数学建模模型分析范文

时间:2023-12-18 17:12:40

数学建模模型分析

数学建模模型分析篇1

如果将棉包分成若干等份,整包回潮率与棉包各部分回潮率之间的关系可用下面的公式(1)表示:

式中:W――整包回潮率;

Wi――某一部分的回潮率;

n――等分数。

也就是说,棉包的整包回潮率是包内各部位回潮率的算术平均值。这个公式从理论上虽然成立,但没有太多的实用价值。

从对试验结果的分析中还可以得出整包回潮率的下述定性描述的函数表达式

W=f(t,Wy,S)(2)

式中:W――棉包整包平均回潮率;

t――棉包存储时间;

Wy――棉包初始回潮率;

S――存储环境的温湿度

式(2)表明,棉包的整包回潮率是一个多元函数模型,主要由棉包存储时间t、棉包的初始回潮率Wy、存储环境的温湿度S等因素决定。在自然环境中存储的棉包,其整包回潮率始终处于大惯量动态变化的过程中。

依据对试验数据的统计分析,我们把一个棉包由外层到中心分为外层(100mm)三部分进行研究。显然,外层回潮率与当前或最近一段时间的环境温湿度密切相关;内层回潮率与棉包初始回潮率密切相关;中位层夹在外层与内层之间,其回潮率的变化是内层和外层棉花水分共同作用的结果。另外,以上各层变化的绝对值都与引起这一变化因素的作用时间的长短有关。

1表层回潮率的意义和作用

外层各层测试回潮率与称重整包回潮率关系的统计分析见表1。

由表1可知,外层各层回潮率与整包回潮率的相关系数在0.7~0.8之间,呈一般相关状态,表层未通过F检验,26mm层未通过t检验。

棉包的表层是指从棉包的表面向内5mm之间的部分。该部分直接与周围大气接触,对环境温湿度的变化最敏感。当环境相对湿度增大时,表层棉纤维呈现吸湿平衡过程,反之,当环境相对湿度减小时,表层棉纤维呈现放湿平衡过程。显然,从易接受外界环境影响的角度来看,在外层各层中,表层最具代表性。因此,我们在建立棉包回潮率的数学模型时将会以表层作为外层的代表予以考虑。

2里层回潮率的意义和作用

里层各层测试回潮率与称重整包回潮率综合统计分析见表2。

由表2可知,里层各层回潮率与整包回潮率的相关系数多数在0.7~0.8之间,呈一般相关状态,都未通过t检验。

棉包里层各层的回潮率对环境温湿度的变化反应最慢,而对原有状态的保持力最强,它反映和体现的主要是环境温湿度即时变化前的回潮率,即我们所说的初始回潮率。随着里层深度的不同,该层回潮对整包回潮的影响程度也是有差异的。在建立棉包回潮的数学模型时,对此也是要有所考虑的。

3中位层回潮率的意义和作用

中位各层测试回潮率与称重整包回潮率综合统计分析见表3。

由表3可知,中位各层的相关性都较好,相关系数均在0.9以上,特别是100mm、90mm和70mm层相关系数都达到了0.96以上,呈显著相关。t检验虽未通过,但F检验均能通过。

由于中位层处在里外层之间,它的回潮率大小是外层与里层,也就是当前或近期环境温湿度与棉包里层初始回潮共同作用的结果,所以它与整包回潮率关系最密切,在整包回潮率的数学模型中应起着主要作用,即主体和基础作用。

4数学模型的建立

4.1整包回潮率的数学模型

通过对试验结果的统计分析,可得到整包回潮率的三元表达式如下

W=WC+K1(WC-WCN)+K2(Wb-WC) (3)

式中:W――棉包整包回潮率,%;

WCN――棉包里层回潮率,%;

WC――棉包中位回潮率,是整包回潮率的基础,可称作基础回潮率,%;

Wb――棉包表层回潮率,%;

