发表初等数学论文范文
时间：2023-03-08 09:47:09
发表初等数学论文范文第1篇
初等数学，作为整个数学大厦的基础部分，经过几千年来的发展，其基本理论己经成熟，世界各国的中学数学内容及其理论大致一样，具有相当大的稳定性，但就其教育理论，几以及其包含的思想方法、解题技巧还在继续深化、发展，初等数学的研究领域日益广阔，呈现十分活跃的状态。外国的情况姑且不说，就我国而言，每年二十八家而向中学数学教育的期一刊的出版，几千篇文章的问世。
初等数学研究蓬勃崛起、方兴未艾可见一斑。研究初等数学问题，除了大专院校、科研部门外，从事初等数学教育的中学数学教师也能从事这方面的研究，他们处在教学第一线，对初等数学的思想方法、解题技巧理解得很沉具有科研人员所不具备的教育实验环境，更易遇到具有教学意义和实践价值的问题，因而中学教师无疑是研究初等数学问题的丫支主力军。
然而，中学数学教师的现状是不尽人意的。长期以来，数学界形成了研究高等数学才是搞学问，研究初等数学就不是搞学问的偏见，使得每年进人中学当老师的大学毕业生，面对严谨而成熟的初等数学，往往误认为初等数学的问题已经研究完了，没什么研究头了，从而创造研究意识淡化，探索动力萎缩，迟迟进人不了科研之门。在中学，几十年的数学教师没写过一篇论文的现象并不鲜见。教学与科研的分离，_导致教学上的简单重复和机械模仿，教学变成了毫无生气的知识再现的僵化过程，质量的提高受到很大影响，教学难有大的飞跃和突破。从另一方面看，教师本人不从事研究和创造，体会不到教育创造带来的激情和乐趣，得不到成就感的抚慰，也会丧失进取的精神和远大志向，导致工作效绩滑坡。苏联教育家苏霍姆林斯基指出:“如果你们想使教育劳动给教师带来欢乐，使日常讲课不致变成单调乏味的义务，那就把每一位教师引上科学研究的康庄大道，而最先成为教育劳动能手的人，就是感到自己是位研究者的人。”由此可见，强调中学数学教师开展科研活动，不仅对提高教师素质、提高教学质量有重要作用，而且对于教师发挥自身潜能、展现人生价值、提高职业自豪感有重要意义。
搞科研，就要产生论文，论文是科研成果的文字表述。而论文对疥个大学生来讲，并不陌生，每个数学系的学员一般都要作毕业论文，然而，毕业论文还只是科研活动的模仿和尝试，还难以称的上是真正的科研活动。因为一般大学生没有从事中学数学教育的实践活动，又寸中学教材不熟悉，初等数学的思想方法体会的并不深，难以遇到真正有价值的“困惑”，因此所选的论文题目或与教育实践结合的不紧，尸或者高大空洞，或者论述不深人，价值一般不大。
这是普通大专院校不易解决的问题，当然也平是继续教育同仁而临的任务和应解决的问题。参加继续教育的学员全有较长的教学实践，对中学教材熟悉，思维素质、创造能力普遍较好，所以在继续教育中给他们传授初等数学论文写作知识，和他们一起剖析初等数学问题，帮助他们曾、结中学数学研究方法，激发他们的探索、研究意识，他们完全可以根据自己的特长，找到他们感的问题，形成自己的研究方向。创造心理学的研究成果表明:人人都有创造的天资和票赋，关键在于自身的执着追求和外界的激发与诱导。初等数学论文写作课就是遵循这条创造学的规律，从外界给学员以诱导和激发，使他们尽快上问题之路，人研究之门，将科研与教学融为一体，互相长进，写出高水平的论文，以促进教师素质、教学质量的提高和数学教育的发展。
初等教学论文写作课，它异于其它数学课的主要特征是:它并不是以完成数学的基本理论和知识的传授为教学的终止线，而是传授初等教学论文的基本知识，剖析总结初等数学研究的基木方法，展现初等数学主要研究方向及动态个貌，从而进一步引导学员将数学知识转化为较强的研究、探索能力，确定自己的研究方向，最终得到研究成果，写出论文，以提高教师的素质，推动教育的发展和教学的改革。这门课象继续教育一样，还是新生事物，其涉及的多方面问题有待进一步探讨，笔者提出一些构想，就教于对此研究的同行。
我认为，这门课的结构可分为四大部分:初等数学论文写作的基本知识，初等数学研究的一般方法，论文导读，论文写作训练。下面就这四大部分的内容、层次简述如下:
一初等数学论文写作的基本知识在这部分主要论述五个方而的问题。
(一)、中学数学教师写论文的意义。前述从略。
(二)、什么是初等数学论文。广义讲，是指对初等数学领域中某一问题进行了专门研究和探索，取得了新的成果，把这些成果系统地整理出来所写成的文章。它包括纯初等数学问题的研究，也包括在数学活动中对某一类或某一数学问题所采用的教学的手段、力一法和技巧有新的创新和发展，对教材内容提出新的处理意见，对教育思想、观念进行改革、创新所得成果写出来的文章。
(三)、初等数学论文写作的三个
要求。
<l>内容的真实性。所论的问题确实存在，所得的结论经得起检验，符合客观现实，不同于文学作品，可以“虚构”。
<2>论题的科学性。论题要反映客观规律，有一定的科学、教学价值，不能研究那种无科学意义的题日，比如某山村一老师常年研究园规、三角板三等分角问题，这种论文无科学意义，因此问题早已证明其不可能。厂<3>论证的严谨性。在论证论题时，要言之有理、持之有据，逻辑性强。
〔四)、写作的一般步骤为:选题、准备、撰写;修改。
<l>选题:〕选题把握以下几个原则:
<a>选择题月应从自己的实际出发，量力而行，开始不宜做过大的题日，可以小中见大。
<b>题目宜新不宜旧。论题要有开拓、创新精神，别人做过的题目，自己无创新之意，可不写。当然运用批判性思维，可以唱一点“反调”，尤其是教育性论文。
<c>内容应熟悉。对白己陌生的题日是不应该硬着头皮去论述的。
<2>准一备:将前人论述本题目以及相关的材料收集齐全，、吸取其精华，推陈出新，’拾级而上。
<3>撰写:(论证阶段)主要有三种方式:(a)立论:直接从正而阐述自己的观点。(b)驳论:举反例的论述，一般带有一沦辨性质。(c)分论:先分别论述与总题目相关的小题口，然后加以总结，形成自己的结沦。
<4>修改:仔细推敲，去粗取精，去伪存真，突出中心。
(五)、论文的题目。
论文的题目决定着论文的价值和方I沁论文的题自来源于向题。数学大师希尔伯特以其亲身休会强调指出…‘正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”初等数学问题研究大致可分为8个方而:
<1>对著名古典数学问题的研究。比如裴波那契数列，连分数，七桥问题，组合数学等。
<2>开拓新领域、对新课题的研究。比如自生数，超越数，特殊方程，特殊不等式等。
<3>初等数学方法研究。
<4>初等数学命题研究。
<5>初等数学解题研究。
<6>初等数学应用研究。
<7>初等数学教育研究。
曹才翰先生在87年昆明数学教育年会上提出的二十个问题集中了这方面的研究方向和主要课题。
<8>对初等数学与其它学科交叉出的边缘领域的研究。比如数学史，数学发明心理，数学美，数学语言，数学，期刊，数学人才，数学竞赛题，数学课题等。
宏观上看，初等数学研究大致分为这八个方面，具体到每一个人，如何寻找论文课题，大致有如下几种渠道:
<l>从大量的文献资料、期刊报章中来。资料是发现论文题目的主要渠道，通过对资料的阅读，可以了解别人的研究课题，掌握研究动态，找到还末解决的问题，从而形成自己的课题。
<2>从自身的教学实践中来。
<3>从与别的学科的交又碰掩中来。多学科的交叉，可以对问题产生多角度的理解，产生出新的课题。
<4>从与别人交流的话题中来。
二、初等数学研究的一般方法
论文是研究成果的文字表述，无研究当然无论文，要想写论文、必须对初等数学进行研究。美籍数学教育家波利亚概括数学研究一般模式为:发现，猜想，论征。赵振威教授将初等数学研究分为三类:探索性研究，应用性研究，总结性研究。这三类研究活动的研究方法各有特点，侧重，又互相渗透。下面介绍这三类研究活动的一般方法。
探索性研究主要目标是探索新知识和创造新方法。
探索新知识主要途径是对命题的研究，其方法主要是:
(a)交换命题的条件和结论。
(b)保留条件，深化结论。
(c)保留结论，减弱条件。
(d)推广命题。
创造新方法的主要研究途径是:
(a)从解题的实践出发，有目的地发掘解决一类或几类问题的共同模式，从中提出解决此类问题的共同方法和基本原理。
(b)对获得的方法进行理论分析，阐明其基本原理。
(c)研究新、旧方一法的联系和区别，寻求新方法的完善、成熟。
<2>应用性研究的主要径有:
(a)研究定理、公式的应用规律和技巧。
(b)研究数学方法的应用规律和特‘支叹。
<3>总结性研究就是对过去的知识加以归类、整理，建立新的联系，以求得到新的方法、思想和知识体系。
“在科学中，建立新的联系就是发展和进步，知识的重新组合不仅是一种创造性的过程，而且是深化知识、追求智慧的必由之路。”在数学史上产生巨大影响的欧儿里的《几何原本》以及法国的布尔巴基学派的一系列著作，都是总结性研究成果。总结性研究大致的研究方法有:
(a)用新现点对已有知识加以对比、分类、综合，以求得新的方法、思想的产生。
(b)对已有的经验、理论、方法重新组合，录求突破，以求得最简洁、最佳的方法与途径。
三，论文导读
写论文之前，应该广泛阅读论文。通过对别人论文的阅读，可以了解论文的基本结构和论证方法，开阔自己的视野，从中体察写论文的技巧与方法。所以，学员在教师引导下，开展对论文的阅读是初等数学论文写作课的重要一环，首先，教师精选几十篇特色显著、论证严谨、观点鲜明、具有理论和教学价值的初等数学论文，分析其行文特色，和学员共同鉴赏，以提高学员自身对论文的审美鉴赏能力、有了相当的鉴赏能力，写论文就有例可仿，有章可循，模仿是创作的开始。一般优秀的初等数学论文总有以下几个显著特点。
<1>新，也就是文章的独到之处，新构成论文的主要价值。新包含理论上的新发展、方法上的新突破、观J点上的新开拓，结构、论证方式和例子上的新颖、独到。
<2>论证严谨、逻辑性强，结构合理，行文简洁、流畅，视野开阔，论证多角度，运用多学科知识。
<3>用例恰当。理论与例子融为一体，相得益彰，互添其色。
这部分的教学方式以讨论式为宜。学员拿到论文，和教师共同探讨其特色、分析其得失，比教师唱独角戏效果会更好。
四、论文写作训练
只知道写论文的一般规律和阅读别人的论文，自己不亲手实践，是无法得其要领，写出沦文的。在本课程的最后，进行论文写作训练，提供学员实践的机会是必要的。写作训练，对于提高学员的兴趣和研究写作能力，形成理论联系实际的学风，真正体验写论文的甘苦，学习选材、行文、论述等技巧，会起到积极作用。写作训练可采取两种方式:
<1>命题论文写作。选取教学中常见并带有一定教学价值的问题形成题目，全班学员搞命题论文写作。这种题日最好是教育性题目，几以使使大家各抒己见，形成自己的论证特色。
比如“课堂教学中反例的运用技巧及作用，‘概念课讲述方式设计”等。命题论文写作可以提高学员的专题研究能力，体验写论文的一般程序和写作过涅，对于训练选材、组材、表述、论证都有一定的好处。每人写出的论文在全班宣读，通过横向比较，使学员们对论题有进一步的理解，可互相取长补短，启发思路。
<2>自选题目写作训练。论文从选题的规律上看，应该是自选题目。因为自己对自己的兴趣、特点、长处最了解，知道自己适合做那类题目。当题目与自身特长、凝思点相一致时，自己的主体意识、思维优势就会发挥出来，论文的质量就会上升。二在自选题目写作训练期问，要求每一位学员至少完成一篇论文，:使自身的素质得到一个总结和提高。写出的论文可在全班宣读，交流，以促进学员开展研究活动，活跃学术气氛。
论文写作训练期一间，需院、系给予支持、配合，这是论文写作训练的重要条件，这些配合、支持主要有:
(功给学员提供尽可能的资料、信息服务·
(2)全系教师积极参加学员论文的指导。
发表初等数学论文范文第2篇
由数字推理看初等数学深刻内涵(1)
由数字推理看初等数学深刻内涵
作者：感恩、齐东、云岭
摘要：运用数字推理建立数值逻辑公理系统雏形，辩证认识、探讨初等数学基本理论的深刻内涵，继续深化认识，…。
关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等
一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：
（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！
（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：
究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。
用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：
第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…
第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…
第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…
第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…
第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…
第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…
第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…
第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…
第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…
第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…
……，……
如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：
第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…
第2系列：
第2环节：
2（0/2+1/2+2/2）
=（1/2+2/2+3/2）
=（0.5+2/2+1.5）
第3环节：
3（0/2+1/2+2/2）
=（2/2+3/2+4/2）
=（1+3/2+2）
第4环节：
4（0/2+1/2+2/2）
=（3/2+4/2+5/2）
=（1.5+4/2+2.5）
第5环节：
5（0/2+1/2+2/2）
=（4/2+5/2+6/2）
=（2+5/2+3）
第6环节：
6（0/2+1/2+2/2）
=（5/2++6/2+7/2）
=（2.5+6/2+3.5），……，…
第3系列：
第2环节：
2（0/3+1/3+2/3+3/3）
=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）
=（3/3+4/3+5/3）
=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）
第3环节：
3（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（3/3+4/3+5/3+6/3）
=（1+4/3+5/3+2）
第4环节：
4（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）
=（7/3+8/3+9/3）
=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）
第5环节：
5（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（6/3+7/3+8/3+9/3）
=（2+7/3+8/3+3）
第6环节：
6（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）
=（11/3+12/3+13/3）
=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…
第4系列：
第2环节：
2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）
=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）
第3环节：
3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）
=（1+5/4+6/4+7/4+2）
第4环节：
4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）
=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）
第5环节：
5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）
=（2+9/4+10/4+11/4+3）
第6环节：
6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）
=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）
=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…
第5系列：
第2环节：
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）
第3环节：
3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）
=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）
第4环节：
4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）
=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）
第5环节：
5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）
=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）
第6环节：
6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）
=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）
=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…
第6系列：
第2环节：
2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)
=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)
第3环节：
3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）
=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）
第4环节：
4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）
=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）
第5环节：
5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）
=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）
第6环节：
6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）
=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…
第7系列：
第2环节：
2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）
=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）
=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）
第3环节：
3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）
=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）
第4环节：
4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)
=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）
=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)
第5环节：
5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）
=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）
第6环节：
6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)
=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)
=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…
第8系列：
第2环节：
2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）
=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）
第3环节：
3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）
=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）
第4环节：
4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）
=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）
第5环节：
5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）
=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）
第6环节：
6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）
=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…
第9系列：
第2环节：
2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)
=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)
=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)
第3环节：
3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）
=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）
第4环节：
4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9
+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）
=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）
=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9
+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）
第5环节：
5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)
=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)
第6环节：
6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9
