二次函数范文

二次函数篇1

1. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A. a>0 B. b

C. c0

2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=■与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）

3. 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y

A. -1

4. 已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

A. k

5. 已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，则a、b的大小关系为（ ）

A. a>b B. a

6. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k-3 C. k3

二、 填空题

7. 若二次函数y=ax2-（1-3a）x+2a-1的对称轴是x=-2，则a的值为？摇？摇？摇 ？摇.

8. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则b=？摇 ？摇？摇？摇，c=？摇？摇 ？摇.

9. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为？摇？摇？摇 ？摇.

10. 如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）.

（1） 则抛物线的解析式为？摇？摇？摇 ？摇；

（2） 在抛物线的对称轴上确定点Q，使ABQ是等腰三角形，符合条件的Q点坐标为？摇？摇 ？摇？摇.

三、 解答题

11. 已知：抛物线y=■（x-1）2-3.

（1） 写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2） 函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；

（3） 设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式.

12. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.（利润=售价-制造成本）

（1） 写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2） 当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3） 根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

参考答案

1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. D

7. -1

8. y=x2-7x+12？摇b=-7，c=12 9. 3

10. y=-x2+2x+3， Q（1，■）、（1，-■）、（1，0）、（1，1）（注：点（1，6）因三点共线舍去）

11. 解：（1） 抛物线y=■（x-1）2-3，

a=■>0，？摇抛物线的开口向上，

对称轴为：直线x=1；

（2） a=■>0，

函数y有最小值，最小值为-3；

（3） 令x=0，则y=■（0-1）2-3=-■，

所以，点P的坐标为0，-■，

令y=0，则■（x-1）2-3=0，

解得x■=-1，x■=3，

所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），

当点P0，-■，Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，

则■ 解得k=-■，b=-■.

所以直线PQ的解析式为y=-■x-■.

当P0，-■，Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，

则■ 解得m=■，n=-■.

所以，直线PQ的解析式为y=■x-■.

综上所述，直线PQ的解析式为y=-■x-■或y=■x-■ .

12. 解：（1） z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1 800，

z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1 800；

（2） 由z=350，得350=-2x2+136x-1 800，

解这个方程得x■=25，x■=43.

所以，销售单价定为25元或43元，

将z=-2x2+136x-1 800配方，得z=-2（x-34）2+512.

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元.

（3） 结合（2）及函数z=-2x2+136x-1 800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，

当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）=648（万元）.

因此，所求每月最低制造成本为648万元.

二次函数篇2

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

x

-3

-2

-1

1

2

3

Y=x2

9

4

1

1

4

9

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）

X

-3

-2

-1

1

2

3

Y=0.5X2

4.5

2

0.5

0.5

02

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

三.三.运用新知、变式探究

画出函数y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

x

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四.四.归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

五.五.回顾反思、总结收获

在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）

二次函数的教学设计

马玉宝

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

x

-3

-2

-1

1

2

3

Y=x2

9

4

1

1

4

9

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）

X

-3

-2

-1

1

2

3

Y=0.5X2

4.5

2

0.5

0.5

02

4.5

Y=-X2

-9

-4

-1

-1

-4

-9

画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。

（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

三.三.运用新知、变式探究

画出函数y=5x2图象

学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

x

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y=5x2

1.25

0.8

0.45

0.2

0.05

0.05

0.2

0.45

0.8

1.25

教师出示已画好的图象让学生观察

注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

四.四.归纳小结、延续探究

教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

五.五.回顾反思、总结收获

在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

二次函数篇3

一、初中数学二次函数教学策略分析

1. 培养学生解决数形结合法问题的能力。

对二次函数的教学，利用函数图像教学是其主要手段。函数图像教学更加形象，让学生更易理解。教师在讲解具体的二次函数问题中，可以用函数图像进行讲解，让学生学会从函数图像中寻找解决问题的方法。

在二次函数教学过程中教师应让学生学会独自画出二次函数图像，要求学生结合函数图像和二次方程式进行解题。让学生学会根据二次函数题目，熟练画出二次函数图像，既利于学生解决各种不同难度的二次函数问题，又可以锻炼学生的观察能力，从复杂的函数图像中找出解决问题的线索。

2.讲授二次函数时要运用多媒体技术，增加课堂的生动性

有些二次函数问题比较抽象，光靠教师的讲解还是不够形象生动，而且二次函数对于很多学生来说是比较难的。因此，就需要通过运用多媒体技术，制作课堂PPT，结合图像、文字或声音等，这样更易引起学生的兴趣，还更容易让学生理解。

例2 测得某涵洞的水面宽是2m，水面距涵洞洞顶的距离是8m，该涵洞是抛物线形的，那么涵洞的抛物线的函数关系式是什么？

讲解这道题目时，需首先画出涵洞的抛物线形的图像。教师在PPT中展示出涵洞的抛物线的图，如图2。

二次函数主要是通过图形和实际生活相结合，因此，教师在二次函数教学时，要让学生意识到将抛物线图形和实际生活结合起来，这样更易于问题的解决。通过图形的展示，可以更加形象，加速学生解题速度。