K1――里层修正系数: 其值由WCN所处层位决定,当层深X为150mm~250mm时,其值在0.1~0.03范围取值,可由下述公式表示

K1= 0.5904e-0.012X (4)

K2――表层修正系数:当棉包处于吸湿状态(Wb-WC)>0时

K2=0.0788e0.1373Wb(5)

当棉包处于放湿状态(Wb-WC)

K2=1.2956e-0.3986Wb(6)

4.2对三元模型的统计检验

我们用公式(3)所表示的三元模型求得各试验棉包回潮率,以此回潮率与称重法求得的回潮率进行比对,并进行统计检验。

以下对6个棉包的回潮率比对数据进行统计分析。

以下表中,WG表示以称重法求得的棉包回潮率,WXX表示以某一中位层的回潮率为基础的三元模型回潮率,“XX”代表中位层,例W70、W90、W100分别表示以70mm、90mm、100mm层的回潮率为基础的三元模型回潮率。

(1)对各棉包数据的汇总分析

对各棉包汇总数据的统计分析见表4。

①成对数据对比t检验

由于两种试验方法的测量结果的数据不是独立的,而是一一对应的关系,是成对地出现的,因而不能用要求两个正态总体是独立的方法进行t检验,应该用成对数据对比t检验法进行检验。

成对数据对比t检验结论:

由表4可知,各t值均小于临界值,所以检验结果无显著差异,即两种试验方法的测试结果无显著差异。

②用方差分析的F检验比较两种试验方法的测试精度

由表4可知,各F值均小于临界值,所以两种方法检验结果方差齐性。

③相关性分析

由表4可知,各主体层位的相关系数R在0.97617~0.9939之间,均远小于临界值,所以两种方法检验结果高度相关。

(2)对各棉包数据的分别分析

各棉包数据的统计分析见表5。

①成对数据对比t检验

由于两种试验方法的测量结果的数据不是独立的,而是一一对应的关系,是成对地出现的,因而不能用要求两个正态总体是独立的方法进行t检验,应该用成对数据对比t检验法进行检验。

成对数据对比t检验结论:

由表5可知,各试验棉包的t值均小于临界值,所以检验结果无显著差异,即两种试验方法的测试结果无显著差异。

②用方差分析的F检验比较两种试验方法的测试精度

由表5可知,各试验棉包的统计量F值均小于临界值,所以两种方法检验结果方差齐性。

③相关性分析

由表5可知,除无锡试验棉包的相关系数R=0.6834>R0.05=0.5139外,其他各试验棉包的相关系数R在0.9357~0.9870之间,均远小于临界值,所以两种方法检验结果高度相关。

(3)三元模型对提高棉包回潮率测量精度的意义

为便于看出三元模型对提高棉包回潮率测量精度的意义,我们列出各中位层三元模型回潮率(W100、W90、W70)和不进行里、外层修正的回潮率(WC100、WC90、WC70)与称重回潮率比对的统计参数,见表6。

从表6可以得出结论:

1.二者的相关系数及F检验的水平基本相当,三元模型略好。

2.各层三元模型的t检验全部通过,而不进行里、外层修正的t检验则无一通过。充分说明三元模型的意义和作用。

数学建模模型分析篇2

【关键词】会计模型;会计建模;会计领域;综合性分析方法

一、提出背景

自从萨缪尔森把数学分析引入经济学领域后引起了经济领域的突破性变革,不仅解决了经济问题的困惑所在,而且也开启了数学在经济领域应用的划时代大门。随着数学的不断发展进步,1992年兴起了数学建模,在期间的20年里,数学建模处理解决了不同领域的复杂繁琐问题,攻克了许多领域的变动连续性难题,集成优化地解决得出了时效变化发展中的难题结果,为各领域的集优化速发展做出了应用性贡献。

