分以及平面图形中的多次平均分。在回顾中进一步感悟知识，在交流对分数的感觉时，增强学生对数学学习的喜爱和学好数学的信心。
关键词：数学；知识来源；探索；思维能力
中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）11-0268-02
新课程标准强调：数学教学不仅要重视教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程， 探索知识形成的来源，让学生参与数学知识的发生过程，发展探索性能力，感受"数学家"创造性的愉悦，从而有效地调动起学生学习的积极性，并最终形成学生独立分析问题、解决问题的能力，培养学生探索性思维能力。
著名美国心理学家奥苏贝尔指出"学生认知结构是以教材的知识结构转化而来的。"学生数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构在一定条件下，经学习过程而相互作用的产物。它的形成，须经过一定的学习过程。这个学习过程是新知识同原有认知结构的有关知识经过"同化"或"调整"， 不断形成和发展新的数学认知结构的复杂过程。因此，教学中，我们要立足于教材，对教材进行剖析，加工，重新组织，形成相对完善的知识结构的认知过程，并在这个过程中，既考虑数学知识的科学性，又考虑学生的可接受性，进而，充分再现概念的形成过程，再现定理、公式的发现推证过程、展示例习题的分析解决过程，经过探索知识的来源，努力提高学习的数学思维水平和认知能力，优化学生的数学认知结构。
1.再现概念的形成之源，培养学生的探索性思维能力
传统的知识教学观认为，概念仅仅是思维的基础，因而在概念教学中，往往忽略概念及其定义的形成过程，教学中表现为压缩概念的形成过程，而现代教学观认为，概念既是思维的基础，又是思维的结果。在概念及其定义形成或产生之前，往往存在着生动活泼的思维过程，而这个过程恰恰是进行探索性思维能力的培养，促进素质全面发展的极好素材和契机。
感知概念来源于生活实践，从感知始。中学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，因此，概念教学必须联系实际，让学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。否则，感知贫乏将使概念的形成缺少形象思维的支持，学生便难于理解，只会机械记忆，不会理解运用。再现概念的形成之源， 这不仅使教学直观生动，又浮现了"数学家的思维过程"，使学生体会"数学家"的发现感，还发展了学生思维，促进学生认知结构的优化，培养了学生的探索性思维能力。
2.再现规律的发现推证之源，培养学生的探索性思维能力
数学教科书的编写，往往把其发展、证明思路的猜想、尝试、分析等都省略去，这时老师就要启发、引导学生去探索，分析当时前人是如何发现、创造的，来诱发学生的创造性。新课程标准认为，那些被压缩隐去的知识发生过程，往往是培养学生探索性思维能力的极好素材或途经。规律课教学应该让学生参与这样一段生动活泼，激趣的思维过程，应该贯彻"既教猜想结论，又教发现证明"的教学原则。
著名数学教育家斯托利亚曾高呼："我们必须先发现定理后再去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出证明。"因此，在教学中，应根据教材、学生等实际情况，积极创设探究情境，以充分再现规律的发现过程，证明思路的猜想过程，证明方法的尝试过程，使学生经历知识形成的过程，即提供从事数学活动的机会，让学生在自主探索与合作交流中体验成功喜悦或经验教训，进而形成学生完整合理的认知结构。
比如，"多边形内角和定理"的教学，可作如下设计：
（1）创设问题情境，激发探索欲望，教师：三角形的内角和是多少？四边形的内角和又是多少？后者用何种方法求得的？你能探求一下五边形的内角和吗？
（2）鼓励大胆猜想，指导发现方法。教师：从四边形、五边形内角和的探求方法中，能给你什么启发呢？学生：连对角线的方法转化为三角形。教师：你能否用列表法给出多边形内角和与它们的边数、化归为三角形的个数之间的关系？从中你发现什么规律？你猜一猜n边形内角和有何结论？
（3）再现思维过程，探索论证方法。教师：我们如何验证或推断上面猜想的结论呢？既然多边形问题可转化为三角形问题，那不同的转化方法，就可能产生不同的效果，上面我们是用从一顶点出发连对角线的方法来实现转化目标，还有其它方法吗？由三角形的构成条件知，在己知一边（多边形的边）的情况下，只需再另找一点即可构成三角形，实现转化目标，请问这点该如何定呢？你能给出一般性回答吗？学生：一点与多边形的位置关系有三种：点在多边形边上，点在多边形边内，点在多边形外，在边上又有两种情况：一是顶点，二是非顶点。教师：哪一种对获取证明最简洁？ 至此，教材中"在多边形内任取一点"的思维过程得以充分自然的再现。最后，师生共同完成定理的证明过程。
通过这样几个环节的教学，不仅使学生获得了知识，而且更重要的是有效地发展了学生的探索性思维能力。