+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）
=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）
=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9
+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…
第10系列：
第2环节：
2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10
+12/10|+13/10+14/10+15/10）
=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）
第3环节：
3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10
+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）
=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10
+16/10+17/10+18/10+19/10+2）
第4环节：
4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10
+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）
=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10
+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）
第5环节：
5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10
+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）
=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10
+26/10+27/10+28/10+29/10+3）
第6环节：
6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10
+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）
=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10
+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；
……，……
关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：
1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；
2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）
{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，
第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，
第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，
第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，
……，……
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：
相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。
3、数值逻辑公理系统派生子集合并非一目了然、需要详细说明：
（1）、当选取1时，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……为分数整，并未派生子集合，是特殊矛盾，则其为特殊系列，特殊矛盾与普遍矛盾务必需要人为加以区分，否则就要导致逻辑悖论，因此，务必把第一系列排斥在公理系统之外，才是科学的、才是适宜的，…。
（2）、数值逻辑系统外部结构形式像“锁链”，因此将其简称为连锁形式，连锁形式非常规则，一环扣一环、环环相扣、无穷无尽（例如）：
[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）
{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
（3）、当系统子系列在偶数范畴内：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，连锁形式规则，非常直观，具有典型代表意义。
（4）、当系统子系列在奇数范畴内：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隐形的、非直观的），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以纷纷跨跃（飞跃）出来，充当相对整子集，连锁形式规则，十分显然地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质、自告奋勇、势不可挡，数值逻辑对立统一规律预示着选择公理，在奇数范畴内必有其它基数与其相当，例如第5系列、第2环节：
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）
=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
很显然，如果直接用
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）来表达派生子集合，就是隐形的、非直观的，单凭直觉观察不出派生子集合，如果对（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）进行拆分子运算就能得到（必须指出、在公理系统中是运用规律直接观察、归纳出来的）：
（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]
=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2环节体现0.5，1.5拥有相对整性质，其他奇数系列、偶数环节上都是如此,这是规律无需逐一验算，因为0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以自告奋勇、会纷纷跨跃出来，势不可挡，…。
（5）、当系统子系列在10，100，1000，10000，……，范畴内，均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……拥有相对整性质，而且在向纵深发展潜无限的过程中有太多太多的基数是超越无理数数值的有限形式、甚至与其相吻合、相当，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意义，在此基础上提出有限不循环小数的概念、数学中客观存在着有限不循环小数为什么不被提出？…。
（6）、很显然，上述数值逻辑系统运算规律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系统的子系列无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内均派生子集合，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……纷纷分化出来、均占据整数位置，揭示着其绝对值比其他普通小数绝对值相对整装，充分地十足地体现其相对整性质（也可理解为哲理整性质），因此，构成相对整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在着完整数值逻辑运算规律与深刻内涵，数值逻辑系统外部结构形式像连锁，因此说系统连锁结构形式规则，蕴涵着极其深刻内涵——数值逻辑对立统一规律，奇数与偶数相反相成、对立统一，为偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除提供科学依据，具有普遍意义，这是数学自然观的重大认识问题，要做出正确选择，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奋勇势不可挡、纷纷分化出来担负起“相对整数”的重任，数字简单原理哲理却深刻，同时自然辩证法以对立统一规律为切入点注入初等数学和纯粹数学，…。
二、初等数学深刻内涵：
1、分数整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……尽管是分数形式，数值逻辑系统揭示着依然体现整数性质，因此将其统称为分数整。
2、小数整：无限循环小数0.9˙=1，小数形式依然体现整数性质，将其简称为小数整。
3、素数偶：2既是一个素数又是一个偶数，将其简称为素数偶，具有唯一性，将奇素数3，5，7，11，13，17，19，......统称为素数。
4、分数相对整：分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既拥有分数性质又具备相对整性质，因此将其统称为分数相对整，分数相对整拥有相互矛盾的双重性质，其一是普通分数性质，其二是相对整性质——因为1/2是最大分数单位，其他普通分数不具备相对整性质——因为普通分数的分数单位均小于1/2，实际上，其他普通分数的分数部分均为分数单位，均小于1/2绝对值更零散，所以一次性彻底排除，以免造成思维混乱，务必需要说明，分数相对整与整数（分数整）是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并不等同，既要看到差异又要看到共性、当然是指差异中的共性。
5、相对整性质：其他普通分数的绝对值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的绝对值相比较更零散，换言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把(分数相对整)相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么拥有相对整性质，因为1/2是最大分数单位，分数单位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因为1/2=0.5，1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位。
6、小数单位：关于分数和小数互相关联着，看到分数要联想到小数，分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数就是小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小数单位，很显然，1/2是最大分数单位，0.5是最大小数单位，1/2与0.5看似极其简单的两个数字却是微小微妙的，自古至今，数学只把它们看成普通分数、普通小数，现在来看需要转变思维理念，….。
7、小数相对整：小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既拥有小数性质又具备相对整性质，将其统称为小数相对整，小数相对整拥有相互矛盾的双重性质，一是普通小数性质，二是相对整性质——因为0.5是最大小数单位，其他普通小数不具备相对整性质——因为普通小数的小数单位均小于0.5，一次性彻底排除，以免造成思维混乱，只接受小数相对整的小数性质是片面的，只接受小数相对整的相对整性质是片面的，需要说明，小数相对整与整数是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并非等同，正整数的性质可以理解为绝对整，小数相对整顾名思义性质相对整，这就是二者的差异，同时绝对整与相对整又是异中之同、所谓的共性，…。
8、相对整性质：其他普通小数的绝对值和小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把（小数相对整）相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，务必引起高度重视，...。
9、广义整数：将整数和分数相对整统称为广义整数，即本文将0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…统称为广义整数；亦可以将整数和小数相对整统称为广义整数，即本文将0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…统称为广义整数，蕴涵着绝对整与相对整的意义，...。
10、广义（数学）真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2相对整除、潜无限等等内涵的数学真理统称为广义（数学）真理，要探索绝对值1+1=2蕴涵的基本原理、道理、哲理，哲学以对立统一规律为切入点注入初等数学、注入纯粹数学，...。
11、狭义（数学）真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除，...，统称为狭义（数学）真理，非常有必要把数学分为狭义真理和广义真理，小学数学（算术）应为狭义（数学）真理，...。
12、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，实无限排斥潜无限，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，…。
13、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n∞或n0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的真理、无处不在，承认接受实无限的大家风范不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，否则没有错误有失误，因此，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，...。
14、绝对值1+1=2蕴涵着的基本原理、道理、哲理（为什么1+1=2）：
本文回答既简单又深奥：偶数能被2（绝对）整除，奇数不能被2（绝对）整除却着实能被2相对整除（传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数的排斥性对立性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中共性、同一性），因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，或者说2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的数值逻辑对立统一规律——蕴涵着哲学的对立统一规律，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，哲学的基本原理大可为数学理论作指导，如果有谁再说哲学不能过问、关心数学矛盾和问题，那就站不住脚了，数学既要讲逻辑又要讲基本原理、道理、哲理，自然辩证法为其补充、弥补深刻内涵，...，是啊！它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，其道理却深奥地不可思议、不可理喻、它的“庐山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能够理解与接受，更不是小学生阶段能够理解接受的数学知识，的确需要转变数学思维理念，高度重视、重新认识，...。
15、有必要说明：因为哲理整性质、哲理整小数难以理解接受甚至不被理解与接受，本文将它称之为相对整性质、小数相对整等等，换言之，本文相对整性质，亦可理解为哲理整性质，那么，相对整性质——哲理整性质、奇数能被2相对整除——奇数能被2哲理整除、分数相对整——哲理整分数、小数相对整——哲理整小数等等，内涵大同小异。
16、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数无穷无尽，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，非常容易发现它们，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、小数整、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为它们客观存在着，有限不循环小数尽管不是无理数却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与作用，它真正支撑着数学实无限、实数系的基础，有限不循环小数的概念不被提出是初等数学的最大不足和缺陷，因为它有很高的应用价值，所以说初等数学和纯粹数学没有错误却有失误，…。
17、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数无穷无尽，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数。
18、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数、分数整、分数相对整，分数包含着分数整、分数相对整、普通分数，这是因为分数相对整拥有双重性质、分数整拥有双重身份所决定的；也可以将广义整数与小数统称为有理数，广义整数包含着整数与小数相对整、小数包含着小数相对整与普通小数，因为小数相对整拥有双重性质、一是相对整性质、二是普通小数性质。
19、有理数系统——有理数系：本文将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系，有理数系是无限开放着的数值逻辑公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值逻辑公理体系，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，它们一脉相承，…。
有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着有限不循环小数（潜无限不循环小数），尽管有限不循环小数（潜无限不循环小数）不是无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素和成分，它在数学中实际上真正起着无理数的意义和作用，敬请认真斟酌，这是数学的一个非常非常重大认识问题，无理数的实无限走得太遥远了、有限不循环小数和潜无限不循环小数不被理性认识，这似乎才是初等数学、数学基础的真实现状与真实状况，系统不包含无理数也可以、也是也，只要我们能够构造出潜无限不循环小数与拥有所谓的无理数数值一样的富有，不是有理数系有问题，而是人的认识出了大问题，尤其是先前率先认识数学的，…，本文也深知无理数拥有客观存在性，客观存在着，只是对其实无限的无理数数值有着不尽相同的看法，只是说关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、特别对待，将性质不同的两类数学矛盾人为的加以区分，更合乎逻辑，…。
有理数系统是向纵深发展着的系统、无限开放，有限不循环小数也是向纵深发展变化着的，有限不循环小数形成潜无限不循环小数，按照实无限的数学自然观，这一无限过程如果被理解为完成了，那么潜无限不循环小数与无理数、无理数数值相吻合，无可厚非，在数理逻辑中实无限拥有极大优越性、但实无限也有很大局限性，不能苟同、不能相同，不能投其所好，...，数值逻辑只会潜无限、潜无限更科学、不会实无限、实无限不能为数值逻辑奠定基础，实无限一句话或者寥寥数字就把实数系、实无限集合完成了，实无限和实数系太笼统，当您若要具体展开实数系时，您会发现完全不是那么一码事，一个具体的无理数数值都无法完整地构造出来，发现无理数已有两千多年的历史了，迄今为止，还没有谁能够构造出一个实无限的完整无理数数值，这是事实，扯别的没有意义，字母符号不是无理数、实数系的全部意义、只是一个代号，实无限是理想化的无限，因此说，实无限还是将来十分遥远的可能性，今天还看不到现实性，实无限只能够给高等数学、数理逻辑等等奠定基础，因为它们不需要具体展开实无限、实数系，一句话、几笔就能带过的数学矛盾，换言之，关于无限不需要具体展开的数学矛盾和数学领域实无限大可为其奠定基础、需要具体展开的数学矛盾潜无限为其奠定基础，...。
20、实数：把有理数和无理数统称为实数，是可以理解接受的，无理数客观存在着、拥有客观存在性，如果把实数看作实数系、请您不要说的那么笼统、那种方式也只是承认其客观存在性另一种说法，大家风范，数学迫切需要您的实无限、实数系的具体系统，而不是笼统的，敬请贡献出来，...。
21、关于无理数：无理数客观存在，拥有客观存在性，由于无理数没有公度比，与有理数的规律不一致，无理数排斥有理数、实数系中的无理数把有理数系的运算规律都被排斥掉了，有理数排斥无理数，实数系太笼统太茫然，有理数与无理数不能在一个公理系统中共容，务必把无理数排斥在系统之外，关于无理数只能对无理数、无理数数值具体问题具体分析、具体问题具体对待、特别对待，如果您能够做到了这一点——对无理数具体问题具体分析具体对待，那么它的数值是潜无限还是实无限本文不再干涉。
关于无理数需要严格界定，一是无公度比，二是无限不循环小数、而且其数值（绝对值）无穷无尽、永远不会穷尽、永远不会终结，以防有机可乘、有懈可击，实无限？潜无限？问题就出在界定不严格，数学逻辑十分严密，有些十分重要、十分关键的概念界定很不严格，有空可入，关于数学中存在的一些问题无需争论谁是谁非，而是一部分数学概念需要重新严格界定一下，尤其是无理数，…。
22、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：
绝对值1+1=2是科学抽象的，1+1=2和正整数是相对于广义单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于广义单位“1”而言，正整数把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，换言之不是任何条件下都正确，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义单位“1”、正整数、整数，消除了自然数的局限性，…。
1+1=2是数学公理并无问题、绝对无问题、只是需要探寻它的公理系统，为什么1+1=2？不仅知其然还要知其所以然，而且也涵盖着数论的“1+1”，…，然而，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——哥德巴赫猜想，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶数环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”不仅是而且必须首先是绝对值的数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽）拥有客观存在性，既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。
23、普通有限小数、普通分数、普通小数：
a、普通有限小数：不包括小数整、有限不循环小数、有限循环小数在内的小数系列简称为普通有限小数，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。
b、普通分数：不包括分数整、分数相对整在内的分数，…。
c、普通小数：不包含小数相对整在内的小数，…。
24、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（正）偶数，我们把具有这样性质的偶数称之为双素数，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性。
25、关于哥德巴赫猜想、理论如何认识？在数值逻辑公理系统中不可能回避的数学矛盾：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）
｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，……
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其相对整性质，即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均为数学公理，…，如果将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：
第2环节：1+1=2，
第3环节：1+2=3、2+1=3，
第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，
第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，
第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，
第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，
第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，
第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，
第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，
第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，
第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，
第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，
第14环节：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，
第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，
第16环节：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，
……，…
发表初等数学论文范文第3篇
关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等
一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：
（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！
（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：
究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。
用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：
第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…
第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…
第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…
第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…
第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…
第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…
第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…
第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…
第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…
第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…
……，……
如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：
第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…
第2系列：
第2环节：
2（0/2+1/2+2/2）
=（1/2+2/2+3/2）
=（0.5+2/2+1.5）
第3环节：
3（0/2+1/2+2/2）
=（2/2+3/2+4/2）
=（1+3/2+2）
第4环节：
4（0/2+1/2+2/2）
=（3/2+4/2+5/2）
=（1.5+4/2+2.5）
第5环节：
5（0/2+1/2+2/2）
=（4/2+5/2+6/2）
=（2+5/2+3）
第6环节：
6（0/2+1/2+2/2）
=（5/2++6/2+7/2）
=（2.5+6/2+3.5），……，…
第3系列：
第2环节：
2（0/3+1/3+2/3+3/3）
=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）
=（3/3+4/3+5/3）
=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）
第3环节：
3（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（3/3+4/3+5/3+6/3）
=（1+4/3+5/3+2）
第4环节：
4（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）
=（7/3+8/3+9/3）
=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）
第5环节：
5（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（6/3+7/3+8/3+9/3）
=（2+7/3+8/3+3）
第6环节：
6（0/3+1/3+2/3+3/3）
=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）
=（11/3+12/3+13/3）
=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…
第4系列：
第2环节：
2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）
=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）
第3环节：
3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）
=（1+5/4+6/4+7/4+2）
第4环节：
4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）
=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）
第5环节：
5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）
=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）
=（2+9/4+10/4+11/4+3）
第6环节：
6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）
=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）
=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…
第5系列：
第2环节：
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）
第3环节：
3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）
=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）
第4环节：
4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）
=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）
第5环节：
5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）
=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）
第6环节：
6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）
=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）
=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…
第6系列：
第2环节：
2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)
=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)
第3环节：
3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）
=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）
第4环节：
4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）
=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）
第5环节：
5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）
=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）
第6环节：
6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）
=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）
=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…
第7系列：
第2环节：
2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）
=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）
=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）
第3环节：
3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）
=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）
第4环节：
4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)
=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）
=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)
第5环节：
5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）
=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）
第6环节：
6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）
=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)
=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)
=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…
第8系列：
第2环节：
2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）
=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）
第3环节：
3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）
=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）
第4环节：
4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）
=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）
第5环节：
5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）
=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）
第6环节：
6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）
=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）
=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…
第9系列：
第2环节：
2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)
=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)
=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)
第3环节：
3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）
=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）
第4环节：
4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9
+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）
=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）
=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9
+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）
第5环节：
5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)
=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)
第6环节：
6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）
=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9
+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）
=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）
=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9
+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…
第10系列：
第2环节：
2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10
+12/10|+13/10+14/10+15/10）
=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）
第3环节：
3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10
+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）
=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10
+16/10+17/10+18/10+19/10+2）
第4环节：
4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10
+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）
=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10
+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）
第5环节：
5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10
+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）
=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10
+26/10+27/10+28/10+29/10+3）
第6环节：
6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）
=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10
+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）
=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10
+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；
……，……
关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：
1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；
2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）
{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，
第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，
第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，
第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，
……，……
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：
相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。
3、数值逻辑公理系统派生子集合并非一目了然、需要详细说明：
（1）、当选取1时，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……为分数整，并未派生子集合，是特殊矛盾，则其为特殊系列，特殊矛盾与普遍矛盾务必需要人为加以区分，否则就要导致逻辑悖论，因此，务必把第一系列排斥在公理系统之外，才是科学的、才是适宜的，…。
（2）、数值逻辑系统外部结构形式像“锁链”，因此将其简称为连锁形式，连锁形式非常规则，一环扣一环、环环相扣、无穷无尽（例如）：
[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应莫散开）
{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
（3）、当系统子系列在偶数范畴内：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，连锁形式规则，非常直观，具有典型代表意义。
（4）、当系统子系列在奇数范畴内：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隐形的、非直观的），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以纷纷跨跃（飞跃）出来，充当相对整子集，连锁形式规则，十分显然地揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质、自告奋勇、势不可挡，数值逻辑对立统一规律预示着选择公理，在奇数范畴内必有其它基数与其相当，例如第5系列、第2环节：
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）
=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
很显然，如果直接用
2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）来表达派生子集合，就是隐形的、非直观的，单凭直觉观察不出派生子集合，如果对（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）进行拆分子运算就能得到（必须指出、在公理系统中是运用规律直接观察、归纳出来的）：
（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）
=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]
=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5
=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）
=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2环节体现0.5，1.5拥有相对整性质，其他奇数系列、偶数环节上都是如此,这是规律无需逐一验算，因为0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有相对整性质，所以自告奋勇、会纷纷跨跃出来，势不可挡，…。
（5）、当系统子系列在10，100，1000，10000，……，范畴内，均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……拥有相对整性质，而且在向纵深发展潜无限的过程中有太多太多的基数是超越无理数数值的有限形式、甚至与其相吻合、相当，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意义，在此基础上提出有限不循环小数的概念、数学中客观存在着有限不循环小数为什么不被提出？…。
