数学思想方法在不等式中的应用

数学思想是数学研究活动中解决问题的根本方法,是数学的灵魂和生命力。因此,在教学过程中,要重视数学思想的提炼、渗透。分析近几年的高考试题,高考中重点考察学生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化或化归思想。在不等式解题中,若能恰当地运用这些思想方法,可使许多复杂问题化难为易,化繁为简,从而达到优化解题过程,提高思维能力的目的。

一、函数与方程思想

函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。因此,在教学中要培养学生如何建立函数关系或构造函数,运用函数的图像、性质去分析问题,解决问题。

例1已知x∈(0,+∞) ,求证:

根据不等式的结构特征,恰当地构造辅助函数 ,此时,若均值不等式取最值时等号不成立,常常考虑利用函数的单调性来解决。

二、分类讨论思想

分类讨论是数学能力培养的一个重要组成部分,在解某些数学问题时,当在整个范围内不易解决时,往往可以将这个大范围划分成若干个小范围来讨论研究。分类讨论只能确定一个标准,必须坚持不重不漏的原则。

例2.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|。

(1)求f(x)的最小值;

(2)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞)解不等式h(x)≥1

评注:分类讨论的关键是要根据问题实际找到分类的标准,本题函数解析式中含有绝对值,所以首先必须分类讨论去绝对值,其次在解不等式中必须对判别式进行讨论,当>0时还需讨论根的大小。分类时标准的确定须使任何两类交集为空集且并集为全集, 这样才能在解题过程中,做到分类合理, 并力求最简。

三、数形结合思想

数与形是现实世界中客观事物的抽象与具体的反映。数形结合思想,其实质是将代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来,通过对图形的处理,实现代数问题几何化,几何问题代数化。解题时要充分进行数形转换,借助数的逻辑推演与形的直观特性求解,既直观又深刻。

例3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少?

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知;

当x=3,y=5时可获得最大利润为27万元。

评注:本题从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型,用平面区域表示二元一次不等式组,使学生从中体会到数形结合思想的实质。

四、转化或化归思想

等价转化是把复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题的一种重要的思想方法。诸如代数中的恒等变形,几何中的图形变换等都是化归思想的具体运用。等价转化要求转化后的结果仍为原问题的结果,因此在转化过程中前因后果必须是充分必要的。在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,运用转化或化归,可以化难为易,驾轻就熟,有利于培养学生思维的针对性和灵活性。

例4.当x∈R时,不等式m+cos2x

评注:本题属不等式中恒成立问题,可通过分离常数转化为求函数最值问题,即m-√2m-1小于3+2sinx-cos2x的最小值。通过几次等价转化,把原题棘手的问题转化为显而易见的问题,然后利用相关知识来解决,这是转化或化归思想的巧妙之处。

总之,要掌握好不等式,必须掌握好数学中的各种思想方法。只有将知识与思想方法并存,才能更深刻的理解不等式,从而灵活的运用不等式。