再现规律的发现与推证过程，这样就大大丰富了学生的认识结构，使学生对规律知识的认识更清晰、稳定，运用更加灵活，使学生感受数学发现的愉悦，学数学的乐趣，提高学生分析、解决数学规律问题能力，促进学生探索思维能力的发展。
3.探索例题、习题的转化之源，培养学生的探索性思维能力
传统教学观认为，数学问题教学就是"题型+方法"的机械模式化的大运动量解题技能的训练，这种教学方式必将导致"题海"，造成学生"听懂但不会做"的现象，带来学生课业负担过重， 知识技能僵化，思维能力发展低层次的后果。新课标数学教学，数学问题解决是数学教学的核心， 学习数学的最终目的就是要学会用数学分析和解决实际问题。由于数学问题和现实问题大多是纷繁复杂，形式多变的，仅靠模式化的"解题套路"的训练是难以应付的，唯有教给学生解决问题的思考方法、策略，才是达到上述目的的最佳途径。这就是探究知识的转化之源。
一、 小学数学知识背景应来源于原始的现实
弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书指出：“数学化未必要从一种接近数学的现实开始，而应从一种我所说的原始的现实开始。”笔者认为原始的现实有三：一是数学知识的原始生活；二是数学发展的原始过程；三是儿童认知的原始世界。
1.小学数学知识背景来源于数学知识的原始生活
有了数学就有了数学化，而数学化又有横向数学化与纵向数学化之分，弗赖登塔尔是这样划分横向数学化与纵向数学化的：横向数学化把生活世界引向符号世界。符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地，这就是纵向数学化。弗赖登塔尔通过具体的例子解释了横向数学化与纵向数学化的区别。通过这些例子，我们可以清晰地看到一些数学概念和运算来源于我们原始的生活世界。比如：除法这一运算的原始背景之一就是减法：把一些物品分给一群人，可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直至分完或不能再分为止。这种来自生活的背景能最有效、最容易允许学生灵活地进行迁移，无论是一位数除以一位数还是多位数除以多位数，乃至分数除以整数，“减法”这种生活背景能够指导学生得到除法运算法则。
小学数学教育应广泛地依赖学生熟悉的原始生活，沿着人类数学发现的活动轨迹，从生活问题到数学问题，通过数学化，逐步让学生通过自己的努力去学获取数学知识。
2.小学数学知识背景来源于数学发展的原始过程
弗赖登塔尔在《数学教育再探》中指出：“新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平。他们被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，尽管是以一种修改的方式。”如果学生在教师指导下，重复人类的学习过程，那么他们更容易学会、借助和迁移这些知识。但让学生重复或复制人类发现和认识数学的全过程是不可能的，也没有这个必要。怎样处理两者的矛盾呢？波利亚给出了折中的建议，第一，在教一个概念时，应当让孩子重蹈人类思维发展中的那些关键性步子。第二，孩子重复人类的学习过程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定前人就知道我们现在所知的东西，那么他们会怎样做。
姜荣富老师在《让孩子重蹈人类思维发展中的关键步子》一文中有这样一个教学片段“新计数单位是怎样产生的？”教学主要内容是：假如有0，1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字以后，如何表示更大的数？这里涉及到计数法、自然数记数的位值原则和十进制计数法。让学生学会像古人那样，满十进一，用位值原则来简单表示很大的数，这样的教学过程虽然只是让学生简单经历了数的发展的历史过程，但却让学生对数的概念有了更深层次的理解。
3.小学数学知识背景来源于学生认知的原始世界
小学数学教材编写时，尽可能考虑到数学知识的背景来源于儿童的现实生活，从而激发学生的学习兴趣。但我们要知道学生的现实生活不等于他们的原始世界。
在儿童的原始世界里，有童话故事、有魔法师和魔法棒，有着无穷无尽的想像力。如果一个儿童计算出0-1=1，0-2=00，0-3=000，你不要生气，这是一个最漂亮的错误，他比说不会做的学生更具有想像力。船上有13头牛6只羊，请问船长年龄多大？如果学生能算出船长的年龄，也不要见怪。可能此时这些学生正在愉快地笑着，因为他们已经发现了其中的秘密。儿童的原始世界里还包括他们对自己身体的感性认识，对儿童来说，所有学习尽可能从身体动作开始。让他们一边点着自己的手指一边数：“1-2-3-4-5-6-7-8-9-10”，他们会发现：“我有10个手指！”儿童也可以去数自己的脚趾，然后发现自己有10个脚趾头。手可以帮助儿童领会，脚可以帮助儿童理解。
小学数学知识的教学不能假借“现实”“有用”等借口过早干预儿童的学习，追求立竿见影、马上能用的实惠，而要把数学教得容易些，等待长大，让儿童学会他们该学到的正确思维方式。