（6）、很显然，上述数值逻辑系统运算规律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系统的子系列无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内均派生子集合，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……纷纷分化出来、均占据整数位置，揭示着其绝对值比其他普通小数绝对值相对整装，充分地十足地体现其相对整性质（也可理解为哲理整性质），因此，构成相对整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在着完整数值逻辑运算规律与深刻内涵，数值逻辑系统外部结构形式像连锁，因此说系统连锁结构形式规则，蕴涵着极其深刻内涵——数值逻辑对立统一规律，奇数与偶数相反相成、对立统一，为偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除提供科学依据，具有普遍意义，这是数学自然观的重大认识问题，要做出正确选择，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奋勇势不可挡、纷纷分化出来担负起“相对整数”的重任，数字简单原理哲理却深刻，同时自然辩证法以对立统一规律为切入点注入初等数学和纯粹数学，…。
二、初等数学深刻内涵：
1、分数整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……尽管是分数形式，数值逻辑系统揭示着依然体现整数性质，因此将其统称为分数整。
2、小数整：无限循环小数0.9˙=1，小数形式依然体现整数性质，将其简称为小数整。
3、素数偶：2既是一个素数又是一个偶数，将其简称为素数偶，具有唯一性，将奇素数3，5，7，11，13，17，19，......统称为素数。
4、分数相对整：分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既拥有分数性质又具备相对整性质，因此将其统称为分数相对整，分数相对整拥有相互矛盾的双重性质，其一是普通分数性质，其二是相对整性质——因为1/2是最大分数单位，其他普通分数不具备相对整性质——因为普通分数的分数单位均小于1/2，实际上，其他普通分数的分数部分均为分数单位，均小于1/2绝对值更零散，所以一次性彻底排除，以免造成思维混乱，务必需要说明，分数相对整与整数（分数整）是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并不等同，既要看到差异又要看到共性、当然是指差异中的共性。
5、相对整性质：其他普通分数的绝对值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的绝对值相比较更零散，换言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把(分数相对整)相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么拥有相对整性质，因为1/2是最大分数单位，分数单位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因为1/2=0.5，1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位。
6、小数单位：关于分数和小数互相关联着，看到分数要联想到小数，分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数就是小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小数单位，很显然，1/2是最大分数单位，0.5是最大小数单位，1/2与0.5看似极其简单的两个数字却是微小微妙的，自古至今，数学只把它们看成普通分数、普通小数，现在来看需要转变思维理念，….。
7、小数相对整：小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既拥有小数性质又具备相对整性质，将其统称为小数相对整，小数相对整拥有相互矛盾的双重性质，一是普通小数性质，二是相对整性质——因为0.5是最大小数单位，其他普通小数不具备相对整性质——因为普通小数的小数单位均小于0.5，一次性彻底排除，以免造成思维混乱，只接受小数相对整的小数性质是片面的，只接受小数相对整的相对整性质是片面的，需要说明，小数相对整与整数是有差异的、是异中之同、差异中有共性，并非等同，正整数的性质可以理解为绝对整，小数相对整顾名思义性质相对整，这就是二者的差异，同时绝对整与相对整又是异中之同、所谓的共性，…。
8、相对整性质：其他普通小数的绝对值和小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小数相比较绝对值整装（在数值逻辑公理系统中），把（小数相对整）相比较绝对值整装性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，务必引起高度重视，...。
9、广义整数：将整数和分数相对整统称为广义整数，即本文将0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…统称为广义整数；亦可以将整数和小数相对整统称为广义整数，即本文将0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…统称为广义整数，蕴涵着绝对整与相对整的意义，...。
10、广义（数学）真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2相对整除、潜无限等等内涵的数学真理统称为广义（数学）真理，要探索绝对值1+1=2蕴涵的基本原理、道理、哲理，哲学以对立统一规律为切入点注入初等数学、注入纯粹数学，...。
11、狭义（数学）真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除，...，统称为狭义（数学）真理，非常有必要把数学分为狭义真理和广义真理，小学数学（算术）应为狭义（数学）真理，...。
12、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，实无限排斥潜无限，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，…。
13、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n∞或n0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的真理、无处不在，承认接受实无限的大家风范不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，否则没有错误有失误，因此，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，...。
14、绝对值1+1=2蕴涵着的基本原理、道理、哲理（为什么1+1=2）：
本文回答既简单又深奥：偶数能被2（绝对）整除，奇数不能被2（绝对）整除却着实能被2相对整除（传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数的排斥性对立性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除却着实能被2相对整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中共性、同一性），因此说，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，或者说2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的数值逻辑对立统一规律——蕴涵着哲学的对立统一规律，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入数学基础、注入初等数学，哲学的基本原理大可为数学理论作指导，如果有谁再说哲学不能过问、关心数学矛盾和问题，那就站不住脚了，数学既要讲逻辑又要讲基本原理、道理、哲理，自然辩证法为其补充、弥补深刻内涵，...，是啊！它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，其道理却深奥地不可思议、不可理喻、它的“庐山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能够理解与接受，更不是小学生阶段能够理解接受的数学知识，的确需要转变数学思维理念，高度重视、重新认识，...。
15、有必要说明：因为哲理整性质、哲理整小数难以理解接受甚至不被理解与接受，本文将它称之为相对整性质、小数相对整等等，换言之，本文相对整性质，亦可理解为哲理整性质，那么，相对整性质——哲理整性质、奇数能被2相对整除——奇数能被2哲理整除、分数相对整——哲理整分数、小数相对整——哲理整小数等等，内涵大同小异。
16、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数无穷无尽，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，非常容易发现它们，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、小数整、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为它们客观存在着，有限不循环小数尽管不是无理数却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与作用，它真正支撑着数学实无限、实数系的基础，有限不循环小数的概念不被提出是初等数学的最大不足和缺陷，因为它有很高的应用价值，所以说初等数学和纯粹数学没有错误却有失误，…。
17、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数无穷无尽，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数。
18、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数、分数整、分数相对整，分数包含着分数整、分数相对整、普通分数，这是因为分数相对整拥有双重性质、分数整拥有双重身份所决定的；也可以将广义整数与小数统称为有理数，广义整数包含着整数与小数相对整、小数包含着小数相对整与普通小数，因为小数相对整拥有双重性质、一是相对整性质、二是普通小数性质。
19、有理数系统——有理数系：本文将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系，有理数系是无限开放着的数值逻辑公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值逻辑公理体系，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，它们一脉相承，…。
有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着有限不循环小数（潜无限不循环小数），尽管有限不循环小数（潜无限不循环小数）不是无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的重要因素和成分，它在数学中实际上真正起着无理数的意义和作用，敬请认真斟酌，这是数学的一个非常非常重大认识问题，无理数的实无限走得太遥远了、有限不循环小数和潜无限不循环小数不被理性认识，这似乎才是初等数学、数学基础的真实现状与真实状况，系统不包含无理数也可以、也是也，只要我们能够构造出潜无限不循环小数与拥有所谓的无理数数值一样的富有，不是有理数系有问题，而是人的认识出了大问题，尤其是先前率先认识数学的，…，本文也深知无理数拥有客观存在性，客观存在着，只是对其实无限的无理数数值有着不尽相同的看法，只是说关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、特别对待，将性质不同的两类数学矛盾人为的加以区分，更合乎逻辑，…。
有理数系统是向纵深发展着的系统、无限开放，有限不循环小数也是向纵深发展变化着的，有限不循环小数形成潜无限不循环小数，按照实无限的数学自然观，这一无限过程如果被理解为完成了，那么潜无限不循环小数与无理数、无理数数值相吻合，无可厚非，在数理逻辑中实无限拥有极大优越性、但实无限也有很大局限性，不能苟同、不能相同，不能投其所好，...，数值逻辑只会潜无限、潜无限更科学、不会实无限、实无限不能为数值逻辑奠定基础，实无限一句话或者寥寥数字就把实数系、实无限集合完成了，实无限和实数系太笼统，当您若要具体展开实数系时，您会发现完全不是那么一码事，一个具体的无理数数值都无法完整地构造出来，发现无理数已有两千多年的历史了，迄今为止，还没有谁能够构造出一个实无限的完整无理数数值，这是事实，扯别的没有意义，字母符号不是无理数、实数系的全部意义、只是一个代号，实无限是理想化的无限，因此说，实无限还是将来十分遥远的可能性，今天还看不到现实性，实无限只能够给高等数学、数理逻辑等等奠定基础，因为它们不需要具体展开实无限、实数系，一句话、几笔就能带过的数学矛盾，换言之，关于无限不需要具体展开的数学矛盾和数学领域实无限大可为其奠定基础、需要具体展开的数学矛盾潜无限为其奠定基础，...。
20、实数：把有理数和无理数统称为实数，是可以理解接受的，无理数客观存在着、拥有客观存在性，如果把实数看作实数系、请您不要说的那么笼统、那种方式也只是承认其客观存在性另一种说法，大家风范，数学迫切需要您的实无限、实数系的具体系统，而不是笼统的，敬请贡献出来，...。
21、关于无理数：无理数客观存在，拥有客观存在性，由于无理数没有公度比，与有理数的规律不一致，无理数排斥有理数、实数系中的无理数把有理数系的运算规律都被排斥掉了，有理数排斥无理数，实数系太笼统太茫然，有理数与无理数不能在一个公理系统中共容，务必把无理数排斥在系统之外，关于无理数只能对无理数、无理数数值具体问题具体分析、具体问题具体对待、特别对待，如果您能够做到了这一点——对无理数具体问题具体分析具体对待，那么它的数值是潜无限还是实无限本文不再干涉。
关于无理数需要严格界定，一是无公度比，二是无限不循环小数、而且其数值（绝对值）无穷无尽、永远不会穷尽、永远不会终结，以防有机可乘、有懈可击，实无限？潜无限？问题就出在界定不严格，数学逻辑十分严密，有些十分重要、十分关键的概念界定很不严格，有空可入，关于数学中存在的一些问题无需争论谁是谁非，而是一部分数学概念需要重新严格界定一下，尤其是无理数，…。
22、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：
绝对值1+1=2是科学抽象的，1+1=2和正整数是相对于广义单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于广义单位“1”而言，正整数把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，换言之不是任何条件下都正确，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义单位“1”、正整数、整数，消除了自然数的局限性，…。
1+1=2是数学公理并无问题、绝对无问题、只是需要探寻它的公理系统，为什么1+1=2？不仅知其然还要知其所以然，而且也涵盖着数论的“1+1”，…，然而，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——哥德巴赫猜想，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶数环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”不仅是而且必须首先是绝对值的数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽）拥有客观存在性，既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。
23、普通有限小数、普通分数、普通小数：
a、普通有限小数：不包括小数整、有限不循环小数、有限循环小数在内的小数系列简称为普通有限小数，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。
b、普通分数：不包括分数整、分数相对整在内的分数，…。
c、普通小数：不包含小数相对整在内的小数，…。
24、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（正）偶数，我们把具有这样性质的偶数称之为双素数，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性。
25、关于哥德巴赫猜想、理论如何认识？在数值逻辑公理系统中不可能回避的数学矛盾：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）
｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，……
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其相对整性质，即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，揭示着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均为数学公理，…，如果将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展开为数值逻辑公理的另一种表达形式：
第2环节：1+1=2，
第3环节：1+2=3、2+1=3，
第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4，
第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，
第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，
第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，
第8环节：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，
第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，
第10环节：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，
第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，
第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，
第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，
第14环节：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，
第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，
第16环节：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，
……，…
发表初等数学论文范文第4篇
例 （北京市东城区2013―2014学年度一模（理科）（18）题）已知函数f（x）=ax2-4ln（x-1），a∈R.
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间;
（Ⅱ）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围.
1 参考答案给出的分类讨论法
解 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-4ln（x-1），定义域为（1，+∞），
f′（x）=2x-4x-1=2x2-2x-4x-1=
2（x+1）（x-2）x-1
所以当a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）.
（Ⅱ）因为对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，
所以对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即f（m）-1m-1<0，f（m）<1，
即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1.
令g（x）=ax2-ax-2
（1）当a=0时，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上单调递减，
f（x）max=f（2）=0<1，显然成立，所以a=0.
（2）当a<0时，二次函数g（x）的图象开口向下，
且g（0）=-2，g（1）=-2，
x∈（1，+∞），g（x）<0，
故f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a<1，显然成立，所以a<0.
（3）当a>0时，二次函数g（x）的图象开口向上，
且g（0）=-2，g（1）=-2，
所以x0∈（1，+∞），g（x0）≤0.
当x∈（1，x0）时，g（x）<0，
当x∈（x0，+∞）时，g（x）>0.
所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增，
故f（x）在[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）.
所以f（2）<1，
f（e+1）<1，即4a<1，
a（e+1）2-4<1，
所以0<a<14.综上a<14.
2 参数分离法
解法1 （Ⅰ）略.
（Ⅱ）因为对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，
所以对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即f（m）-1m-1<0，f（m）<1，
又f（x）=ax2-4ln（x-1），
所以am2-4ln（m-1）<1对任意m∈[2，e+1]恒成立，
所以a<1+4ln（m-1）m2对任意m∈[2，e+1]恒成立.
设g（x）=1+4ln（x-1）x2（x>1），
则a小于g（x）在区间[2，e+1]上的最小值.
可求得g′（x）=2x3（x-1）[x-4（x-1）ln（x-1）+1]， ②
当x>1时，2x3（x-1）>0，则g′（x）的符号与x-4（x-1）ln（x-1）+1的符号一致.
令h（x）=x-4（x-1）ln（x-1）+1（x>1），
则h′（x）=-3-4ln（x-1）.
令h′（x）=0，则x=1+e-34，
令h′（x）>0，则1<x<1+e-34，
令h′（x）<0，则x>1+e-34.
故函数h（x）在（1，1+e-34）递增，在（1+e-34，+∞）递减，在x=1+e-34取最大值，即
h（x）max=h（1+e-34）=2+4e-34>0.
又h（2）=3>0，h（e+1）=2-3e<0，且函数h（x）图象在[2，e+1]连续不间断，
所以在[2，e+1]上存在x0，使得h（x0）=0.
因此，当2<x<x0时，h（x）>0，则g′（x）>0，则函数g（x）在（2，x0）上递增;
当x0<x<e+1时，h（x）<0，则g′（x）<0，则函数g（x）在（x0，e+1）上递减（如图1）.
图1
因此g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为g（2），g（e+1）中的最小值.
又g（2）=14，g（e+1）=5（e+1）2，且14<5（e+1）2，
所以g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为14.
所以a<14.
解法2 （Ⅰ）略.
（Ⅱ）因为对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，
所以对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即f（m）-1m-1<0，f（m）<1，
又f（x）=ax2-4ln（x-1），
所以am2-4ln（m-1）<1对任意m∈[2，e+1]恒成立，
所以a<1+4ln（m-1）m2对任意m∈[2，e+1]恒成立.
设g（x）=1+4ln（x-1）x2（2≤x≤e+1），
则a<g（x）min.