而今,国民经济的各个领域及大型企业集团的技术人员等都运用相关模型进行分析。从会计科学技术的发展角度来看,不少新的分支学科出现了,特别是与会计相结合产生的新学科,如环境会计、绿色会计、土地会计等;同时,会计电算化发展至今已有30年的历程,我国已步入了会计信息化时代,现代信息技术与会计相融合而成的会计信息化管理信息资源,为对其进行获取、加工、传输等方面的处理提供了信息资源,实现了高度自动化和信息高度共享,使得信息技术的运用给会计建模带来了可行性。所以,作为现代会计,必须用应用会计知识等构造会计模型形成会计建模解决实际问题以适应经济时展的需要,并在会计研究与分析解决中作为独立出来的一个分支―会计建模。

二、问题提出的时代背景意义

会计被称为“通用的商业语言”,经济越发展,会计越重要,其是一个经济信息系统。随着会计文化的新起深化,会计建模是增强会计文化理解与传播及可读性的有力途径;而会计发展至今,会计具有预测经济前景、分析经济发展动态等效果与作用,会计作为一个经济信息系统和知识综合体系,对促进市场经济和现代企业制度的充分发展完善起着极为不可替代的作用。

会计已有三千多年的历史,经历了由古代的手工记账到信息化下的会计核算软件记账的过渡性发展阶段,期间所演化重组而成的新信息的生成方式程序及处理解决方法也因经济等环境不同而异。同时,会计要对会计现象进行解释和预测的实证研究和对不同层次的经济政策、会计政策作出最佳的规范选择,是一个规范分析和实证分析相结合的鲜明实践过程,也是进一步解决最佳会计理论、方法、程序在实践应用中的一个研究探讨过程。

经济波动变化产生的原生、次生信息数据交互组合而成的衍生错综信息严重影响了会计信息可靠计量下的准确完整性程度,给会计职业判断力的偏离造成了重要阻碍,而会计建模是一种解决各种复杂而又实际问题的十分有效的工具,信息化下,大量复杂的数值计算(如成本计算)、图形生成以及优化统计等工作需要运用建模方法来集成优化的处理解决以得到理想的实际结果。

三、问题概念解释

会计建模是根据研究需要针对实际问题组建会计模型的动态过程,其实质是会计理论、应用与所研究的实际问题相结合的结果。

会计模型是应用会计、数学等知识和计算机结合解决实际问题的一种工具,为了解决某种问题,通过简化抽象实际问题使用字母数字等会计符号或会计语言建立起来的等式、不等式及图表、框图等对实际问题现象的一个近似的客观描述事物特征及内在联系,以便于让人们更直观地认识所研究探讨的对象的一种会计结构表达式。

会计模型与会计建模是应用会计理论、数学和计算机等解决实际问题的工具,建立在会计理论、数学与实际问题之间。

会计建模是数学及其建模在其应用领域中独立出来的专门用于处理解决会计领域信息等一系列问题的一种专业化新兴建模方法,其是一种专门用于处理分析数据信息进而解决出精确结果的应用于会计领域的新方法。

四、基于数学建模视角下的会计建模研究问题的分析步骤及其特点步骤

(一)分析步骤

(1)对于问题条件尚不完全明确的,在建模中应通过各种假设来逐步问题明确化,以通过假设达到实际状态;

(2)在对实际问题进行分析时得到完全确定的条件下,需要对给出的问题进行恰当分析,以客观全面地反映问题的实质因素;

(3)在问题分析中需要考虑一些随机因素,需要借助计算机进行模拟实验处理,以排除随机因素的波动干扰对实际结果的非正态分布影响。

(二)建模特点

(1)结论具有通用性、精确性、深度性及层次性;

(2)在现实的具体问题中的可行性的实施程度高,在建模过程中排除了各种实际影响因素,是建模在各种趋同实际的假设条件下进行的;

(3)复杂的实际问题的建模过程需要反复迭代、验证及误差修正才能得到满意的实际模型;

(4)所建立的模型在现实的具体问题中具有较高的理想接近程度;