二、 数学再创造依赖于丰富的数学知识背景
当教材和教师寻找数学知识的原始背景时，发现这些来源太多了，如何选择是摆在人们面前的一道难题。如果选择其中一个就会让背景变得过于狭隘，那么就不选择，要创设丰富的知识背景，让学生自己进行数学的再创造。教师已经知道这些背景里的数学知识，为什么不能把数学定义、法则和算法直接告诉学生，而让学生进行再创造呢？弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书中列出了三点理由：“第一，知识和能力，如果通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的。第三，它促进了将数学作为一种人类活动来体验的观念的形成。”从具体的课堂教学来看，数学的教与学也离不开丰富的数学知识背景，体现在以下几个方面：
1.数学概念的产生依赖于丰富的数学知识背景
我们知道，数学概念的产生离不开实践活动和对已知的概念、现象的再认识。教师应考虑把问题的起点退回到学生熟悉的知识背景，站在学生的角度想问题，让学生经历数学概念产生的过程。以教学分数为例，虽然每一个国家表示分数的词汇不同，但对于“分数”一词的解释基本一致，就是“被分割的数”。所以不同版本的小学数学教材在“分数的初步认识”中都设计了“分物”活动。华应龙老师在“分数的初步认识”教学过程中，用测量和分物两个背景引入分数，从测量这一背景引入分数，还能体现分数的另一意义――比，这一点值得我们思考与借鉴。在课堂教学中，如何读出■，华老师精心设计了“四份之三”这个新词，从“图形表征”到“数学语言”完美地解释了“四分之三”的含义，也让学生真正体会到“分数”这一概念的真实性。
2.数学活动的开展依赖于丰富的数学知识背景
数学知识不是一种静态的解释，而是一种动态的活动。比如加法和减法，9-5=4，静态的解释就是9-5与4相等，其他没有任何意义，但如果把它与相关背景联系起来，那背景就很丰富了。如：停车场有多少个位置，已停了多少汽车？离节日还有多少天？还有多少页没有读完？虽然我们可以一个一个把它们数出来，但我们能不能更聪明一些，通过它们的结构把它们算出来？虽然这些数学知识对老师来说是熟知的，但对于学生来说是新的，是一种再创造。学生通过自己的活动获得了新知识，是一件令人愉快的事情。
3.数学问题的解决依赖于丰富的数学知识背景
如果仅仅把一种来源作为数学知识的背景而忽视其他来源，那是一件非常遗憾的事情。解决该问题的办法就是让学生用所学到的数学知识去解决问题，这样就会出现许多应用题。以加法和减法为例，当学生遇到相关的应用题时，如果没有人告诉他如何解决，那他一定会想起加法和减法的含义而回到它们的来源。弗赖登塔尔指出：“算术的应用是因为有真正的同构。”学生从应用题“小明有5个玻璃球，又赢了3个，现在他有多少颗？”得到“5+3=8”。学生一旦从一些背景中学会了数学符号“5+3=8”的含义，即使脱离了任何背景，数学符号仍然有意义，因为它可以适用于任何背景：5天和3天、5千米和3千米、5环和3环、5次和3次……
4.创新思维的发展依赖于丰富的数学知识背景
在数学里学生学会了分类这一重要的思维方式，教师要求学生按照分类学或者等级进行分类。如把水果归为一类，如果有人把“苹果”这个词和“吃”这个词分为一类，把“小汽车”和“汽油”分为一类，肯定有许多人说他笨。其实仔细想想，这种分类方法很有道理，人吃苹果而汽车烧汽油，它是按照事物功能来分类的。弗赖登塔尔指出：“这并不是一个预先构造的而是一个等待构造的世界。”这种创新的分类方法对日常生活中问题的解决很有帮助，所以我们应该借助丰富的数学知识背景，鼓励学生进行创造性思维，这对学生将来的发展是大有益处的。
5.数学本质的体现依赖于丰富的数学知识背景
丰富的数学知识背景对于数学再创造是有些干扰的，背景越多对数学再创造的干扰可能就越大，但这正是数学再创造的魅力：从纷繁芜杂的背景中寻找最本质的信息，也就是数学的本质。负数教学就是一个很好的例子，张奠宙教授在《多多注意数学本质的揭示――剖析“用温度计引入负数”的优缺点》一文指出： “引入负数不能只用温度模型”、因为它不能完全体现负数的本质，更应通过“收入与支出、增加与减少、赢与输、温度的零上与零下、海拔的高与低、方向的向东与向西等”多种动态的背景，让学生理解“负数是一种相反意义的量”这一数学本质。
三、 理性看待数学知识背景迁移的双重作用
知识背景作为认识定势是认识的某种特定的趋向，具有双重性。一方面，知识背景的迁移有积极的作用，正是利用了知识背景的迁移作用，人的认知水平乃至人类文明才有了长足进步，从这个意义上讲，知识背景的迁移作用是一种极为宝贵的精神财富，是构成人的认识能力的最主要的成分。另一方面，知识背景的迁移有其消极的作用，人们完全凭借固定的思维过程去认识事物，极力将一切都纳入已有的认识框架中去，拒绝根据客观实际和实践需要对原有的模式做出任何调整。所以在教学过程中，我们要理性看待数学知识背景迁移的作用，善于利用它的积极作用，及时纠正消极作用对学生认知的干扰。
我们已经知道：当a，b是自然数，且b≠0时，除法算式a÷b表示两种意义：
