距离最短问题专题探究

2010宁德第25题:如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM。

⑴ 求证:AMB≌ENB;

⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;

②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;

⑶ 当AM+BM+CM的最小值为√3+1时,求正方形的边长。

分析:本题在最短矩离这一问题中,利用了数形结合的思想,综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程:认知――论证――应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系,这里隐藏着由旋转角60°得出的等边三角形,从而得出BM=MN;第二小问设计的是一个探究过程,让学生综合学习过的基本数学知识进行探索,看学生对“两点之间,线段最短”的掌握,要求学生具备转化能力,建模能力等;第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用,拓展,体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律,是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。

现在我们将一起探索距离最短这一专题。其实这一类归根结底还是“两点之间,线段最短”的应用。我们要紧紧抓住这一点,以题变解题思维不变来应对这一类题型。

例1.(1)在直线l的异侧有A、B两点,在直线l求点P,使AP+BP最小。

(2)在直线l的同侧有A、C两点,在直线l求点P,使AP+CP最小。

分析:要解决这个问题,找出点A关于直线L的对称点A',连结A'B与直线L于点P,则点P就是到A、B两村庄的距离之和最短的点的位置。

理由: 根据轴对称的性质可知PA=PA',如果另外任选一点P'(异于P),连结P1A、P1B、P1A,则有P1A=P1A。在P1BA中, P1A+P1B>BA=PA+PB=PA+PB。

即P1A+P1B>PA+PB。

因此,PA+PB为最短。

由此可见,轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。

例2.如图,点P在∠AOB内部,且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D,使PC+CD+DP之和最小。

分析:首先主导思想还是“两点之间,线段最短”,解决方法可以利用轴对称找到两个对称点,使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间,线段最短”。

思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗?

例3.(1)如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为;

(2)几何拓展:如图2,ABC中,AB=2,∠BAC=30°若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小,求这个最小值;

(3)代数应用:求代数式PC+PD(0≤x≤4)的最小值。

分析:第一步,利用轴对称,很容易找到B关于直线AC的对称点B′,然后连接B′C就可。第二步,利用作点B关于AC的对称点B′,过B′作B′NAB于N,交AC于M。此时BM+MN的值最小。第三步,构造图形如图所示,

其中:AB=4,AC=1,DB=2,AC=x,CAAB于A,DBAB于B。

那么,PC+PD=√x2+1+√(4-x)2+4

所求,√x2+1+√(4-x)2+4,的最小值就是求PC+PD的最小值。

例4.如图,AC、BD为正方形ABCD对角线,相交于点O,点D为BC边的中点,连长为2cm,在BD上找点P,使DP+CP之和最小。

分析: 利用轴对称性可知A、C为对称点,连接AD交BD于点P,连接PC,易知,AP=PC,则PD+PC=AP+PD=AD。

在直角三解形ABD中,AB=2cm,BD=1cm,则AD=√5cm。

还有立体图形上点点之间的距离最短问题,则可以把问题能过展开图,把立体图形转化为平面图形,然后再运用“两点之间,线段最短”来解决。总之,解决这一类距离最短的问题,可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换,把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题。