“瞻前顾后”说分数

和香港老师们的交流中，关于分数教学的特别多，我观摩了21节次有关“分数”的课，期间有困惑也有感悟，学生的感慨“分数真难学！”让我不能忘怀。

一、小学“分数部分”教材编排时序

香港老师常常感叹内地孩子的分数计算效果很好。我对比了两地有关“分数”部分的教材，其中一些内容有不同的编排，下表是香港地区在小学中的“分数部分”的教材编排时序。

由表中可以知道，三年级学习“分数的认识”后，在四年级就进行“倍数与因数”等教学，特别是“扩分与约分”的内容对于学生来说，难度比较大。六年级的“小数、分数和百分数互化”中，教材编排先教学“百分数和分数互化”，再教学“百分数和小数互化”。这样的编排，学生难以将分数化为百分数，教学中教师需要根据学生的情况进行调整。

二、一次“分数”教学前测的活动

在四年级将要进行“分数”教学时，香港祖荛天主教小学的老师与我商量，做一次“分数”的前测，看学生对分数的初步意义理解如何。

A.四年级“分数”教学前测题

（一）写出灰色部分占全图的几分之几。

（二）依题目指示答题。

1.妈妈买了12个小蛋糕。

1）朱古力蛋糕有4个，占全部小蛋糕的几分之几？

答案：占全部的（ ）。

2.妈妈买了12个小蛋糕，朱古力蛋糕有4个，其余的是香蕉蛋糕。

答案：香蕉蛋糕占全部小蛋糕的（ ）。

3.下图由大小相同的方格组成，部分方格已涂上阴影。用铅笔在余下的方格内涂上阴影，使所有阴影部分占全图的。

4.下列哪一项是正确的？请把圆圈涂黑。

A.=1 B.=1

C.=5 D.=5

5.在方格内填上「或「=。

(a) (b) (c)2

6.把下列分数由大至小排列。

答案： ， ，

（最大） （最小）

7.下列哪些图形的阴影部分并非占全图的？

A B C D

B.香港教师前测分析

学生对于分数基本概念掌握得很好，但对于分数与整体的关系理解较弱。如：

有同学误认为=2。

加强假分数的概念教学。

注意扩分、约分的运用等。

C.香港教师制定教学策略

针对前测中学生存在的问题，老师很认真地制定了一个教学策略（如下表）。

这个看似简单的教学策略，能看出香港的数学教学不仅注重“拼砌图卡”“数图”“折纸”等动手操作活动，也注重学生的“探讨”“汇报”等不同的学习方式。

D.香港教学练习举例

通过分析问题、制定策略，老师思考在教学中把学生可能的难点与问题，如“分数的互化”也用图像表现以帮助学生理解。

如：学生利用图像方式和除法将假分数转化为带分数。

分组利用折纸体验数值相同、分数形式表达不同的经验，归纳出扩分和约分的概念。

E.香港教师分析成效及建议

在四年级的“分数”教学完成后，我和祖荛学校的老师一起面向全港进行了这部分教学的分享。在与老师交流教学心得时，老师是这样说的――

学生对以下概念掌握良好：（1）分数的种类的概念，（2）假分数、整数及带分数的概念，（3）分数的扩分和约分的计算，（4）对分数约至最简的概念，（5）分数比较的多样性方法，（6）数感的培养，（7）用数学语言解释分数的概念。

对于“分数”教学很惧怕的香港老师来说，学生在“分数比较的多样性方法”等以上7个方面掌握良好时，我很开心。同时，也看到教学中需要改进的地方，如：运用扩分及约简的概念以及解决问题的能力有待改善。

三、几个“分数”教学案例分享

在这轮分数教学的研究中，我收集了与此有关的几个教学案例，与大家一起分享。

别“一下子呆住了！”

案例一：五年级“分数应用”

“红珠子3粒，蓝珠子5粒，①蓝珠子比红珠子多几分之几？”