（1）可以表示a是b的几倍或几分之几。
（2）可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。
知识背景作为认识结构是一种动态的结构，它不断地把接受来的信息转换成自身结构的一部分，当学生遇到■=■时，他们肯定认为这个除法算式仍然具有上述两种意义，事实也是这样。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形，二是除数是分数的情形。第一种情形最容易理解，比如：如何计算■÷2，学生根据整数除法的理解，就是求■的一半是多少？借助几何直观，探索得到两种不同的算法：■÷2=■=■；■÷2=■×■=■。进一步研究得到，第一种方法不能普遍适用，第二种方法则能普遍适用。再考虑除数是分数的情形，则有多种思考角度，如1■÷■，第一种考虑，因为1■>■，所以就考虑1■是■的多少倍。第二种考虑，求一个数，使得它的■是1■。无论哪一种考虑，都是从整数除以整数的意义迁移到分数除以分数的意义，从而得到分数除以分数的算法。由此可见，知识背景的迁移在学习新知识方面起了关键性作用。
当然，知识背景的迁移并不是总起着积极的作用，盲目运用知识背景的迁移有时也会导致错误的发生。有这样一个典型的基本比例问题：4千克苹果价值32元。7千克苹果价值多少元？有的学生直接写出比例■=■。当学生遇到下面问题：7工人在28天内完成某件工作。5个工人要几天才能完成此工作？学生断定这也是比例问题，并写出：■=■，求得x=20。很显然这个答案是错误的，学生发生这样的错误是因为他们没有真正理解知识背景的结构，根据问题背景表面的相似性得到了错误的推广。教师面对这样的错误应该理性看待，不能直接否定学生的想法，要适时引导学生进行反思，如果7个工人在28天内完成这件工作，工人少了，却在更少的时间内完成该工作。这样的答案合理吗？引导学生反思，让学生意识到当旧的知识背景实在无法容纳新的问题时，应适当地改变认识定势，以便完成认识结构的重建与完善。
赵
教学内容：
人教版义务教育教科书数学二年级下册第75页例1。
教材分析：
第一学段出现的整数认识的教学有三次：一是一年级上册中学习20以内各数的认识；二是一年级下册第四单元将认识数的范围由20以内扩展到100 以内；三是二年级下册认识万以内的数。教材将万以内数的认识分为两段，先教学认识1000以内的数，再教学认识10000以内的数。所以《1000以内数的认识》是在学生已经学习了“20以内数的认识”、“100以内数的认识”的基础上，是学生对100以内数的认识的延伸和扩展，而且也为10000以内数的认识提供了学习的方法，为更大数的学习提供了学习经验。
学情分析：
二年级的学生，在生活中或多或少听说过或接触过比100大的数，所以对1000以内数的认识是有一定的基础的，但对于数的概念的建立比较模糊，在他们的脑海里没有数感。通过课前的调查，发现学生会按照100以内的数数方法数1000以内的数，有不错的数数能力，但“拐弯处”的数数对于大部分学生来说还是有一定的困难。为突破重难点，关键要遵循儿童认识事物的一般规律，借助直观操作开展数数活动，从具体到抽象，积累数学活动经验。
教学目标：
1、能正确地数出1000以内的数；在数数中体验“千”产生的必要性，认识计数单位“千”。
2、通过数数活动，积累数学活动经验，进一步感受十进制思想和分类思想。
教学重点：
正确地数出1000以内的数。
教学难点：
1、体会计数单位“一、十、百、千”之间的“十进制”关系。
2、学会灵活用不同的计数单位数数。
教具准备：
计数器、课件等。
教学过程：
一、复习旧知，引入新知
1、复习100以内数的认识单元知识。
2、揭示课题，了解学情
问：对于1000以内的数的认识，你知道什么？
【设计意图：回忆100以内的数的知识点，唤醒学生对数的认识的学习经验，为后面的学习打下基础。】
二、动手操作，学习数数
（一） 数形结合，初步感受比100大的数
活动一：圈一圈，数一数
1、估一估，这里一共有多少个小正方体？
2、同桌合作数数；
3、组织汇报；
（1）学生代表汇报数数过程和结果；
（2）全班齐数，复习数数方法及感受数的组成；
师：先通过一个一个的数，发现一列有10个，是一个十。再通过一列一列地数（也就是10个10个地数），发现一排有100个。
最后发现：一共有1个百，9个十和2个一，合起来是192.
（3）一个一个地数，从192数到201。
重点提问：199添上1是多少，结合图说一说你是怎样知道？200添上1呢。
2个百是（200），2个百和1个一合起来是（201）。
（二）数形结合，体会以“百”为计数单位的必要性，引入计数单位“千”，初步感受一千。
活动二：数一数，说一说
1、估一估：一共有多少个小正方体；
2、数一数，说一说是数数的过程。
3、全班汇报交流数数方法。
①全班以百为计数单位，数一数。
问：9个百添上1个百是（ ）个百，10个百也就是（）。
②小结：一百一百的数，10个一百是（一千）。
（三）综合运用一个一个、十个十个、百个百个数的方法数出999，再次感受1000.