可求得g′（x）=2x3（x-1）[x-4（x-1）ln（x-1）+1]（2≤x≤e+1）.
当2≤x≤e+1时，2x3（x-1）>0，则g′（x）的符号与x-4（x-1）ln（x-1）+1的符号一致.
令h（x）=x-4（x-1）ln（x-1）+1（2≤x≤e+1），
因为x≥2，所以h′（x）=-3-4ln（x-1）≤-3<0.
故函数h（x）在[2，e+1]递减.
又h（2）=3>0，h（e+1）=2-3e<0，且函数h（x）的图象在[2，e+1]连续不间断，
所以在[2，e+1]上存在x0，使得h（x0）=0.
因此，当2<x<x0时，h（x）>0，则g′（x）>0，则函数g（x）在（2，x0）上递增;
当x0<x<e+1时，h（x）<0，则g′（x）<0，则函数g（x）在（x0，e+1）上递减（如图2）.
因此g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为g（2），g（e+1）中的最小值.
又g（2）=14，g（e+1）=5（e+1）2，且14<5（e+1）2，
所以g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为14.
所以a<14.
图2
解法3 （Ⅰ）略.
（Ⅱ）因为对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，
所以对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即f（m）-1m-1<0，f（m）<1，
又f（x）=ax2-4ln（x-1），
所以am2-4ln（m-1）<1对任意m∈[2，e+1]恒成立，
所以a<1+4ln（m-1）m2对任意m∈[2，e+1]恒成立.
设g（x）=1+4ln（x-1）x2（2≤x≤e+1），
则a<g（x）min.
可求得g′（x）=2x3[1+2x-1-4ln（x-1）].
当2≤x≤e+1时，2x3>0，则g′（x）的符号与1+2x-1-4ln（x-1）的符号一致.
令h（x）=1+2x-1-4ln（x-1）（2≤x≤e+1），
易观察出函数h（x）在[2，e+1]递减.
又h（2）=3>0，h（e+1）=-3+2e<0，且函数h（x）图象在[2，e+1]连续不间断，
所以在[2，e+1]上存在x0，使得h（x0）=0.
因此，当2<x<x0时，h（x）>0，则g′（x）>0，则函数g（x）在（2，x0）上递增;
当x0<x<e+1时，h（x）<0，则g′（x）<0，则函数g（x）在（x0，e+1）上递减（如图3）.
因此g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为g（2），g（e+1）中的最小值.
又g（2）=14，g（e+1）=5（e+1）2，且14<5（e+1）2，所以g（x）在区间[2，e+1]上的最小值为14.所以a<14.
图33 两类解法的比较
参考答案给出的①式f′（x）=2（ax2-ax-2）x-1的分子不再含有自然对数，但需要关于a分类讨论.
本文给出的解法1实施参数分离后得到a<1+4ln（m-1）m2，设g（x）=1+4ln（x-1）x2（x>1），对其求导后得到的②式g′（x）=2x3（x-1）[x-4（x-1）ln（x-1）+1]中的“x-4（x-1）ln（x-1）+1”部分仍然含有ln（x-1），又很难求其根，解题到此往往搁浅.而事实上只要对函数h（x）=x-4（x-1）ln（x-1）+1再求一次导数后，便可以见到胜利的曙光了.
本文给出的解法2注意到函数1+4ln（x-1）x2是一个确定的函数，因此只须研究它在题目给定区间[2，e+1]上的情况即可，因此引入的新函数为g（x）=1+4ln（x-1）x2（2≤x≤e+1），引入的另外一个新函数为h（x）=x-4（x-1）ln（x-1）+1（2≤x≤e+1），解题长度比方法1要短.
本文给出的解法3选择研究的函数h（x）=1+2x-1-4ln（x-1）（2≤x≤e+1）甚至不求导也能够判断出h（x）的单调性，可以使参数分离法更容易完成.
作者简介 李春雷，男，1967年10月生，河北香河人，中学高级教师，北京市骨干教师，全国初等数学研究会第二届、第三届理事会常务理事，北京师范大学研究生院2013级在读教育博士.主要研究高中数学教师教育创新途径、中学数学教育理论、解题教学、高考命题等.
发表初等数学论文范文第5篇
如果要对数学教师进行某种分类，可以有许多划分的标准：既可以从职称级别上划分，比如在中小学校，有所谓二级、一级、高级之差别；也可以从社会效益上去划分，例如重点中学与非重点的教师；还可以从荣誉上去划分，比如优秀教师、特级教师等，由于社会进步、时展和数学课程改革的深化对高素质数学教师的普遍需求，从数学教师的教学活动特征上进行划分就显得十分必要，本文将从中小学数学教师应努力成为研究型教师这一角度进行一些分析，并提出一些建议。
首先需要澄清的一点是，在本文中我们所说的研究型教师，是指教师通过开展与自己所从事的数学和数学教学紧密相关的理论与实践研究，采用多种方式(如参加论文评选、参加学术会议交流、在刊物或出版社公开发表研究成果(论文、报告、著作等))，并取得一定的社会影响，尤其是数学教学效果优异的教师，如果数学教师在业余时间进行诸如文学创作或其他非数学(教育)类的研究，则不在我们的语境之列。
一、数学教师：从教学型向研究型的转变
在我国传统的数学教育观念和数学教学研究中，对于研究型教师在数学教学中的重要性一直没有予以充分的认识，单纯的教学能力和教学效绩一直是许多学校评价教师的核心标准，随着课程改革的实施及其对数学教育改革的要求，现在越来越多的数学教育工作者开始意识到，具有一定的教育研究意识和教学研究能力是高素质数学教师的基本构成要素，而且研究能力的形成和提升对于深化数学教师的教学水平有着十分积极的作用，这些年来，我国数学学科教育硕士培养的实践就充分证明了这一点。
数学教师应该以何种方式参与数学教育改革和数学课程改革?这是关系到数学教育改革和课程改革成败的关键!以课程改革为例，通常的思路是，教师要参加关于课程改革的各种培训，并逐步在整体上把握新课程的基本思想，理解其在内容上的细节要求，并在教学活动中体现新课改的精神和理念，这些固然都是基本的和重要的，但却是远远不够的!课程改革要想获得成功，数学教师决不能仅仅把自己定位于接受课改的“施予”和命令，处于被动的吸收者、转述者和实施者的地位，而要充分发挥参与性、能动性、主动性和创造性，为了做到这一点，数学教师就必须改变传统教师的讲授型定位，努力成为一个研究型教师。
关于数学教学与研究的关系，在国际上，美国学者Al Cuoco在《教学用的数学》一文中提出的观点是值得称道的：“在教育中很少有绝对的事。但有一点我绝对肯定：就是最好的中学教师是那些具有类似于数学研究经验的人，”对于Al Cuoco的这一论点，我们是十分赞成和欣赏的，具体地，在《教学用的数学》一文中，Al Cuoco指出了美国中学教学的若干“令人烦恼”的特点，他把这些特点归结为7点。
1、不问数学为何物：“在许多学校里，数学被教成了一代传一代的固定不变的知识体系，他们不把几何定理、三角公式和代数方法这些人造的东西看成是研究数学的产物，而是看成就是数学本身……”
2、平淡无奇综合症：“我所看到的许多课真正的特点就是所讲的每个东西都同样地着重，解释名词、记号和各项规定，与解决问题证明定理看得同样重要……”
3、上课以解题为中心：“我看见许多课的目的似乎就是尽可能快，又尽可能省力地把作业做完……”
4、先看再跟教学法：“这种类型的教学就是教师先详细讲一个题目，然后学生试着模仿教师做一个几乎完全一样的题目，接下来再做一大堆大体相同的题目，周而复始直到下课。”
5、没有“引理”的教学大纲：中学界有一个根深蒂固的概念，就是学生如果不具备全部预备知识就不让做一个题目……
6、什么事都得在大学里学过：“许多中学教师对自己实行这样一种哲学，即‘在你开始做之前知道所有你所需要的知识’，他们不把大学所学只看成自己作为一个终身学习者所需的工具，而把大学看成学到今后所需的一切数学的地方……这就把许多教师置于一个可怕的境地：他们的专业能力仅限于他们在大学里学过的，而不是他们能够领会到的……”
7、纵向脱节：“绝大多数教师看不见他们在大学里学的数学和他们正在教的数学有什么联系。”
把Al Cuoco上述7点看法加以概括，就可以发现，在数学教学中，不理想的数学教学行为总是和以下三个方面的缺失紧密相关的：教师不当的观念、循规蹈矩与平淡无奇的教学思想与行为、教师的知识结构不够完整，而对比中国的数学教师，类似的现象也并不少见，之所以会出现如此状况，一个重要原因就是数学教师对自身的职业定位有偏差，尤其是对教育研究能力在教学中的作用认识不足。
关于数学教师应该具有怎样的数学观念和数学教育观念，笔者在文中已经有较为详尽的探讨，有兴趣的读者可以去查阅，这里不再赘述，只须提及的是，在新的社会、文化和历史条件下，数学教师应该具有更具柔性适应性的数学观和数学教育观，这同时也是数学教师职业化的必然要求。
二、数学课程改革呼唤研究型教师，建设具有个性特色的数学课堂文化
作为研究型数学教师，在数学观、知识结构等方面应有更高的标准，从教学思想与行为看，传统意义上好教师的标准就是在教学上要有出色的表现，主要表现为“授业、传道、解惑”，并能教出考高分的学生，但现在看来，这一标准确实是过于单一了，为了应对日益复杂的教育教学环境和新课程的挑战，我们特别强调教师从教学型教师向教学―研究型教师的转变。
一个明显的事实是，当课程改革越来越趋向于给教师更多的自和主动权时，许多教师反而感到茫然和不知所措，这是教育中的“计划经济”思想依然根深蒂固
的一个明证，传统的教师只喜欢完成“上面”布置下来的任务，而很少去问这个任务是否合适，通常，如果某个教学目标不够具体，难以操作而需要自己进行研发，教师就会感到吃力，从近年来课改的实施过程就可以清楚地看到，那些不善于进行课程开发和研究的教师就常常处于教学的被动状态，一个可能有些夸张的说法是，在传统课程面前，教师与学生的最大区别之一就是教师拥有教学参考书，而学生只有课本，由此可见，传统教师对现成的课程资源的依赖性是很大的，随着课程改革的深化，教师无疑将在从课程到课堂的转换过程中发挥越来越重要的作用，那种仅仅把课本知识拷贝到备课本上，然后再照搬到黑板上的做法将无法适应数学教学改革的新要求。
为了应对新的课程改革，教师既应该是知识的传播者，又应该是知识的创造者；既是优秀的讲授者，还要成为数学教育的研究者，相应地，对数学教学能力我们也应予以重新理解，数学教学能力将不仅仅是知识表述和讲授的能力，而且是一种数学思想与语言交流的能力，是一种适应变化、敢于创新的能力，是一种锐意改革、不断解决新问题的能力，是一种敢于进行教学实验和教学研究并尝试发表相应研究成果的能力。
鉴于上述认识，可以提出如下的教师专业化的调整与转换思路：从传统的教师主导性、学生主体性向双主体、多主体、师生互动以及主体性间的转变，教师与学生应成为数学教学活动的共同设计者和共同评价者，教师应从知识的传输者向知识的解释者转变，从至高无上的知识的终极权威向知识的形成建构过程的展示者转变，从学生数学思想方法和思维活动的决定者、控制者向引导者、参与者转变，从数学教学管理方式上的管理者、灌输者、命令者向合作者、质询者、对话者转变，相应地，课程体系和教学活动要不断从封闭性走向开放性，例如，当考虑到计算机作为新的教学要素并入教学结构，形成新的教学关系时，教师应重新定位在信息技术条件下，各种新的教学媒体的教学功能，计算机作为教师的助手，教师要思考如何更好地发挥其作用。