(5)具有高度的逻辑思维抽象性,对现实问题对象的分析要更全面、更深入、更有条理性等,是多角度化下的多元分析思维的处理结果。

(三)会计建模大致步骤

摘要关键字引言(问题重述)提出背景文献回放(模型准备)样本选取模型假设变量解释变量说明与约定模型建立模型介绍指标模型体系的建立模型数据处理与分析模型求解模型评价模型检验原因探析实证分析结果(描述性统计相关系数分析多元回归分析)对策及建议(结论)模型应用参考文献附录(图、表、计算机程序)。其中模型准备阶段就是相关理论模型概述,如Logitic模型、灰色系统理论模型、时间序列分析模型、序列平稳性分析等;模型数据处理与分析、模型求解等需运用计算机软件及技术。

五、数学建模思路方法在会计领域应用的具体分析

孙晓琳(2011)在《终极控股股东对公司投资行为影响的理论分析》中的“基于终极股东控制权私有收益的公司投资理论模型”分析时采用了“模型假设变量设置模型构建模型分析”中的数学建模思维步骤。

齐晓宁、申江丽(2011)在《注册会计师非审计服务与审计独立性关系分析》中的“注册会计师非审计服务与审计独立性关系的实证研究”分析时采用了“研究假设样本选择与数据来源研究模型与变量假设设计(被解释变量解释变量控制变量)统计结果(描述性统计模型结果统计)实证研究结论”的数学建模思路路径。

刘宏洲(2011)在《财务危机预警的Z计分模型实证研究》中采用了“研究设计(研究模型研究假设样本选择与数据来源)实证结果的分析解释与解释模型评价”的数学模型路径,实证了分析结果。

综上种种理论研究表明,研究者在进行问题分析、研究、处理及解决过程中都或多或少的融入运用了数学建模中的思路方法,其中数学建模中的模型评价与改进方向就是会计建模的研究不足与研究方向。其解决得出的结果步骤极具严谨说服力,结论结果的实际误差率较小,是一种极为理想的最低误差率精确结果。

由综上也可以看出,数学建模中的方法已经融合到了会计领域,并在会计领域中的复杂问题解决中发挥了极为核心环节的作用,多数会计研究中,在分散独立地解决某一问题时用到了会计建模中的模型方法,如层次分析法等;其优点得到了众多研究者的认可积极运用及研究方法思维深入研究者们的思维。

总之,以上种种建模思路方法在会计领域的具体灵活、综合而广泛运用,表明了建模思路在会计领域相融性的相关联运用地成熟与完善,充分说明了建模自身兼容型的适强大合和在会计领域应用的广阔发展前景,证实了建模在会计领域应用酝酿的完善成熟。

六、对会计建模的可行性认识

首先,会计建模是一种综合分析法,集合了各个独立于某方面、某领域的核心系统分析法。其由单一模型向多角度散射模型演化的集合拟集综合法,是一种以具体客体分析法为基础,综合其他独立的会计分析法,集成了其他适用会计分析的方法及系统运用各种辅助分析法,把各独立的会计分析法通过相关联度的大小连结成一个多角度多层次多思维为出发点的综合结构体系统分析法,把最有可能影响精确结果的内外在因素都做假设成变量假设,都进行变量假设环节的变量假设循环。

其次,会计建模是以会计信息数据为基础、市场经济动态环境发展变化为考察点、以数学建模的思想为带动理论指导点、以计算机技术与工具等为依托,进而构成一个集数学、计算机等与会计相结合于一体的核心建模论文的处理解决复杂问题的综合系统结构框架,是不同角度多变量误差拟合修正优化模型。

最后,计算机尤其会计电算化等处理工具与分析技术的强大与不断进步更新及科学技术的不断发展进步和计算机的迅速发展普及,大大增强了会计解决会计问题的能力,为会计建模所需数据与信息的处理分析提供了强大的物质源泉支持。同时我国市场经济的不断发展与完善活跃,为会计数据信息的获取提供了原始来源,经过技术工具加工处理过的数据信息具有真实完整、可靠计量的属性,为会计信息数据的获取途径与扩大时空间分布提供了便利;相关分析方法的广泛与活跃交叉运用加强了其在会计建模中的运用强度与可运用操作度,为相关分析法在会计领域的应用提供了分析方法和理论基础。