活动二：数一数一共多少个小正方体？
1、想一想，数一数：怎样数更快。
2、学生汇报。
（1）先一百一百的数出有900，再10个10个数出90，最后一个一个数出9,9个百，9个十和9个一合起来是999.
（2）一百一百的数，数到900，接着10个10个地数，数到990，接着一个一个地数，数到999.（录微课，没出现时播放）
3、提问：999添上1多少？你是怎样的知道的？能圈一圈，说一说吗？
（1）同桌讨论；
（2）代表汇报；
（四）回顾数数过程，初步建立计数单位模型，初步感受“十进制”。
1、结合数数过程，建立计数单位模型
2、在模型中，初步感受“十进制”
问：在刚刚从1数到10,10数到百，100数到1000的过程中，有没有发现什么相同的地方？
（五）看书质疑
三、拨珠数数，认识千位
（一）引入计数器，感受位值制，再次体会十进制
1、（1）说出下一个数是多少： 89 489 （计数器演示过程）
直接说出下一个数是多少：509 769
（2）说出下一个数是多少： 99（计数器演示过程）
599（学生借助计数器边拨边数）
直接说出下一个数是多少：399 899
（3）引入新数位“千”
问：刚刚在拨珠数数过程中，我们发现，每当数位上的珠子满了10颗，就要先前一个数位进一，那么999的下一个数是几，又应该怎样拨珠呢？你能试试看吗？
2、结合计数单位与计数器，感受数位与计数单位之间的关系
问：为什么数位上的珠子满了10颗就要向前一位进1？
四、感受一千，作业布置
1、做一做；
2、回家数出数量为1000的物品。
板书设计：
数数
1000以内数的认识 组成
······
一个一个地数，10个一是十
一十一十地数，10个十是一百
其次，从教材体系看，整个小学教材贯穿着两条红线，一条是数学知识（明线），另一条是数学思想（暗线），前者可以看作是战术性红线，后者可以看作是战略性红线，围绕战略性红线教学，才是数学教学取得成功的基本保证。有了数学思想，数学知识就不再成为孤立、零散的东西，数学方法也就不再是死板的教条，从而能从整体上把握数学教学。因此，加强对数学思想方法的研究，是数学教学改革的新视角。
再次，从发展趋势看，数学教学必须着眼于现代化，以适应国际数学教育发展及我国社会发展的需要。小学数学教学的现代化，通俗的讲就是数学思想、方法和语言的现代化，即把小学数学教学真正建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学教学的方法和语言。因此，加强数学思想方法研究，是现代科技和国际数学教育发展的必然结果。
小学数学思想方法如此重要，我认为应将以下几点应用到以后的教学中：
1 在教学设计时，有意识地体现数学思想方法
老师在使用教材时，要认真分析教材，对教材进行再创造，有意识地从教学目标的确定、教学过程的预设、教学效果的落实等方面来体现数学思想方法，实现对教材的再思考、再创造。如在人教版五年级下册《因数与倍数》中，由于自然数、奇数、偶数、质数、合数这些概念易混而且概念本身较为抽象，其中又蕴含多种数学思想方法。教师在教学设计时，就要有意识地挖掘教材隐性资源，适时渗透极限思想、类比思想、分类思想，让学生在具体的情境中通过数数感知自然数的个数是无限的，在活动中体验极限思想。通过类比思想的渗透，延伸到奇数、偶数、质数、合数的个数同样也是无限的，没有最大的。最后让学生在自主探究自然数的分类中，进一步加强对概念的理解与辨析，产生自觉的分类意识，让数学思想方法在数学课堂中得以自学地落实和体现。
2 在探究新知时，有意识地引导学生发现数学思想方法
在学习过程中，教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程，结合具体的情境，引导学生发现问题、提出问题，探究解决问题的策略，让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中，发现潜藏其中的思想方法，自觉地理清解题思路。教师要有意识地加以指导，归纳蕴含其中的数学思想方法，及时归纳、探究获取知识的方法，形成数学思想方法，实现知识的正迁移。如在《圆的面积》教学中，教师要有意识地运用化归思想、极限思想等方法组织教学。教师要创设情境让学生回忆已学平面图形面积公式的推导过程，唤起学生对以前探究方法的回忆与再认识，启发学生对转化思想的思考与运用。接着，引导学生合作交流，探究圆的面积公式推导的一般方法，实现其化归过程。最后，通过多媒体课件的展示，进一步感受极限思想，接受极限思想，自觉地应用极限思想，形成终身受用的数学思想方法。
3 在解决问题时，有意识地引导学生运用数学思想方法