生1：=。

生2：1-1=。

这两个学生的思考是正确的，也有不少学生的思考有偏差。面对学生的偏差，我们要思考学生的思维方向如何，该怎样帮助调整，更要思考自己的教学如何调整。

生3：-=。

生4：=。

生5：1-=。

正如生3所说的一样，每一个学生的错都有各自的理由。如果我们能及时抓“错”，帮助学生掌握“整体1”“比较量”的分析方法，是能够创造精彩课堂的。可在现实教学中，老师对于学生的错误少了些分析与引导，那么，接下来学生会有什么样的表现呢？

“红珠子3粒，蓝珠子5粒，②红珠子比蓝珠子少几分之几？”

做法1：1-=。

做法2：=。

做法3：==1。

有7个组的学生代表不同的做法，结果“做法3”的有6个组的学生。当看到学生的“做法3”后，老师坦诚地说：“我一下子呆住了！”

课后交流，学生却说得很清楚：“在求‘①蓝珠子比红珠子多几分之几’中用‘5-3’，那么，求‘②红珠子比蓝珠子少几分之几’当然用‘5＋3’咯。”

思考：

1.学生用“5+3”的根源在于对“比多（少）”存在误区。对此，老师不能“一下子就呆住了”，更不能“无言以对”。当看到学生用“5＋3”时，就要思考其来由，与学生思维贴近些，就不至于“呆住”了。

更为重要的是，老师们一定要提升自身的数学素养，才能迅速理解学生的思考。比如，对于生2的1-1=的解法，老师应该迅速反应。

2.抓住“问题”分析“整体1”，如下：

蓝珠子比红珠子多几分之几？

===。

3.如果教学好了“A比B多（少）几分之几”，那么面对“单位A的面积是84m2，单位B的面积比单位A的面积小，单位B的面积是多少？”也就不会头痛了。还可以用“抓关键句进行简化”的分析方法，帮助学生理解。

关键句：单位B的面积比单位A的面积小

简化分析： “整体1”

单位B的面积比“ 1 ”小

（1-）

所以：84×（1-）

学生通过“抓关键句进行简化”分析，不难得出“84×（1-）”。

问“谁变了？谁没有变？”

案例二：五年级“分数乘除混合计算”

在计算24÷×时，学生出现了下列不同的计算方法。

生1：24××。

生2：。

生3：。

生4：。

生5：24÷×。

思考：面对学生众多的错误，老师往往只注重答案的对错，没有思考错在何处。这时，我们应放慢教学节奏，思考学生出错的原因，有的放矢地纠错解难。这时的“慢”，是有时机的“慢”，是有目标的“慢”，更是有效果的“慢”，教学会因为这时的“慢”而让将来的教学快起来，进而提升学习效果。

我在观课时，就有老师因为学生的一句话“”而让教学慢下来。在五年级“分数除法”中，学生练习÷3=×=后，当学生再做4÷时，一个学生说：“。”老师及时反应，抓住学生的错误，把“÷3”与“4÷”进行比较、分析并追问：“÷3的方法是怎样的？”“在计算÷3中，谁变了？谁没有变？”再问：“在计算4÷时，4是还是要变成？”

在练习中，教师设计了相关的辨析题：

÷=×（只把“÷”变“×”）

÷=÷（只把除数变为其倒数）

÷=÷（把被除数变为其倒数）

÷=×（正确的方法）

可以看到，通过教学的“慢”，在“慢”中“追问”“再问”“辨析”，学生分辨这组相似或相近的计算方法，并进行细致的比较分析，对于分数除法将不再眼花缭乱。

不要“看到分数就头痛”

“带分数加减法”的教学，我原以为比较简单，可在备课中老师也是觉得很为难，因为常常会有学生提出不同的问题而使教学难以进行，有时也会因为学生的模仿或思维定势让教学处于尴尬之地。

案例三：四年级“带分数加减法”

