函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S=（50-x）

故函数关系式为：S=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：S=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥

故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

x2+2x＞0 x＞0或x＜-2

函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性．

解：2∈[-1，3]而2∈[-1，3]

定义域区间[－1,3]关于坐标原点不对称

函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）

函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数．

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。