高考全国卷压轴题的探究与拓展

摘 要：本文对2011年高考全国卷压轴题做了研究， 得到圆锥曲线的一个新性质及其拓展.

关键词：圆锥曲线；虚焦点

唯物辩证法认为自然界、人类社会和人类思维等领域的任何事物都是和谐与对立的统一体. 数学，作为人类思维的载体，它同样也是和谐与对立的统一体.

圆锥曲线，数学中的一个概念，当然是对立与和谐的. 如果单从对立的角度看，它们统一的定义中离心率的范围不同，这是对立思维模式. 但是，如果从整体和全面来看，圆锥曲线就是一个和谐的统一体，不但有统一的定义，而且圆锥曲线很多有趣的性质都是同时出现的， 在以往的相关参考文献中都给出很多统一的性质.在本文中，笔者对一道高考题做了研究，得到圆锥曲线一个性质，以供大家参考.

2011年全国大纲理21题第（1）问是有关圆锥曲线的一道综合题，具体如下，已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－的直线l与C交于A，B两点，点P满足++=0

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）略．

图1

由上题我们自然会问以下问题.

问题1. 推广到一般情形，椭圆的焦点弦若具有上述性质则其斜率肯定只与离心率有关，那么焦点弦的斜率满足什么样的条件就会有同样的性质呢？

问题2. 双曲线和抛物线会有类似的性质吗？

笔者从问题1出发，得到了圆锥曲线的一个新的性质.

性质1. 设椭圆C：+=1，a>b>0，过F1（c，0）且斜率为k=（

图2

证明：由F1（c，0），得l的方程y=（x－c）.

代入+=1，利用e=和a2－c2=b2化简得：4c2x2－2a2cx－3a2c2+a4=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，y1+y2=（x1－c）+（x2－c）=－.

因为++=0，

所以x0=－（x1+x2），y0=－（y1+y2），于是x0=－，y0=.

所以+=+==1.

注：在性质1中， 当斜率k=－时，结论也成立；当焦点F1（c，0）变为F2（－c，0）时，结论仍然成立.

?摇鉴于上述性质中斜率、焦点都有一定的对称性，笔者做了进一步的研究，得到性质2. 为了叙述方便，在此引入新的定义.

定义1. 对于椭圆C：+=1，a>b>0，称F3（0，c），F4（0，－c）为椭圆的两个虚焦点. 对于椭圆C：+=1，a>b>0，称F3（c，0），F4（－c，0）为椭圆的两个虚焦点.

定义2. 对于双曲线C：－=1，a>0，b>0，称F3（0，c），F4（0，－c）为双曲线的两个虚焦点. 对于双曲线C：－=1，a>0，b>0，称F3（c，0），F4（－c，0）为双曲线的两个虚焦点.

性质2. 设椭圆C：+=1，a>b>0，过虚焦点F3（0，c）且斜率为k=的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P满足++=0，则点P在椭圆C上.

证明：同性质1.

相应于问题2，双曲线C：－=1，a>0，b>0，过焦点F1（c，0）的所有的弦确定的点P都不具有上述性质. 例如：

设双曲线C：x2－=1. 焦点F1（2，0），过直线l：y=k（x－2）， 满足l与双曲线C交于A，B两点，且P满足++=0. 我们断言对于任意的k∈R，P不在双曲线C上. 因为，直线l：y=k（x－2）代入x2－=1有（3-k2）x2+4k2x－4k2－3=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，y1+y2=；由++=0可得x0=，y0=；若P（x0，y0）在双曲线C则有2－=1，方程无实根.

性质3. 设双曲线C：－=1，a>0，b>0，过虚焦点F3（0，c）且斜率为k=的直线l与双曲线C交于A，B两点，点P满足++=0，则点P在曲线C上.

证明：同性质1.