浅谈函数定义域的作用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2013）09-0193-02

摘要：本文主要从五个方面通过举例来阐述定义域的作用，强调定义域在解有关函数问题重要性，培养学生严谨敏锐的思维能力。

关键词：函数 定义域 对应法则

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是确定函数图象与解析式的关键，在函数中有着很重要的作用。看似函数的定义域（或变量的允许值范围）非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。现就函数定义域的作用小结如下：

一、确定函数关系式

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

故函数关系式为：.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为： （ ）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。

二、确定函数最值

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数在[-2，5]上的最值.

解：

当 时，

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，没有注意到定义域的限制。

其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间 上，它的最值应分如下情况：

⑴ 当时， 在 上单调递增函数

；

⑵ 当时，在上单调递减函数

；

⑶ 当 时， 在上最值情况是：

，

.即最大值是 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

函数在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便很容易做出。

三、确定函数值域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数的值域.

错解：令

故所求的函数值域是.

剖析：经换元后，应有，而函数在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

四、确定函数单调性

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数 的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为.

令，知在 上时，u为减函数，

在上时， u为增函数。

又 .

函数在上是减函数，在

上是增函数。

即函数 的单调递增区间，单调递减区间是。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。

五、确定函数奇偶性

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数 的奇偶性.

解：

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在确定函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域起着至关重要的作用，若能思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，不忽略定义域在函数中的作用。就会避免解函数问题的一些错误。

参考文献：

[1]王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社.1998

[2]田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社.1993

[3]庄亚栋主编.高中数学教与学（99.2、99.6） .扬州：中学数学教与学编辑部出版.1999