七、结论建议及展望

由于各种分析处理工具与技术的进步更新成熟为获取多方面多角度不同来源的会计信息数据提供了时间与空间分布上的基础,为各种会计信息数据的加工提炼处理提供了便利条件,为用会计建模解决实际变化的复杂研究对象问题提供了有力条件;同时为了会计信息数据及结果的准确误差性最优小及接近程度准确的预测会计领域中的发展态势及变化波动状况而提出运用会计建模来处理解决复杂系统实际问题。为此,为了适应时代新经济制度的市场经济体制的会计经济趋速发展的趋势,本文正式提出数学建模在会计领域转化为会计建模的呼吁与号召。

会计建模建立在一定的理论与实践基础上,更需要进行充分的各项准备工作才能顺利实施开展,相信会计建模是今后研究解决会计棘手问题的主流,也坚信会计建模受到重视与关注并成为高校、研究机构、研究人员等的主要研究方法。

参考文献

[1]孙晓琳.终极控股股东对公司投资行为影响的理论分析[J].会计师,2011(10):111~112.

[2]齐晓宁,申江丽.注册会计师非审计服务与审计独立性关系分析[J].会计之友,2011(10):

58~60.

[3]刘宏洲.财务危机预警的Z计分模型实证研究[J].会计之友,2011(10):83~84.

[4]薛毅.数学建模基础[M].北京:北京工业大学出版社,2005(1).

[5]葛家澍等.会计大典第1卷[M].会计理论[M].北京:中国财政经济出版社,1997(12).

[6]冯杰,黄力伟,王勤,尹成义.数学建模原理与案例[M].北京:科学出版社,2007.

数学建模模型分析篇3

【关键词】高职高专 数学建模 财务模型 医学模型 MATLAB软件

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2014)24-0100-02

一 引言

随着科学技术的不断发展和社会的进步,数学这一重要的基础学科迅速向自然科学和社会科学的各个领域渗透,并在经济管理、工程技术等方面发挥着越来越重要的作用。数学与计算机技术相结合,已经形成了一种普遍的、可以实现的关键技术,并成为当代高新技术的重要组成部分。

高职高专院校,以培养技能型、应用型人才为目标,因此学生的动手操作能力就显得尤为重要。针对不同的实际问题,采用建立数学模型的方法,数学建模可以将实际问题经过抽象、简化、假设、引进变量等处理后,将实际问题转化成数学问题,用数学表达式展现出来并建立数学模型。最后,再运用数学的方法及计算机技术去求解,得到实际问题的解答。这样既能激发学生学习的兴趣,又能提高学生运用计算机解决实际问题的能力。

MATLAB提供了易学、易用的图形用户界面,使用户在最短的时间内就可以掌握较复杂的统计分析技术。MATLAB具有统计分析和统计建模的统计工具箱。利用统计工具箱提供的标准函数,使用者可以完成统计上绝大部分数据的分析任务。在财务、金融领域,对财务数据进行统计分析或根据统计分析的原理建立财务变量之间的相互依存关系是统计建模的重点内容。MATLAB统计建模就为财务随机模型的建立提供了非常强大的工具,扩充了财务建模研究的内容,为财务建模提供了很好的计算机支持。在自然界和人类社会中,变量之间存在的不确定关系就是变量之间的随机关系,而随机关系需要根据统计原理应用统计分析的方法来建立,因此就可以建立相应的统计模型,创造出适合于特定高校、特定企业在特定情况下的模型系统。