学生过渡性练习：

1+2=（1+2）+（+）=3=3。

学生的带分数加法练习效果很好，可接下来的带分数减法却因为带分数加法而定势。

2-1=（2-1）-（-）。

思考：

1.多数学生就是因为“（1+2）+（+）”而延伸到用“（2-1）-（-）”，这让我想到另一节课，老师在上“带分数加减”之前加强了“4-2”的教学，学生对“4-2”的理解的多样，让学生不再对“带分数加减”糊涂。

计算4-2中，有：

生1：4-2=1+（3-2）。

生2：4-2=3-2=（3-2）+（-）。

生3：4-2=（3-2）+（1-）。

生4：4-2=1+（2）-2。

由此可见，学生对于“整数减带分数”的计算方法的多样理解，有助于对“不够减的带分数”的学习。

2.分数离学生的生活比较远，生活应用也比较少。如果我们设计的题型又比较复杂的话，那么学生一看到分数就会怕。

我们要想办法缩短学生与分数之间的距离，培养学习的兴趣，至少在设计练习时，应注意题型的难度与梯度。我看到过老师用心设计的练习。

（练习题1）两个同分母分数加减：3+4-5；

（练习题2）三个异分母分数加减：-+1；

（练习题3）三个数中，前两个数不够减的真分数加减：4-9+6；

（练习题4）三个数中，前两个数不够减的带分数加减：2-3+5。

在五年级“异分母分数加减混合计算”中，老师设计这样的难度渐进的练习，符合学生的认知规律，老师的思维“蹲下来”，学生不再“看到分数就头痛”。

“孩子也精彩！”

分数对于学生来说，真的很难吗？其实，在分数的教学中，孩子们常常有意想不到的精彩。

案例四：六年级“百分数加减法”

老师出题：如何计算+的百分数？

我看到学生各自不同的计算过程，如下：

生1：+=+。

生2：+=40%+25%。

生3：+=+。

生4：+=2÷5+2÷8。

生5：+=2÷5+2÷8×100%。

生6：+=（0.4+0.25）×100%。

生7：+=（2÷5+2÷8）×100%。

生8：+=×100%+×100%。

老师在学生中巡视着，或许看到了这些，但在课堂上却没有任何的举动与感觉。课后交流时，我说：“这些学生的不同过程你看到了吗？”老师说：“我看到了一些，我也没想到有这么多，孩子也精彩！”

思考：面对孩子精彩的过程，课堂上我们也是需要静心感受孩子的思维，并适时地展现过程，让更多的学生学习。

1.“计算+的百分数”可能需要的知识点有哪些？

透过学生的练习过程看，有“异分母分数加法”“扩分”“分数与除法的关系”“分数与百分数互化”“小数与百分数互化”“分数与小数互化”等内容，学生几乎把所有与分数有关的知识都应用了，可以说“如何计算+的百分数”是分数的综合应用。

2.老师在设计“如何计算+的百分数”时，或许没有想到有8种不同的思考过程，但教学中的开放讨论能让学生的思维自由绽放，学生的思维是看得见，更是美丽多样的。

3.老师要有“静”的思想，要静心设计题型，静心感受和收集学生的精彩。在“静”中保持一双敏锐的眼睛，面对多样化的计算，要“静”中求“动”，选择适当的时机让学生激动起来，让他们看到自己的精彩。这里“静”的思考，当然需要厚重的数学素养。

“链条式”的分数学习，需要我们把“数的整除性”“约分与通分”“分数与除法”等知识的教学做得更扎实。

“体贴式”的辨析与比较在分数教学中显得尤为重要，设计“体贴入微”的辨析教学，让学生擦亮眼睛，充满信心地往前走，老师需要静心思考“孩子会怎么错”，做到“错，也错到孩子心里去”。

“及时性”的提醒教学也是分数教学中不可少的，我们不能见“错”不怪，不能视“错”不见，更不能见“错”就呆，要积极行动，贴近学生的思维，分析错误的原因，及时提出补救的措施与方法。

由以上案例可以知道，分数教学不仅要看本节教学内容，也要分析前期学生的储备情况，更要考虑后期教学的联系，可谓要“瞻前顾后”教分数，才有好效果。