渗透数学思想方法旨在使学生的数学思维经历从形象思维到抽象思维再到逻辑思维的发展过程，实现其质的变化，要让学生沿着“抽象”和“应用”两个方面进行渗透，将已学的思想方法转化为自己头脑中牢固的认知结构，并能在不断的归属同化中得以发展，提高学生运用数学思想方法解决实际问题的能力。所以，教学中教师要鼓励学生运用已学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题，引导学生加以抽象、概括，建立数学模型，探求解决问题的一般方法，培养学生自觉的应用意识。如：在探索发现规律时要用到类比、化归、转化等思想；在解决一些实际问题时，通常要用到数形结合思想，把题中给出的数量关系转化为图形，借助图形使复杂的数量关系形象化、直观化，拓宽学生的解题思路，促进学生创造性思维的发展，获得优化的解法，提高学生的解题能力。
【关键词】数学教学 高效课堂
小学数学教学的基本出发点就是促进学生全面、持续、和谐地发展。《数学课程标准》改变了传统的以知识教学为重点的教学目标设计，把数学教学目标确定为以下四个方面：知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度。让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和必要的应用技能，学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，了解数学价值，增强学习的信心，情感与态度得到和谐发展，这一切都要求我们彻底更新教学观念，打破旧的僵化的教学模式，让数学课堂充满活力，让学生的生命获得和谐发展，构建高效数学课堂。
一、深入研究教材，活化数学知识
数学知识显现在学生面前往往都是简约、精练的静态面目，学生接受理解起来感到枯燥，教师如果把静态的知识变成鲜活的内容，学生学起来则会兴致盎然。如分数的认识，教材表述为把1个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。几分之一内容有的教师概括为：把1个整体平均分成几份，让知识以鲜活的状态走进学生的学习生活，则会事半功倍，教师可以这样设计：前天，李浩同学过生日，爸爸妈妈为他订做了一个写着“生日快乐”的大蛋糕。（同时用幻灯或课件展示）李浩的爸爸把蛋糕平均分成了三份，取了一份给李浩，然后爸爸、妈妈分别取了一份，如果问你，他们每人吃了多少蛋糕？能说每人吃了一块吗？显然一块不能准确地表示出吃了多少，怎样表示呢？我们看这块蛋糕平均分成3份，每人吃了其中的一份就叫三分之一。然后，教师再在原来分成三份的图形上，再增加三条虚线，把每一份平均分成两份，这样就把整个蛋糕平均分成了6份，然后让学生自己做主分配蛋糕，并用分数表示出来。有的学生表示：虽然是给李浩过生日，但应让爸、妈先吃和多吃，三个人平均分不恰当，李浩应当吃六分之一，爸妈应吃六分之五。通过分数的认识增进了学生对家长的热爱，让课堂流淌着温馨的亲情，这时又产生了一个难题：两个人吃六分之五怎样吃呢？学生表示：把其中一份再平均分成两份，那么爸、妈每个人吃了多少蛋糕呢？思维的冲突碰撞不断地把学生的数学思考引向深层次，教师引导学生：刚才我们把蛋糕分成三份，再分成六份，现在还可以分成十二份，教师出示图形：让学生仔细分析每人吃了多少。李浩吃了原来六分之一，现在是十二分之二，爸、妈每人各吃了蛋糕的十二分之五。再比较分析李浩同学吃六分之一和十二分之二，哪个多哪个少呢？在学习分数的认识时，学生就初步认识到同样多的数量，可以用不同的分数形式来表示，那么，六分之一和十二分之二有什么区别呢？学生的思维受到全方位的训练，同时增加对数学学习的浓厚兴趣，情感态度和价值观也得到了和谐发展。
二、加强数学知识在现实生活中的应用，让知识充满活力
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容，应当是现实的、有趣的、富有挑战性的。”如果只局限于数字与符号的练习。学生并不感兴趣。教师必树立“大数学”教学观念，增加数学的应用意识，让学生感到学习内容的现实性，增加知识的活力。如学习了分数的认识，学生对分数的认识还需进一步深化，教师可以让学生找一找生活中的分数，有的学生发现班里51名同学，24名女同学，就说女同学占全班学生数的五十一分之二十四，同样又得出结论：男同学51-24=27占全班同学的五十一分之二十七。再如让学生把一张正方形的纸，折出四分之一，有沿平分对边折，有的沿对角线对折，准确地找出了四分之一。为了进一步巩固分数知识，让学生在黑板上分别画两条直线：一条绳子长2米，剪去1/2米，还剩多少？一条绳子长2米，剪去1/2，还剩多少？学生经过仔细分析、辨别，充分认识了1/2米和1/2，辨析了具体数量和分率。
三、培养学生的主动参与意识，尊重学生的主体地位
1 教师在教学中要创设“生活情境”
教师要充分利用学生已有的生活经验，根据学生的学习进度和特点，将身边的数学材料引进课堂。