例3 高尔夫球飞行在不考虑任何外力的情况下，设某次球的飞行距离为x，设飞行高度为y，球的飞行路线满足二次函数：y=-4x2+10x。

（1）那么球飞行最远的水平距离是多少米？

（2）那么球的飞行最高的距离是多少米？

教师在PPT中展示图3 ，这道题目其实并不难，也是将实际生活和二次函数相结合。通过图3 的形象展示，可以引起学生的兴趣。教师首先提出问题，让学生思考：

从图中分析，当y等于多少时，球飞的最远的水平距离是多少？如果学生无法回答，则就进一步引导和提示，在图3的横坐标上随意标出一点作为球飞的最远距离处，之后让学生继续思考这个问题，并进行解答。

学生回答：从图中可知，即令y=0时。由y=-4x2+10x，可知x=2.5m。

对第二个问题讲解也要进行逐步引导，要让学生学会观察图形，从图形中分析问题。

二、初中二次函数教学需注意的地方

1. 教学方法的多样性

二次函数的学习是建立在推理、选择判断和抽象概括能力的基础上，是一个不断提出假设、探索和验证的过程。各种不同的类型的二次函数问题，大都是通过课堂上的典型例题进行扩展延伸的。因此，在教学过程中，首先需将典型例题讲解明白。如顶点式y=a（x+c）2+d 和一般式y=ax2+cx+d，这两种解析式，教师可用不同的教学方法进行解题，有利于促进学生发散思维的培养，这样学生在面对不同类型的二次函数问题时则会更加的有信心，可以加快解题的速度。

2. 理解函数问题的特殊性

初中的函数问题侧重的是培养学生质疑解疑的能力。初中的函数问题包括二次函数、一次函数以及反比例函数。各类函数问题比较纷繁复杂，因此，教师在教授函数知识过程中，需要及时对各种函数知识进行归纳区分，这可以使学生加深对各类函数知识的理解和巩固。

二次函数篇4

关键词：二次函数教学应用

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)

这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)= x2－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，]及[ ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设f(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

当t＞1时，g(t)=f(t)=t2－2t－1

当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2－2

g(t)=t-2,(t1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X

(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0< 。

解题思路：

本题要证明的是x

(Ⅰ)先证明x

因为0

根据韦达定理,有x1x2=

0＜x1＜x2

(Ⅱ) f(x)=ax2+bx+c=a（x+－）2+(c－),（>0）

函数f(x)的图象的对称轴为直线x=－,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－，x2－

x0=－=（x1+x2－ ）< ,即x0=。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数篇5

关键词：二次函数；研究

在历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位，而其中的二次函数犹如一根红线贯穿其中. 在初中教材中，对二次函数作了详细的研究，由于初中学生理解能力较差，又受其接受能力的限制，对这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解. 进入高中以后，对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、对称性、有界性）的理解提出了更高的要求. 作为最基本的幂函数，可以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编出灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力，使其成为高考数学的必考内容.

进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生对函数的一些理解，特别是以二次函数为例更深层次地认识函数. 二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）. 这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型Ⅰ：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）. 这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.这个问题理解为，已知在对应法则f下，元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则. 一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式，f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6；（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用，令t=x+1，则x=t-1，所以f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6，从而f（x）=x2-6x+6.

二次函数的单调性、最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间-∞，-及-，+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习函数单调性.

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性.

（1）y=x2+2x-1-1；（2）y=x2-1；（3）=x2+2x-1.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象，通过图象去研究函数的单调性.

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上要么只有最小值，要么只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习. 如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域.

二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅳ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

解题思路：本题要证明的是x

（1）先证明x

因为00.

至此，证得x

根据韦达定理，有x1x2=. 因为0

（2）因为f（x）=ax2+bx+c=ax++c-（a>0）.

函数f（x）的图象的对称轴为直线x= -，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-. 因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-. 因为x2-

二次函数篇6

二次函数的顶点坐标是(h，k)，将其代入顶点式y=a(x-h)²+k中，再找一个已知点的坐标代入算出a就行。

要是有三点的话，那就带入二次函数的公式y=ax2bxc直接计算出a.b.c。如果和y有交点，那说明c=0。一般会把对称轴x=-b/2a.给出，在加上一个点，联立方程组求解a,b.最后代入就好了。

二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。

二次函数（quadraticfunction）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

二次函数篇7

1、二次函数又是函数中的重要组成部分,所以我们要对它的基本概念和基本性质(单调性、奇偶性、周期性)及图像深入研究

2、次函数概念非常简单,但它具有丰富的内涵和外延.可以作为函数来研究,同时可以结合图形来研究.它是最基本的初等函数,我们可以以它为素材,来研究函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等性质,还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系;结合图形,二次函数的图象是一条抛物线,它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系.

