函数定义域

在考查中对定义域的单独考查很少，而一般情况常常是通过对函数的性质或应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时，必须树立“定义域优先”的观点。在解题中要强调定义域对解题结论的作用和影响。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。

例1：某单位计划建筑-矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50一x)米，由题意得：

S=x(50-x)故函数关系式为：S=x(50-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：o

即：函数关系式为：S=x(50-x)(0

在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这-点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、 函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最值．

解：•．•y=x2 -2x-3=(x2 -2x+1)-4=(x-1)2 -4

．•．当x=1时，ymin = -4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。

这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2 十bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

(1)当-

(2) 当- >p时，f (x)在[p，q]上单调递减函数 f(x)max= f(p),f(x)min=f(q)

(3)当p ≤-≤q时，y=f (x)在[p，q]上最值情况是：f(x)min =f(-)=f(x)max=max{f(p)，f(q) }．即最大值是f(p)，f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

一2≤1≤5

f(-2)=(-2)2 -2×(-2)-3=-3

f(5)=52 一2×5-3=12

f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=12

函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最小值是-4，最大值是12．

在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、 函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。

例3：求函数y=4x-5+ 的值域．

错解：令t=,则2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+)2 +≥

剖析：经换元后，应有t≥o，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，所以当t=0时， ymin =1．

故所求的函数值域是[1，+∞)

利用换元法求值域和最值时，必须注意换元后要转化变量的范围，避免以上错误结果的产生。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，注意到函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

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