函数三剑客之函数定义域

摘 要： 函数作为高中数学的主线，贯穿整个高中数学的始终，而函数的定义域是构成函数的三要素之一，注重定义域对解题结果的影响，培养学生良好的解题习惯，提高他们的解题能力.

关键词： 定义域 值域 奇偶性 函数最值

函数作为高中数学的主线，贯穿整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，若对函数的定义域没有特别的说明，则似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会得到错误的答案，所以在解函数题中应向学生强调定义域对解题的作用与影响，培养学生良好的解题习惯对提高学生的数学素养有很大的作用.

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的.如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（100-x）米，由题意得：

S=x（100-x）

故函数关系式为：S=x（100-x）.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于100的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就表明学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出思维的严密性和良好的解题习惯.

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：

例2：求函数y=4x-5+ 的值域.

错解：令t= ，则2x=t +3

y=2（t +3）-5+t=2t +t+1=（t+ ） + ≥

故所求的函数值域是[ ，+∞）.

解析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，y =1.

故所求的函数值域是[1，+∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要.若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性.

三、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题.如果忽视定义域范围，就会导致最值的错误.如：

例3：求函数y=x -2x-1在[-2，5]上的最值.

解：y=x -2x-1=（x -2x+1）-2=（x-1） -2，

当x=1时，y =-2.

若按平时的解题思路，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维定势的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-

（2）当- >q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）当p≤- ≤q 时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-1=-1

f（5）=5 -2×5-1=14

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=14

函数y=x -2x-3在[-2，5]上的最小值是-1，最大值是14.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，则能体现出学生思维的灵活性.

四、复合函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：

例4：指出函数f（x）=log （x -2x）的单调区间.

解：先求定义域：

x -2x>0

x>2或x

函数定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）.

令u=x -2x，知在x∈（-∞，0）上时，u为减函数，

在x∈（2，+∞）上时，u为增函数.

又f（x）=log u在[2，+∞）是增函数.

函数f（x）=log （x +2x）在（-∞，0）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.

即函数f（x）=log （x -2x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（-∞，0）.

在处理复合函数单调性问题时遵循同增异减.如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对复合函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考求解该函数的定义域，判断该区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：

例5：判断函数y=x ，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，

函数y=x ，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论：

f（-x）=（-x） =x =f（x），

函数y=x ，x∈[-1，3]是偶函数.

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，定义域都起了至关重要的作用，因此重视定义域对解题结果有无影响，就能提高学生解题分析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生数学素养，进而有利于培养学生思维的创造性，真正把数学应用于生活实际中.

参考文献：

[1]刘春艳.从学科本质出发培养学生提问能力[J].人民教育，2012（12）：40-41.

[2]庄亚栋主编.高中数学教与学（99.2、99.6）.扬州：中学数学教与学编辑部出版，1999.