例如，在教学“万以内的数”的认识时，让学生说出与日常生活密切相关的一些数及其作用，学生可能说出学号、鞋号、体重、身高等。这些内容的提出，对未来课堂中学习计算数学将有较大的影响，这种数的表达与交流的方法，对学生形成数的概念有很大的帮助。
认识分数是在学生掌握了一些整数知识的基础上进行的。这里分数是作为整体的一部分来认识的，这种认识与平均分的经验是分不开的。教学中可以创设一些学生所熟悉并感兴趣的现实情境，并通过动手操作，来帮助学生理解一些简单的分数的具体含义，使学生建立初步的分数概念。如从学生熟悉的一个简单的数学事实出发：一个苹果平均分给两个人，每人分到半个苹果，让学生讨论用什么方式来表示“一半”。在讨论过程中，学生认识到用1/2表示一半的优越性，体会学习分数的必要性。
讲解小数的初步认识，可以创设一个“买文具”的情境。学生在和大人一起购物时，看到过商品的标价牌，已经对小数有了初步的了解。教学时，教师要利用学生已有的经验，结合购物的情境初步认识生活中的小数，建立小数的概念。如通过创设“买文具”的情境，让学生在“买文具”活动中，将看到的文具标价牌上的小数改写成几元几角几分，再把几元几角几分改写为小数表示，通过这一过程，初步理解小数，建立小数的概念。
在教学小数大小的比较时，可以创设一个“去哪个文具店买铅笔盒便宜”的情境，学生结合自己的购物经验，交流比较两个小数（价格）大小的多种方法：既可以把两个小数都改写为几元几角几分后比较它们的大小，也可以找到一个合适的整数为中介，通过它间接地比较两个小数的大小。在进一步“还能提出哪些数学问题”的过程中，学生很可能提出“去哪个文具店买橡皮便宜”的问题，教师可以设计三种类型的橡皮，它们的单价不同，比较三个小数的大小，从而找出其中最小的一个，这更具挑战性。教师可以让学生自己去尝试解答，然后再引导他们体会把复杂问题转化为简单问题来解决的策略，即先比较其中两个数的大小，再拿其中较小的数与第三个数比较，就能找出最小的数。经历这个解决问题的过程，也是体验进行有条理的数学思考的过程。
“在数的认识”的教学中，要使学生理解数的产生与发展都是生活实践的需要，生活中许多实际问题的解决都与其数有关，利用数可以进行简捷而丰富的信息交流。因此，教师在教学中要从学生的生活经验出发，如在教学“认识更大的数”时，教师可以让学生在家数出10 000粒大米，课堂上交流自己是怎样得到10 000粒大米的，并感受10 000粒大米有多少；或者让学生合作数出1000页纸，看看叠起来有多高，再估一估计10 000页纸有多高；或者说说自己的学校大约有多少人，多少这样的学校大约是10 000人；也可以让学生交流生活中遇到过的万以内数的情境。总之，要让学生在现实的生活情境中切实体验到万以内数的特征，建立形象的感性认识来发展自身的数感，了解大数的价值。
2 教师在教学中要随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去
只有让学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决他们身边的一些数学问题，才能使学生了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性，增进运用数学解决简单实际问题的信心。例如，请学生在家中记录两个相邻月初煤气表上的用气度数，然后算一算一个月家中的用气量；请学生到商店了解一些家电的单价，然后算一算其中两样家电的总价或差价；在地图上标出三四个城市间的距离，算一算两地间相差的距离。只有经常开展这些活动，学生才能在解决问题时显出特有的潜能。
又如在教学“周长”时，可以组织学生进行一些动手实践的教学活动，比如描一描树叶的边线，摸一摸课本封面的边线，围一围树干的粗细等，这样可以拓宽学生对周长的感性认识，建立丰富的表象。
再如教学“统计”一部分，学生学习了统计的知识后，可以安排学生进行有关生活实际问题的调查，如有关学校周围安全状况的调查、本地资源与环境的调查、自己喜爱的体育项目等；还可以安排一些实践活动，使学生亲自经历解决实际问题的过程，如收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们抽样的科学性（有没有提供数的来源，来源是否可靠等）。全班合作，统计一段英文中某个英文字母出现的频率，了解键盘的设计原理等。搜集这些素材能使学生将统计当作了解社会的一个重要手段，提高自己分析问题、解决问题的能力，以便更好地认识世界，同时理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据。
3 教师在教学中要加强数学实践活动与现实生活的联系
教师应加强数学实践活动，使实践活动的内容与学生的生活经验结合起来。学生常会遇到一些现实生活中的数学问题，如学校建议在校小学生每人每天喝一杯豆奶，学生提出：“老师，一杯豆奶到底需要多少成本？”“我们怎样吃才算合算？”教师可以及时抓住这一问题并由此引发学生开展“关于豆奶工程中的数学”的课题研究。再如，某人想在学校附近开一家袜子店，请学生帮他出主意：“这家店怎样开生意才会好？”这其中就蕴涵了许多数学问题。
