数学教学中应用函数思想进行解题

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究.它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点.一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f（x）、f（x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型.另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题.

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决.

1.三角中的函数思想

三角函数也是一种特殊的函数，它除了具有一般的函数性质外，还有其特殊之处，因此运用函数思想来解题会使学生在加深理解的同时，培养与提高其创新思想.

例1若cos2θ+2msinθ-2m-2

解析本题为恒成立问题，从函数思想出发，则转化为二次函数f（x）=x2-2mx+2m+1=（x-m）2+2m+1-m2 在-1≤x≤1下求m的范围问题.

2.向量中的函数思想

向量作为数学中的一种工具，有其重要性.它的方向、模与数量积等很容易被迁移到函数问题的情景之中，这样在加深向量理解的同时，也对函数思想的应用进一步深化.

例2已知向量i=（1，0），j=（0，1），函数f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的图像在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且函数当x=1时取得极值.（1）求f（x）解析式；（2）求f（x）单调递增区间；（3）求f（x）极值.

解析本题为综合题，它融合了向量、导数等多方面知识，而（1）的解决是问题的关键.它要求出f（x）的解析式，需三个条件，在这三个条件中，第二个条件较为复杂，它使导数与向量达到完美的结合，因为（a-c）i-12bj=（a-c，-12b），所以切线的斜率为 -12b1a-1，从而f′（2）=-12b1a-1，实现了向量与函数的转化.

3.解析几何中的函数思想

解析几何的特点就是用代数的方法研究几何问题，因此代数中方法可以迁移至解析几何中，而函数思想作为代数中一种常用的思想，在解析中自然有其展示的空间，使得问题简化.

例3已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积最小值是.

解析对此题我们为明确圆在坐标系中的位置，可把圆配方：（x-1）2+（y -1）2=1，如图.

如设|PC|=d，由题意可列出SPACB关于PC=d函数式：SPACB=2，SAPC=2×112×1×|PA|=|PC|2-1=d2-1，求函数的最小值得之.

4.复数中的函数思想

复数作为数集的完备形式，其中心是：建立复平面上的点与向量的一一对应关系，使得代数形式与三角形式结合在一起，其辐角最值的问题很容易转化为函数问题.

例4设z=3cosθ+2sinθ，求函数y=θ-argz （0

解析本题要求角的最大值，只需求角的某一个三角函数即可.

tan（argz）=2sinθ13cosθ=213tanθ，

tany=tan（θ-argz）=tanθ-213tanθ11+213tann2θ=1131tanθ+2tanθ.

由此可转化为函数求最大值问题.

总之，函数思想是中学数学重要的思想，它不但把数学的各个分支紧紧地联系在一起，而且能够培养我们用联系变化的观点看待、分析、解决问题的能力，因而函数思想的理解与应用可以说是提高学生综合素质的一个有效途径.