（来源：文章屋网 ）

二次函数篇8

关键词:中考 二次函数 方法

在近几年中考中有如下二次函数题,这道题目考查的知识点多,综合性较强,解题灵活多变。考生在做这样的题时,认为难度较大,其实这样的题也有一定的方法,只要掌握方法,也能灵活解决。

例题:(2009年陕西中考题)如下图:在平面直角坐标系中,OBOA且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).

(1)求点B的坐标;

(2)求过A、O、B的抛物线的解析式;

(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO.

■

在解本题的问题时,我们应从以下几方面入手:

1.找出适当的切入点:在找切入点时,应加强条件的分析和挖掘。本题有三个条件:(1)A(-1,2);(2)OBOA;(3)OB=2OA。这个题又是一道解答题,所以A的坐标就是一个切入点,通过做辅助线AEx轴,就可得:AE=2,OE=1,这样一来RtAEO的三边就成为已知条件。

2.找出关系,灵活运用:题目中的OBOA,OB=2OA。当过B点作BFx轴于点F时,RtOFB与RtAEO就相似了。运用OB=2OA和相似三角形的性质就可以得出B点的坐标,即B(4,2)。

3.本题分析到这一步,下面的问题就容易解决了。第(2)问中求过A、O、B的抛物线的解析式。A、O、B的坐标都已知,可以用待定系数法求解:y=■x2-■x

4.在(2)中的抛物线上求出点P,使得SABP=SABO,这是一个存在性问题,讨论问题要全面,不能多解,也不能漏解。三角形面积要相等,必须是同底(等底)同高(等高)的面积相等,而ABO的面积为定值,底AB=5且AB∥x轴,AB边上的高为2,这样可做AB的平行线且到AB的距离等于2。这样的平行线有两条,与抛物线就有4个交点,而交点的纵坐标值为已知的是0和4。实际解两个一元二次方程就可以得出点P的横坐标,即:P1(0,0);P2(3,0);P3(■,4);P4(■,4)。

近几年的中考都有类似上述二次函数的综合性题目。对学生来说,做这样的题,既有分析问题上的难度,又有综合运用上的难度。这两个难度产生的原因有三点:①数形结合应用不到位;②对于图形和函数的性质理解不到位;③综合分析问题能力不到位。要解决这几个不到位的问题,老师在引导学生复习时,要做好以下几个方面:

第一,加强数形结合的思想。数形结合的问题,许多是在平面直角坐标系中讨论问题。数与形的结合点,由坐标可以推断线段的长,反过来,由线段的长度可以确定点的坐标。在这个确定过程中可能用到解直角三角形的知识和相似三角形的知识。我们运用这知识把线段的长度和点的坐标有机地结合起来,数形结合的问题就达到理解和运用了。

例如在平面直角坐标系中,图形的变化与坐标的关系。这里的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换。即关于x轴对称两个图形中的对应点的坐标关系是横坐标不变,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于坐标原点对称的两个图形的对应点的坐标关系是横坐标纵坐标均互为相反数。平移变换,包括沿x轴正反方向平移,图形的坐标关系为:正向横坐标加,反向横坐标减,纵坐标不变;沿y轴正反方向平移,坐标关系为横坐标不变,纵坐标正向加,反向减。而对于旋转特殊角:30°,45°,60°后的图形的坐标可以计算。图形与坐标是数与型结合的一个基本知识点,这部分内容也是我们建立数与形结合的一个模型。另外,在平面直角坐标系中,对多边形的面积计算,常用方法是对多边形进行分割,根据点的坐标的定义把它分为直角三角形和直角梯形进行计算,这也是数与形结合的一种运用。

第二,做好基础知识的理解。图形的性质、判定、函数的性质,在复习时,要加强记忆、理解和运用,要能熟练地说出某个图形函数的性质。在具体问题中,会根据条件判断出图形具有什么特征,可以由这些特征确定解题方法和思路。

如函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c的正负将确定抛物线的开口方向;对称轴位置,对称轴两边函数随自变量的变化情况;顶点坐标及与y轴交点的位置,抛物线在坐标平面内平移与顶点式y=a(x-h)2+k的变化关系。这些函数的性质,不仅要记忆而且要理解和会运用。另外像直角三角形、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质,也是解这部分题的基础。所以学生在数学学习过程中,要加强基础知识的理解和运用。

第三,培养学生的综合运用能力。多题一解,对学过的题型归类和解决问题方法归类,对学过的知识条理化、系统化;一题多解,增强学生思考、解决问题的灵活性、多样性。要精讲精练,选择例题时要具有代表性、一般性和普遍性。练习要精心设计,达到复习、巩固、提高的目的。

总之,学生在考试中解这类题时,加强审题,由条件推断函数具有何种特性,图形具有什么特征。利用这些特性和特征结合图像和图形,综合分析,确定出合理的解题方法。

作者单位:陕西省旬阳县城关镇金洞初级中学