数学教育在本质上可以看作是数学文化的教育，当数学教学不仅仅是在传授数学的知识、技巧、技能，而是把数学内在的思想本质和精神渗透到学生心中时，那么就达到了更高的教育目标，数学教师的数学文化素质是由数学文化、传统文化、现代文化和西方文化等为基本成分相互交织、相互作用、相互矛盾所形成的一个综合体，这些相互作用的、复杂的、综合的因素构成了具有中国特色的数学课堂的背景文化，直接或间接地作用和影响着数学课堂文化的形成、形式和基本表现形式及一般特征，我们主张数学教师应着力去创造一种结合自身数学素质特点的、展示自身个性的、高起点的、具有展示数学典范的科学本质、社会价值、思维特征和独特的美学意蕴的数学课堂文化情境氛围，只有这样，才能把数学文化素质教育落到实处。
在数学课堂中，文化以一种深层的、潜在的形式影响着数学教学活动，从师生关系看。例如教师的观念(包括数学观、数学教育观)，以及学生的各种观念，都是某种社会价值、文化心理的投射，从更为广泛的领域看，社会文化观念、主流的社会价值取向以及中国整体教育思想等也在相当程度上支配着数学课堂教学的走向和师生的心理。对数学课堂文化有潜移默化的影响，其中有些是我们自觉认识到，或是我们不自觉采用的。
从教师的主动性价值取向看，教师具有良好的数学教育价值观，对学生树立正确的数学价值观具有积极的影响，作为数学教师，应该充分认识到数学对社会进步、科技发展的重要价值和作用，充分认识到数学教育对培养数学人才和合格建设者的重要性，还要对数学问题解决、数学证明与推理、数学直觉、数学方法等的意义、作用、价值有深刻的理解，要看到数学教育价值的多样性特点，并对数学和数学教育的价值与作用有一个客观、全面的评价，在这样一个过程当中，数学教师的专业化水平，包括深厚的数学素质和数学教育研究能力，应该日益凸现其个性化，这种个性化是造就良好的、具有特色的数学课堂文化的先决条件。
三、研究型数学教师的专业化发展
如前所述，数学教师向研究型教师转变的一个重要标志就是要开展数学教育的研究并撰写研究论文或出版研究成果，其意义在于，通过对必要的数学教育理论知识的学习，形成初步的数学教育写作技巧，具备初步的数学教育研究经验，培养一定的数学教育鉴赏能力，教学与研究并重，以研究带动教学，以教学促进研究，概括起来看，数学教师的专业化可以在许多层面上展开：比如在课程开发与研究层面，包括课程的教学转化、课程的呈现形式(如多媒体)、课程的开发、课程的评价等；在教学活动的创新层面。数学教学形式的多样化的探求就是一个迫切需要解决的课题；在学习层面，对学生学习的深入理解，例如，究竟合作学习、探究性学习或研究性学习是否有效或如何发挥效果的问题，就应该开展相应的实证性研究；在评价与测量层面，如何改变单一的笔试(闭卷)方式，从多元的视角评价学生的发展，等等。
数学教师要想在数学教育研究方面尽快成长，需要从以下几个方面进行整体性的提高。
首先，要熟悉数学教育研究的基本类型，大致上，数学教育研究可分为理论研究和实践研究两大类，理论研究主要包括数学教育目的论、数学课程论、数学教学论、数学学习论、数学教育心理学、国际数学教育比较研究、数学教育史、数学教育哲学、数学教育的文化研究、数学教育的评价预测等，实践研究里面有数学课程标准的实践研究(小学、初中、高中)、数学素质教育与应试教育、数学教育改革(教学方法与教学模式、新技术环境中的数学教学)、数学教育的现实问题和热点问题、高考、中考改革等，介于理论与实践之间的还有诸如数学方法论、数学解题、数学竞赛、数学建模等。
其次，要了解当前(国内外)数学教育研究的一些基本热点和趋势，具体看来，有以下一些思路。
1、把专题研究摆在一个十分重要的位置，并进行深入地探索，专题化研究是数学教育研究深入开展(特别是专业化)的一个重要标志。
2、数学教育应有自己的独特问题，有不少数学教师的论文是依据教育学或学习心理学的一般原理，加上一些数学例子写成，如此的研究模式，就很难触及数学教育的本质问题。顶多是给教育学的一般原理作了数学的注解，因此，我们倡导从数学教育的独特问题进行研究，只有这样，才可能把数学教育研究推向一个新的高度。
3、更加注重系统化研究，避免单一化、片面化、随意性、无序性、炒作性和追风性的研究。
4、关注数学教育改革的热点和核心问题，不回避实践与改革中的难点和困惑，力争突破难点，至少在理论上首先取得进展。
5、关注数学教育改革的实践，避免不着边际、泛泛而谈、无的放矢、低效率、低层次的重复研究。
第三，要明确数学教育研究应始终坚持的原则，最重要的有两个：一个是理论与实践相结合，另一个是数学
与教育相结合，数学教师的研究必须与自己的教学活动紧密结合，我们不主张数学教师脱离自己的教学实践进行纯理论和思辨性的数学教育研究。
第四，关于数学教育研究的特点、主题和方法，
与数学论文不同(初等数学研究和解题研究除外)，数学教育研究论文具有许多自身的特点，比如实证性、交叉性、跨学科性、综合性等，因此，可以广泛借鉴其他相关学科的研究成果和研究方式。
关于研究主题、研究题材、素材和类型的选取，有为解决特定问题的研究(可称之为问题引导型)、为特定目的的研究(如课题研究)、一般研究、综述性研究等。
关于研究方法，在坚持研究的科学性、实证性、综合性的同时，注重研究方法的多样性，确立实验研究的基本地位和重要性，有些研究必须依据实践结果，要借鉴其他学科(例如教育学、心理学、认知科学、历史、哲学、社会学、文化学等)的研究方法和成果，为数学教育所用。
第五，关于研究成果的形式，主要有报告、论文、学位论文、著作。
以较大型论文的写作为例，如毕业论文和学位论文，其特点是更加注重结构性、格式化和标准化，包括前言(引入)、国内外相关研究现状、研究主题、研究的意义、重要性和价值，研究类型与分量的对比，所要研究的主要问题、理论基础、研究设计与计划、研究程序与过程、(实验)研究结果、研究数据的分析与处理、结论与需要进一步研究的问题、文献与引用的问题等，都要遵从一定的规范，比如必须要有一定数量的参考文献，引文应注明出处等，有些甚至需要标注若干篇外文文献等。
第六，数学教师应如何尽快提高自己的研究水平呢?以下给出几条建议。
多读多看，尤其是加强范文、名著的阅读与选读，如选择数学解题和方法论研究的教师，就应该认真研读波利亚的相关著作，如《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》等。
多思多练，勤于思考，尝试写作。敢于投稿，不怕挫折，从小论文的写作开始。
采取多种研究方式相结合，包括个体研究、团体研究、合作研究，如有可能，向名师请教。
逐步熟悉并掌握研究程序，学会选题、查阅资料、制定研究计划、写出研究报告。
发表初等数学论文范文第6篇
［关键词］：民间科学爱好者（民科）、科学与社会、心理、巫术、科学传播
Astract：“Sciencefans”isageneralsocialphenomenonofChina.But,asaspecialgroupwhodevotedtotheso-calledscientificactivitiesoutsideofthesciencecommunity,theyaredifferentfromamateurscientists(orscienceamateur).Mostofsciencefanshavesimilarbehaviormodelandpsychologicaltendency,andthemostcommoncharacteristicisthattheycannothavepropercommunicationwiththesciencecommunity.Mostofthemhavemoreorlessparanoidpsychologicaltendency,anditcangiveanexplanationtosomeoftheircharacteristicssuchasoverhardworking,highlyself-sacrificeandself-complacence.TheirbehaviorlooksfromoutsidelikePerformanceArt,butinsomesenseitimpliessomeunconsciouslysorcerypsychology.Theresearchonsciencefanswillgiveanewdimensiontounderstandtherelationshipamongscience,publicandsociety,andwillprovidesomeadviceforsciencecommunication.
keywords：sciencefans;scienceandsociology;psychologicalanalysis；sorcery；sciencecommunication
在中国，存在着难以计数的民间科学爱好者（以下简称民科），不时引起强烈的社会关注。从其教育背景上看，他们往往没有接受过自己所献身领域的专业训练，也没有通过自学对其所从事的那个领域达到深入的了解；他们有着“理想主义”的精神追求和以苦行与牺牲为特征的生活态度；其“学术论文”不但结论惊人，而且善用众多“新词”、“大词”，并往往喜欢为自己涂上一层爱国主义亮色。民科作为一个在科学共同体之外从事所谓科学活动的特殊群体，并不等同于一般意义上的“业余科学爱好者”，其最大特征是不能与科学共同体进行正常的交流，并有其特殊的心理倾向。大规模民科的出现涉及到公众、科学与社会的诸多关系，值得进一步研究。
一，关于民间科学爱好者的研究
民科是一种非常普遍的社会现象，在几乎所有的科学领域都有他们的活动。有人致力于证明哥德巴赫猜想（被称为哥迷），有人致力于相对论，有人致力于建造永动机，有人一心要建造一个包罗万有的宇宙理论……
作为一种社会现象，民科问题由来已久，但一直没有引起学界的关注。中科院自然科学史研究所张利华和文献情报中心李宏曾写过一篇《对科技日报报道的“蒋春暄重大发现”的质疑》（/members/zlh/zlh1.htm），这是笔者所见第一篇从学术角度讨论民科问题的文章。北京大学刘华杰博士对此问题也有关注，曾对著名哥迷（致力于哥德巴赫猜想的民科）胡思之做过长篇访谈，可以作为研究哥迷的第一手资料。
笔者曾在《自然辩证法研究》2003年第7期发表了《民间科学爱好者的基本界定及其成因分析》，对此问题进行了简单的梳理。文中对民间科学爱好者（sciencefans）做了如下定义：
所谓民间科学爱好者，是指在科学共同体之外进行所谓科学研究的一个特殊人群，他们或者希望一举解决某个重大的科学问题，或者试图某个著名的科学理论，或者致力于建立某种庞大的理论体系，但是他们却不接受也不了解科学共同体的基本范式，与科学共同体不能达成基本的交流。总的来说，他们的工作不具备科学意义上的价值。
这个定义中，只有“不能交流”可以算做可观察的外部行为，而“希望”、“试图”和“致力于”等都与动机、目的等心理因素有关，不能直接观察。对此，只有通过对其行为的分析，和对它本人的访谈予以判断。可以想象，研究民间科学爱好者有如下几种材料：1，与民科的直接往来；2，对其本人及相关人物的访谈；3，大众媒体的报道；4，民科的文本（“科研论文”）。实际上，当我们以科学家为对象进行社会学研究时，同样要借助于这几种材料。
在定义了民科之后，笔者还定义了业余科学爱好者（scienceamateur）。这一群体同样人数众多，同样在科学共同体之外从事科学活动，比如天好者，他们经常观测星象，也能发现一些新的天体如小行星、彗星；或者如生物爱好者，他们制作标本，也能发现一些新的生物种类。他们与民科的区别在于：从外部看，他们能够与科学共同体进行交流；从心理上分析，他们不想现有的科学体系，一鸣惊人，而只是出于爱好，做一些具体的科学工作。