因此，教师应选择在学生身边发生的，或学生需要了解的、熟悉的事物作为实践活动的主题，通过对这些事物中蕴涵的数学问题的研究，让学生充分了解数学在商业、科技、交通、工农业生产等行业的应用价值，感受到生活中处处充满数学，提高学生学习数学的兴趣，培养学生解决问题的意识和能力。
关键词：初中数学；挖掘教材；联系生活；自主探索
随着对新课改精神的学习，我们可以认识到许多高效的数学课堂模式和方案，但是课堂时间有限，学生认知规律各异，我们不可能照搬所有的教学模式，更不能再重复传统的题海战术。我们要根据学生的实际学情设置开放的、切近学生最近发展区的、有
针对性的教学方案，这样才能真正还原学生的主体地位，充分调动学生探索的积极性和主动性，引导他们对实际问题进行创新性探索和研究，最终迁移知识、生成能力。鉴于此，笔者结合这些年的课堂教学经验，对如何利用有限的课堂实际抓重点、促高效进行以下讨论和研究：
一、分析认知规律，探寻知识节点
新课标要求我们：学生是学习的主体，而教材是知识传递的媒介。所以，我们要以学生认知规律为经，以教学内容为纬，找到两者的结合坐标，唯有如此，才能对症下药唤起学生的学习需求，激活学生的探索欲望，帮助学生完成知识的内化和迁移。
如，在教学《变量与函数》时，因为函数思想是初中数学重要的解题思想，是诸多数学概念和解题方法的灵魂之一。教学中，我们不能只局限于表面的概念和局部的知识范畴进行理解，而要着眼全局，立足整个学段的高度，充分挖掘知识和学生认知的节点，唯有如此方能引导学生理解知识概念，掌握函数的精髓，为以后用函数思想解决数学问题奠定基础。
二、鼓励动手实践，探索实际问题
知识有其自身生成和发展的过程，我们唯有经过体验和探索才能真正掌握知识的精髓。教学实践中，我们千万不能积攒问题，要让大家在实践认知中随时发现问题，随时提出并解决问题，这是探骊得珠、迁移知识技能的不二法门。
如，在教学等腰三角形性质时，我们不要滔滔不绝地从定义到性质宣讲，笔者让大家用纸剪三个全等等腰三角形，分别在这三个全等图形上用笔画出同一底边上的中线、高和顶角的平分线，这时让学生将三个图形叠加对光观察，他们就会观察到“三条线重合”现象。这时，我们再趁热打铁，鼓励学生发散思维说出自己的问题，有的学生问道：是不是只要三线重合就一定是等腰三角形呢？针对这一问题，笔者再引导大家进行反证和逆探索，最终得出正确结论。实践证明，动手实践能激活学生兴趣，牵引大家发散思维，生成能力，真正地提高课堂教学效率。
三、反思利用错误，完善知识生成
学习和探索过程中错误是在所难免的，我们只有正视错误，有效利用错误才能变废为宝，有效弥补知识漏洞，完成知识迁移内化与生成。
比如，在教学一元二次方程根的判别式时，很多学生就容易犯如下错误，如果我们不加以重视，那学生会一错再错，所
以，我们应该引导反思，指导利用。
例如，假如x的一元二次方程（k-1）x2-2x-1=0存在两个不相等实数根，那么k的取值范围是？
有的学生这样解：由于方程存在两个不相等的实数根，那么Δ>0，即22+4k>0，得出：k>-1；以此推出k的取值范围是k>-1。
这就犯了典型的错误，因为他们忽略了一元二次方程成立的限制条件，这样顾头不顾腚，出现了概念性的错误，针对这种情况我们这样引导反思：
（1）为何会犯错？（没有考虑到一元二次方程所需要满足的条件k-1≠0）
（2）怎样求正确结果？（本题：由于方程存在两个不等的实数根，所以Δ>0，得出：k>-1，然后再考虑满足一元二次方程成立的条件k-1≠0，最终得出k的取值范围是k>-1且k≠1。）
然后再设置针对性练习：假如方程kx2-2x-1=0的x有实数
根，那么k如何取值？别看这个题貌似雷同，其实暗藏杀机，其解如下：
解：若k≠0时是二元一次方程，所以会有Δ≥0，即22+4k≥0，得出：k≥-1，
若k=0时则为一元一次方程，也有实根，符合题意，所以k的取值范围是k≥-1。
（3）怎样杜绝类似错误？（以后遇见这样的题目，首先要认真审题，其次要考虑概念成立，然后再按规律解答。）
有效利用错误资源进行反思是学生内化知识的必经阶段，所以，我们一定要给学生留出空间，让他们养成纠错反思的习惯，做到在学习中反思，在反思中进步。
总之，初中数学教学中，我们要从追求能力的高度来设定启发和引导方案，坚决杜绝拾人牙慧，盲目照搬。我们一定要遵从学生的认知规律，认真研究和分析教学内容与学生实际认知的结合点，然后再对症下药，有针对性地设置互动灵活的教学方案以充分激活大家主动探索和学习的欲望，完成新课改赋予我们的历史使命。
参考文献：
[1]李芳.浅谈初中数学高效课堂的构建[J].新课程：中学，2011（7）.
[2]王军.构建数学有效课堂，促进学生和谐发展[J].新课程：小学，2011（2）.