一个行列式的计算技巧

【中图分类号】O151.22【文献标识码】A

本文以一个行列式的计算为例，先给出通常的解法，接着针对行列式的结构特点，并利用分块矩阵的性质，给出了一个非常简洁的计算方法，从而拓宽了行列式的计算.这也说明一题多解能有效地开发学生的创造灵感，培养训练学生的发散性思维及创新能力，最终达到提高学生的综合素质的目标.

本文以下面的这道中科院的考研题为例：

计算n阶行列式

Dn=1+a1+x11a1+x21a1+x31…1a1+xn

a2+x111+a2+x21a2+x31…1a2+xn

a3+x11a3+x211+a3+x31…1a3+xn

1111

an+x11an+x21an+x31…11+an+xn.

解法1对Dn的第一列进行拆项，并提公因式

Dn=1+a11a1+x21…1a1+xn

a211+a2+x21…1a2+xn

111

an1an+x21…11+an+xn+

x111a1+x21…1a1+xn

111+a2+x21…1a2+xn

111

11an+x21…11+an+xn

前面的行列式第一列乘（-1）加到第i列，后面的行列式第一列乘（-xi）加到第i列（i=2，3，…，n）；然后前面的行列式第一行乘（-1）加到第i行，后面的行列式第一行乘（-ai）加到第i行（i=2，3，…，n+1）

=1101x21…1xn

-111+a11-11…1-1

-11a2111…10

1111

-11an101…11+x1110111…11

-a111101…10

-a211111…10

1111

-an11101…11

前面的行列式第i列加到第一列，后面的行列式第i列乘（-1）加到第2列（i=3，4，…，n+1）

=1+x2+…+xn101x21…1xn

-n11+a11-11…1-1

01a2111…10

1111

01an101…11+x1111-n111…11

-a111101…10

-a210111…10

1111

-an10101…11

前面的行列式以第一列展开，后面的行列式以第二列展开

=（1+x2+…+xn）1+a11-11…1-1

a2111…10

111

an101…11+n01x21…1xn

a2111…10

111

an101…11+x1（n-1）-a1101…10

-a2111…10

111

-an101…11+x11111…11

-a2111…10

111

-an101…11

=（1+∑n1i=2xi）（1+∑n1i=1ai）-n∑n1i=2aixi+x1（1-n）a1+x1（1+∑n1i=2ai）

=1+∑n1i=2xi+∑n1i=1ai+∑n1i=2xi·∑n1i=1ai-n∑n1i=2aixi+a1x1-na1x1+x1+x1∑n1i=2ai

=∑n1i=1ai·∑n1i=1xi+∑n1i=1ai+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi+1.

解法2

引理1：设A，B分别是n×m，m×n矩阵，Ik是k阶单位阵.则In-AB=Im-BA.

证明因为01Im

In10-1Im1B

A1In01Im

In10=01In

Im10Im1B

A1In01Im

In10=In1A

B1Im，则Im1B

A1In=In1A

B1Im .又因为Im1B

A1In=Im10

-A1In·Im1B

A1In=Im10

-A1In·Im1B

A1In=Im1B

01In-AB，

In1A

B1Im=In10

-B1Im·In1A

B1Im=In10

-B1Im·In1A

B1Im=In1A

01Im-BA，所以Im1B

01In-AB=In1A

01Im-BA.即：In-AB=Im-BA.证毕

令α=（a1，a2，…，an）Τ，χ=（x1，x2，…，xn）Τ，e=（1，1，…，1）Τ∈￡n，则

Dn=In+αeΤ+eχΤ=In-（-α，e）eΤ

χΤ.由引理1得：Dn=I2-eΤ

χΤ-α，e=1+eΤα1eΤe

χΤα11+χΤe=1+∑n1i=1ai1n

∑n1i=1aixi11+∑n1i=1xi=1+∑n1i=1ai1+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi=∑n1i=1ai·∑n1i=1xi+∑n1i=1ai+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi+1.

因此对于这个行列式来说，我们不难发现利用分块矩阵的性质求解要比通常的解法简洁明了，因此这就为行列式的计算开辟了一个新的计算技巧.