民间科学爱好者、业余科学爱好者乃至科学共同体内部的职业科学家是一个连续谱，其间不存在截然分明的界限。
二，民间科学爱好者的核心心理特征
作为一种社会现象，民间科学爱好者有它产生的社会心理根源和时代背景，也有其自身的心理特征。
现在，公众对于心理诊所已经逐渐接受，不再把去心理诊所咨询的等同于心理疾病或者精神病。每个人都有自己独特的人格（personality），也有其特殊的心理倾向。当某种心理倾向过于偏离了“通常的范围”，就被视为心理疾病。但是，“通常的范围”并不是确定的，它与不同地区不同时代的具体的社会环境有关。通过对民科的调查和归纳，可以发现，他们在心理上存在着某些共同的倾向。
归纳起来，他们最核心的心理特征是偏执。他们大多坚信自己的“科学结论”具有特殊的价值和意义；他们不能与科学共同体甚至与世俗社会达成正常的交流；他们常常生活在幻想的情境中，比如他们不能平实地理解他人的言论，会忽视对其不利的部分，夸大他们喜欢的部分；有时也会出现某种妄想的特征，比如把自己比作布鲁诺和伽利略，把自己的到处碰壁解释为权威对小人物的压制与迫害；他们普遍表现出对精神的强烈追求，仿佛是纯粹的理想主义者；他们的生存能力通常较差，有人甚至年过四十还要依靠父母、妻儿来维持生存，但是生活的艰苦反而加强了他们的悲壮感和神圣感；他们有很多人相信自己在未来会成为一代大师，这种信念使其困苦的生活镀上了一层光辉。
在心理学上，严重的偏执倾向被视为一种病症。偏执（paranoid）是一种功能性的障碍，它表现为对幻觉的坚持，即使在面对相反的例证，得不到任何社会支持的情况下，也坚信自己所相信的东西。这些幻想常常能够被偏执者解释得头头是道，并建立起内在的逻辑性。而且，症状越严重，越是能自圆其说。偏执有几种类型，其中一种叫做自大幻想（delusionofgrandeur），其表现是：“偏执者相信自己是个重要人物，比如圣母玛丽亚、百万富翁、大发明家等等，甚至是上帝本人。”而科学家，正是在民科大量产生的1980年代初期具有重大意识形态价值的重要形象。
当我们说一个人偏执的时候，通常隐含着这个人与多数人的想法不一致的意思，倘若与多数人的想法一致，可能会被说成执著甚至是信念坚定。随着社会宽容度的增加，整个社会越来越能够容忍不同观点的存在，不再要求每一件事情都看法一致。实际上，如果是美术爱好者，无论他采用多么怪异的画法，描绘多么怪异的对象，都可能被人接受，甚至可能真的一鸣惊人。即使现在不能被接受，他也可以期待被未来接受。再如民间棋类爱好者，无论发明出什么怪异的棋来，只要有人愿意接受他的规则，它就有存在和发展的权利，也可以组织相应的棋类协会。但是，如果他坚持认为自己发明的就是围棋，并要求围棋协会接受他的“成果”，他的被拒绝也是理所当然的。因而，对于民科来说，他们的偏执表现为两个方面：其一，他们坚信自己所从事的就是科学，并且有着无比重要的价值；其二，他们坚决要求科学共同体承认他们的“科学”。对于民科本人来说，由于有前者，自然会有后者。但是从旁观者的角度看，类比于民间美术爱好者和民间棋类爱好者，前者可以被宽容，而后者则只能被拒绝。
如果把偏执作为一种心理状态，那么，这种状态在程度上是连续的。很多业余科学爱好者乃至职业科学家都有类似的状态，甚至程度会很高。只不过，职业科学家可能被称作坚持真理，而不被认为是偏执，至少不会被认为是荒谬，而民科则可能被认为是执迷不悟。这里的确存在一个复杂的话语权问题，非本文所能讨论。然而，既然民科所热爱的对象是科学，并且他们本人也要求被科学共同体接受，那我们只能以科学共同体目前的标准来评判民科的工作。归纳起来，民科的行为方式与心理特征有如下方面：
1，交流的缺失
由于偏执，民科常常难以与他人进行交流。不仅与科学共同体难以交流，在其日常生活中也很难与人交流。这表现为两个方面：1）只肯倾诉，不肯倾听；你说你的，我说我的；2）不能正确理解他人的真实想法，只接受喜欢的观点，不接受不喜欢的观点，甚至把批评理解成支持。前者属于直接的人际交往，后者可以从直接交往及其行为方式中看到。
哥德巴赫猜想爱好者（哥迷）是人数最多的民科群体，在大众传媒上报道最多。数学家早就指出，凭初等数学证明哥德巴赫猜想，如同骑自行车登月球。哥迷常常宣称，即使是错了，也想知道自己错在哪里，但是，当错误被指出的时候，他们又不接受。下面是大众媒体对哥迷庄严的一段描述：
1985年，庄严满怀希望地把精心写就的数学论文邮给中国最权威的数学研究机构，不久，就收到了回信：“我们不认为此种方法有学术价值。”一时间，他真的有点儿蒙了。耗费了多少个不眠的夜晚啊，熬干了多少滚热的心血啊，织就了多少美妙的希望啊，轻轻的一句话就给枪毙了！但是庄严没有气馁，他在原有的基础上又进行了深入的研究。
大众媒体对民科的报道常常包含着很强的倾向性，由于这类报道经过了民科本人以及记者的夸大、虚构和改写，不能作为平实的材料直接使用。但是这些夸大、虚构和改写，正好可以作为症候阅读的材料，从中分析民科本人的心理，以及代表社会一般话语系统代表主流意识形态的记者的心理，从而了解公众对科学的一般理解。在对民科的研究中，经常会遇到这类文本。从这段文本可见，庄严曾经得到过回信，但他不愿意接受回信的判断，而是在“原有基础上”继续研究。又如：
刚开始，对于专家学者们对他的否定，刘国安总是很气愤，认为这些专家们水平太低。刘国安介绍说，江汉大学有一位教授过去对他的研究一直很关心，他第一次上门求教时，这位教授看了他的论文后，认为非常有价值，答应做工作帮他把发表，临走时还给他了几百元钱，鼓励他继续努力。可过了不久，刘国安觉得这位教授的态度大变，再上门时，教授就叫他不要再费力了，以后再联系，教授的态度也不热情。这事儿让刘国安纳闷了很长时间。后来碰壁碰多了，他也就习惯了。刘国安一方面感叹国内的数学专家不能慧眼识珠，另一方面他还担心别人把他的成果占为己有。
一方面，民科希望得到专家的认可，请专家评判；而一旦被否定，就认为专家水平低，不足以判断他们的“成果”。所以他们的请教只是名义上的，并没有交流的心态。很多哥迷希望国家权威学术机构为他们的成果召开论证会，由于政府官员的介入，曾经有两个专业数学机构（中科院数学所和东北大学数学系）先后为两位哥迷（蒋春暄和庄严）的证明进行过论证，结果一律是否定的，但是这两位哥迷依然声称自己已经证明了哥德巴赫猜想。
根据笔者个人与民科接触的经验，他们都非常喜欢倾诉，一说起来就滔滔不绝，但是他们不愿倾听，几乎不考虑听众的反应，既不理会对方是否听懂，甚至也不理会对方是否在听。
浙江温州的赵兴龙先生是一位热心于热力学永动机的民间科学爱好者。他自我宣传的方式是自费印刷材料，到各大学演讲。2002年6月27日，赵兴龙先生给我打来一个电话，在长达一个小时的通话中，我几乎没有说话的机会，只能努力地在他说话的间隙，插入我的问题。而赵先生在简短的回答之后，马上就会回到他的话题。他或许真是希望我支持他，但是他显然不想了解我对他的看法。我在插入的问题中，坦率地表达了我民科的基本看法。赵兴龙先生同意我把他作为案例写到书和文章中。下面是我事后根据回忆做出的一段电话记录：
我问：您从事热力学的研究，你都看过那些热力学的专业书籍？
答：这个热力学的书都是一样的，看过一本就够了。我以前搞电机，电机的书都看过。我以前是很喜欢看书的，我们图书馆我捐过1000元，是图书馆收到的第一笔捐款，当然现在捐十万、八万的都有……
我问：您写了这么多论文，给专业杂志投过稿吗？
答：专业杂志我也送过，比如我这个论文吧，我送给《物理》杂志，就是那个物理学会的，他们的那个编辑还是很有水平的，说可以考虑，但是要领导决定能不能发表，一问他们领导，领导说不同意发表。我们普通群众要指出科学家的错误是非常困难的……
问：可是物理类的杂志有很多，不只《物理》一家，你给别的杂志投过吗？
答：这个吗，有个道德问题。我们不能一稿两投。我给了这一家，就不能给另外一家。
问：可是《物理》杂志不是决定不用了吗，你就可以给别的杂志了。
答：我已经给《大学物理》杂志了，我看看他们是不是可以用，不过还没有消息。我们这个科研……
问：赵先生，我还想问一下，你平时经常阅读哪些专业杂志？
答：这个没有，我以前订一些杂志，现在都不订了。我觉得要集中精力，信息量太大分散注意力，对我们的研究没有什么好处……
问：赵先生，你既然给《物理》和《大学物理》投稿，总应该知道这些杂志都发表些什么样的文章吧？
答：这个不要紧，不发表也不要紧。我说了，我可以不断地讲，时间一长，我的观点就会潜移默化，大家就会接受。我们要回报社会，为社会做贡献……
当然，这个记录非常不完全，赵兴龙实际说的话要比我记录下来的要多得多。
由于偏执，由于无法进行正常的交流，民科对自己的处境，对周围的环境并没有清醒的认识。他们常常根据自己的意愿，改写所听到的内容，甚至把否定解释成肯定。比如赵兴龙说，北京林业大学刘家冈教授很支持他的科学活动，我根据赵兴龙提供的线索，与刘家冈教授通了电话，刘教授的确接待过一些从事物理研究的民科，有时也会些找人听他们宣讲，就像很多哥迷所要求的那样，告诉他们错在哪里。但是，刘教授说，从来没有发现有价值的思想。赵兴龙也不例外。赵兴龙还说浙江大学物理系沈建其博士支持他的研究，在他印发的材料中，甚至有一篇把沈署名为合作作者。我根据赵提供的电话，拨到了沈博士的宿舍，他的同屋说，沈建其从来没有同意过赵的观点。在赵兴龙印发的一期材料上，他宣称中共中央支持他，并在醒目位置提供了一幅照片，照片的内容却是他给中央某位领导发的一封特快专递的封套。只是他给人家发了一封信，还不知道人家看没看，就说人家支持他了。赵兴龙非常喜欢说某某教授看了他的材料说不出话来，他把这解释为对方不能否认他的理论，所以才哑口无言。
2，“全无敌”
民间科学爱好者坚信自己已经获得了巨大的科学成就，不愿接受任何反面的意见。而在他们遇到不能解释的反面意见时，他们往往不去正面回答问题，而是找出种种理由自我辩护。我曾在沈阳拜访过一位民科，他自费出版了一本名为《生命》的书，我在关于民科的系列文章中对他有过详细的描述。
“我们的谈话进行了近一个小时。一个小时中我用尽种种手段指出他的逻辑漏洞，希望他能有所反思，但是我遭到了彻底的失败。对于我的任何质疑他都能找到反击的借口。他时而相信此书能救苦救难，时而不在乎是否能得到俗人的理解，时而说自己达到了神佛的境界，超出了常人的理解范围。我深信，神人已经达到了全无敌的状态，百毒不侵了；他已经完全沉浸在个人的幻想之中，同这个他其实很想得到认可的世界不能有任何思想上的交流了。只能是他传道，他被崇拜，他自我修正教义，而不可能是他被别人改正。”
我把这种永远正确的状态命名为“全无敌”，这是偏执心理的一种表现。对于他不能回答的质疑，他要么回避，要么转移话题，要么牵扯出新的理由。这里倒是可以应用拉卡托斯的“硬核－保护带”理论来解释。拉卡托斯指出：“经验不能否证理论，因为任何理论都可以通过适当地调整它背景知识，把它从经验的反驳中永远地拯救出来。”所以，民科几乎是不可能被说服的。在与赵兴龙先生的通话中，我发现他也处于全无敌的状态之中。
有些民科还喜欢给科学家找毛病，一旦找到一个，会把它极力夸大。其实很多时候完全是出于自己的误解。比如赵兴龙就找到了很多科学家的错误。其中一个是这样的：
2000年出现一个奇特的天文现象，十五的月亮十七圆。因为望的时刻发生9月14日（农历八月十七）北京时间3时37分，已经是农历十七的凌晨。赵先生说，这是错的，因为农历每天的起点是早晨5点，不是零点。所以9月14日3时37分仍然是农历八月十六，民间叫后半夜。对此，赵兴龙表现了超常的气愤，他在他散发的材料中写道：
有一年科学家提出“今年中秋，十五月亮十七圆”。科学家上了电视，报刊大量宣传，科学家成了名星。“外国月亮比中国圆”是臭知识。“十五月亮，十七圆”毫无疑问是对中国人民的感情损害。提出这个科学的科学家根本就不想一想农历的每一天开始于哪一个时间。不弄清楚农历的每一天开始于何时，怎么研究农历，怎么就随便上电视出风头、大讲“十五月亮十七圆”呢？
3，自大与悲壮
所有的民间科学爱好者给自己的成果赋予极高的价值。蒋春暄、庄严、赵兴龙莫不例外。比如发明地球抛月学说的冯宜全写道：“‘地球抛月学说已经揭开月球起源历史’，‘将是近代科学最伟大的发现’，‘应并获诺贝尔天体物理奖、瑞典克雷福特地学奖和丹麦安德森天体物理奖’。”
民科表现出一种刻苦顽强、敢于牺牲的精神，他们的刻苦与牺牲远远超出了常人，甚至媒体中描述的陈景润和蒋筑英也未必能比。民科的个人生活大多比较糟糕。尽管其中有些人不乏才智，但是他们却不愿变通，不愿暂时放弃自己的“科研事业”，解决好生存问题。更多的民科无法融入社会，生存能力极差。有些人甚至放弃了个人生活，乃至倾家荡产、借债度日。
在2002年8月，北京国际数学家大会会场，我亲眼目睹了一位靠借债度日的哥迷，来自天津的农民刘先生，他的衣着就如一位正要出工的普通民工，我相信他已经把自己最好的衣服穿了出来。大会注册费几千元，很多民科自费参加，刘先生就是正式注册代表。我见到他的时候，他正在找会务组要求安排小组发言，遭到了拒绝和推诿。组委会一位负责同志对我说：这次大会没有门槛，任何人只要交钱就可以注册参会。但是学术发言则要经过论文审核。很多刘先生这样的哥迷要求发言，都被拒绝了。刘先生对我说，没有人支持他的事业，借钱很难。但是刘先生却显得精神饱满，记得他慷慨激昂地表达了这样的意思：人总是要有点精神的，你要是都想着自己，那国家怎么办？像哥德巴赫猜想，中国人不证，不全让外国人给证了？
民科的四处碰壁，不够宽裕的生活，反而使他们产生一种悲壮的感觉。他们常常把自己与那些被冷落的孤独的先知相比，与遭到迫害的哥白尼、伽利略和布鲁诺相比。比如冯宜全：
没有生活费和老冯所需的科研经费，冯家生活主要是靠老冯的妻子郑翠英一个人每月500多块钱的工资维持，“像我们这样贫困的家庭，唐山有几家？”对那段刻骨铭心的经历郑翠英回忆说，“老冯自学了30年，搞了20年科研，花了3万多块钱，全从我的工资中挤出来。20年来，我们没节没年没生日，每天我中午下班，他都伏案劳作，我就去做饭。我母亲是我们死硬的反对派，说人家都不搞的，这么多年你们还搞？总恼。我不是没脑子的人。就是因为他这科学很重大，如果现在不搞撂下去了，只能是国家的损失，我想的是这个。”
这种说话方式，显然已经将自己比作被迫害的科学先知了。
4，行为艺术与巫术
冯宜全在《南方周末》上的报道引起了读者的反响，有表示支持的，有激烈反对的。支持者的意见反映了公众对科学活动的误解，反对者之中，一位贺承军先生指出：“对他的研究，我斥之为值得重视的思维习惯产生的毫无价值的垃圾。如果这种思维与文本还有价值的话，就是整体上类似于一场历时数十年的行为艺术——由他及其家人历时三十年、自编自导自演的关于‘科学研究’的行为艺术。”
这个评价虽然刻薄，但是对于民科行为的实质给出了一个很好的比喻。很多民科的行为，确实让人有行为艺术的感觉。2002年，地震出版社出版了一本挑战或者质疑相对论的文集《相对论再思考》，收入六十多篇“论文”。序言中有这样一段话：
为了贯彻百家争鸣的方针，推动相对论问题的学术讨论，自1999年9月起，“天地生人学术讲座”开辟了“关于爱因斯坦相对论的争鸣”系列学术讨论，已举办32次。2000年7月29－30日，在北京召开了第一届全国爱因斯坦相对论问题学术会议。会议代表除北京学者，还有来自上海、天津、广州、珠海、成都、贵阳、西安以及山东、山西、河北等地的学者。会议集中讨论了三个议题：（1）“光速不变原理”是否成立；（2）洛伦兹变换是否正确；（3）爱因斯坦相对论适用范围。会议讨论自始至终十分热烈，促进了不同观点专家间的认识、交流和团结。在代表们的一致要求下，会议决定在适当的时候召开第二届全国爱因斯坦相对论问题学术会议，并成立了第二届会议筹备组；还决定出版《相对论再思考》论文集。
本论文集的编辑出版坚持百家争鸣方针，在保证一定学术质量的前提下，容纳各种学术观点。除了系列讨论的参加者和第一届会议代表所提交的论文，我们还扩大范围，邀请其他有独立观点的学者供稿。这样做的目的是想使《相对论再思考》成为近年来中国有关相对论研究中独立观点的一次集大成，以使广大学术界作深入讨论和进一步研究的参考。
如果不了解内情，但看其序言本身，一般读者都会相信这是一部高水平的学术论文集。其实这是一部民科的文集，没有物理学意义上的价值。艺术家徐冰曾经用了两年的时间造了4000多个汉字，用这些汉字印成了一幅幅酷似线装书的纸页，它只是看起来像古书而已，因为里面所有的字都是徐冰自己造的，在字典里根本找不到。这部《相对论再思考》也只是看起来像是论文集。我想他们的讲座、讨论，会使他们产生更多的从事学术活动的幻觉和。更像是行为艺术了。
从局外人的角度看，民科的行为类似于行为艺术。但是从其自身看，则与行为艺术有着本质的区别。这是因为一个行为艺术家知道自己在做什么，知道自己在做艺术。而民科则认为自己所从事的真的是科学。在我看来，民科的行为有更多的巫术特征。
物理学家费曼曾经讲过这样一个故事：
二战结束后，南太平洋某地土著中出现了一种奇特的祭拜仪式。他们在原来的美军机场旁盖了间小茅屋，屋顶插着几根竹子，还有人坐在屋里，头上绑着两块木头。大概还会有人手举小旗在机场上跑来跑去，不停地仰望蓝天。这个场面一定让人类学家感到兴奋，而谜底却让人啼笑皆非。他们是在等待飞机。他们在战时看惯了美军飞机降落的场景，也常能分到机舱里卸下的东西。美军撤离后，这些好处便再也没有了。于是他们用木块来模拟耳机，用竹竿来模拟天线，重复他们所观察到的美军的操作过程，期待轰隆隆的飞机从天而降。
民科的行为与此相似，他们模拟科学共同体的某些行为，写论文，进行学术讨论，参加学术会议，在论文的写作上也尽可能地模仿，比如内容摘要、主题词、索引、致谢等，一应俱全。一方面，通过这种模拟，他们能够获得一种替代性的满足，就如唱卡拉OK一般模仿歌星一样；另一方面，他们认为这种方式真的就是他们所模仿的内容。
巫术不仅是原始人与世界打交道的方式，现代的所谓文明人在走投无路的时候，也难免会求助于巫术。人类学家把实行巫术的途径分为两类，一类通过模拟，一类通过感染。
传染类巫术希望通过与对方有关联的物品对其行为进行控制，或者获得与之相似的性质。比如原始人把老虎皮披在身上，就以为自己可以获得老虎的威力。而如果用一个老虎面具带在头上，则属于模仿。再如果这个面具上装饰上真正的老虎须，便把两者结合起来了。
民科的巫术也是如此。比如冯宜全认为：“任何学说一经正式出版就是科学权力的公认，就是永久性的科学文献，这与其价值公认毫不相干。我在学术界不断发展，在科普界和报刊界不断地做科普介绍，了解的人多了，不就形成一个科学理论啦？”赵兴龙先生不断地到各大学散发材料，宣讲他的理论，认为这样就能潜移默化北大浙大的教授。以提出人类体质进化新说的而知名的民科朱海军也有类似的行为和看法。显然，民科不仅希望通过这种模拟而获得替代性的满足，更希望通过这种方式被科学共同体接受。这是一种不自知的巫术。这种巫术是针对科学共同体实施的。
而在赵兴龙散发的资料中，还可以看到另一类具有巫术心理的句子：“正月初一至初八，推着黑板在五马街向群众讲解创新科学。初九停讲，即发生了二•二四民航客机坠落温州的空难。……预定到杭州讲学，二次均未能成行，发生龙港大桥被撞断，金温铁路塌方，火车出轨。”这类句子非常之多，显然，赵兴龙先生已经把自己想象成为一位能够感动天地的重要人物了，并不是所有民科都有这样的想象力的。当然，要更深入地分析赵兴龙心理，还需要借助更深入的访谈。
三，结语
民间科学爱好者问题是个复杂的社会问题，其中纠结着科学与大众传媒、主流意识形态、大众语境、公众心理及个体心理多方面的关系。而从社会生态学的角度看，个体心理的生成在很大程度上源自于外在生态的塑造。在这多方面的关系中，前面诸种因素构成的生态环境对民间科学爱好者的影响力是强大的。因此，从社会生态学的角度进行分析，可为我们对民科的行为及心理做进一步的解读。
在《民间科学爱好者的基本界定及其成因分析》中，对民科形成的社会背景进行了一些分析。现简述如下：
作为一个在科学共同体之外从事所谓科学活动的特殊群体，民间科学爱好者生存方式和精神状态令人困惑。他们能够数十年如一日，过着艰难困苦的生活，几乎没有物质追求，常被视为纯粹的理想主义者。这可以从他们受教育的年代可以寻找到答案。从科学爱好者的教育背景上看，他们往往没有接受过自己所献身领域的专业训练，也没有通过自学对其所从事的那个领域达到深入的了解。但他们基本上都受过理想主义教育并经历过1980年代中国“科学的春天”，有着牺牲与苦行的精神动力。
长期以来，对哥迷及其它民科的正面报道在大众传媒上时有出现。这些文本记录了民间科学爱好者的个人信息以及他们理解和从事科学活动的方式。从这些文本中可以进一步发现，能够被民间科学爱好者作为献身对象的科学领域总是具有较大社会影响和意识形态价值的那些，只有这些领域能够满足他们的争光理想，当然，也只有这些领域能够为其所知。
同时，传统科普传中的特定导向及其与某些意识形态的结合所构成的大众语境也对民科现象的形成起到助推的作用。以《十万个为什么》为代表的传统科普是以普及具体的科学知识为主要目的的，很少涉及到科学共同体的科学活动。偶有涉及，也常和大众传媒一样，给出某些模式化的描述。比如，在科普书刊和大众传媒上，流传着有很多科学天才灵机一动或者灵光一现做出重大发现的故事。从“阿基米德的浴缸”到“牛顿的苹果”、从居里夫人的“百炼成镭”到“六六六”的发明……等等，这类故事符合“只要功夫深，铁杵磨成针”、“失败是成功之母”等民间格言，也与苦行和牺牲的精神相吻合。但这些描述把科学发现的丰富过程简化为最后一步的灵感与机遇，简化为拍脑门出点子；或者更多地强调培根式的归纳法发现模式，因其忽视了深层的在先的理念，使科学发现蜕变为简单的技术劳动。这些叙事模式因其存在着对科学活动的某些误读，甚至其个案也为科学史学者所质疑，但因其富有戏剧性，或因其符合意识形态话语，具有强大的生命力。因而这类故事不断产生，不断流传，已经成为传媒及受众潜意识中的思维方式，成为大众语境的一部分。这样，大众语境对科学活动的误读，与某种意识形态背景结合起来，就造就了轰轰烈烈的民间科学爱好者群体。苦行与牺牲为其行为提供了意识形态的正的价值，铁杵成针与灵机一动之类的叙事原型为其行为提供了方法论上的合理性。民间科学爱好者一面年复一年地打磨铁杵，一面期待灵光降临。
时至今日，这种语境依然存在,由于主流意识形态的长期肯定,具有强大的惯性。这使得民间科学爱好者常被看作具有献身精神的理想主义英雄。很多人即使在表示批评时也要强调，他们的精神是好的；科研机构也不愿直接否定他们，更倾向于委婉地推托；相反，民间科学爱好者及其同情者则常常理直气壮地指责科学共同体在打击人民群众爱科学搞科学的积极性。
民科现象作为一种存在着的社会现实，对其视而不见或者简单地斥之为荒谬都不能解决问题。作为社会问题，民科现象也不是孤立的，他与社会的方方面面有着千丝万缕的联系，在社会各界都有不同程度的支持者。这反过来意味着，民科的深层心理正潜伏在社会的大众话语系统和意识形态之中。因而，有必要从学理的层面上对这一现象进行深入的分析。正如一个特殊的病例会使医生对人体有特殊的理解，同样，对民科进行案例分析，可以对民科所纠结着的问题有深入的了解，既有利于我们解决具体的社会问题，也可以为将来的科学传播提供借鉴。
参考文献
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