又如在医学领域,传染病的频繁爆发,目前面临着研究困难、病情难以控制的局面,建立数学模型也成为一种重要的研究手段。采用数学模型模拟传染病发病、传播过程,用计算机仿真求解数学模型,计算机仿真具有计算方式简单、过程易控制、结构灵活等优点,便于微分方程求解,求解结果能够更好地为传染病提供防治措施。

因此,财务建模以及医学模型的较理想软件平台是MATLAB,建议在财务建模以及医学建模的理论研究和实践中使用MATLAB作为其工具。

二 数学建模的一般步骤

1.模型的准备

建模的实际问题可能来自各行各业,我们都不可能是全才。因此,当刚接触某个问题时,我们可能对其背景知识一无所知。这就需要我们想方设法地去了解问题的实际背景。通过查阅、学习,可能对问题有了一个模糊的印象。了解问题的实际背景,明确建模目的,再通过进一步的分析,对问题的了解会更明朗化,由此初步确定用哪一类模型比较合适。

2.模型的假设

由于现实问题的复杂性、多样性,一般来说,不能指望在一个合适的数学模型中抓住影响问题识别的所有因素,假设目的在于通过减少所考虑因素的数目来进行简化,必须确定余下变量之间的关系,再次通过假设相对简单的关系,就可以降低问题的复杂性。必要而合理化的模型假设应遵循的原则:简化问题和保持模型与实际问题的“贴近度”原则。

3.模型的构造

根据所做的假设,利用适当的数学工具(应用相应的数学知识),建立包含常量、变量等数学模型,如优化模型、图的模型、差分方程模型、微分方程模型等。事实上,建模时还有一个原则,即尽可能采用相对简单的数学工具,以便使更多的人能理解和使用模型。

4.模型的求解

对所建立的模型运用数学知识进行求解,包括画图形、解方程、数值计算、优化方法、统计分析、证明定理以及逻辑运算等,会用到传统的和近代的数学方法,特别是软件和计算机技术。目前常借助一些非常优秀的数学软件,如Matlab、Mathematics、Maple、Lingo等,本文将以MATLAB软件为平台,介绍MATLAB的应用。

5.模型的分析、检验

将求得的模型结果运用数学知识进行分析,如结果的统计分析、误差分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。有时根据所得的结果给出数学上的预测;有时根据问题的性质,分析各变量之间的关系和特定性态;有时则给出数学上的最优决策或控制。把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中,如果检验的结果不符合或部分符合实际情况,那么我们必须回到第二步,修改、补充假设或做出另外的简化假设,重新建模,有时甚至要回到第一步重新定义问题,如果检验结果与实际情况相符,则进行最后一步――模型的实施。

6.模型的实施

模型只是在档案柜里是没用的,要用决策者和用户能懂的术语来解释模型是否对实际问题有用。最终的模型要回到实际问题的应用中。应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关。不是所有的问题建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限没有那么分明,建模时不要拘泥于形式,按部就班。

三 数学建模的应用

数学建模应用领域广泛,涉及经济模型、医学模型、生物模型、社会模型、交通流模型等,就本院的专业特点,主要讨论经济模型以及医学模型的应用。运用数学工具解决实际问题时,往往需要先把从实际问题中反映出来变量之间的函数关系表示出来,再进行计算和分析,这个过程就是数学中常用的建立函数关系(即数学建模)的过程。

1.经济数学模型

在经济数学的教学中,将数学建模的思想和方法融入数学主干课程,是对数学教学体系和内容改革的一种有益尝试。应当将数学知识与经济财贸的专业特色和具体实践相结合,才能达到提高学生能力的最终目的。而数学建模,恰好为这一结合过程提供了一个自然的平台。经济、财贸本身与基础数学知识有着千丝万缕的联系,从财会的统计处理到抵押贷款买房的预测分析,都是以数学为分析工具,而这一过程的结合,就是数学建模的过程。如抵押贷款买房的分析过程中,可以根据偿还期的长短,以不同利率偿还抵押贷款,每个周期欠款额因要付的利息而增加,又因每月还款而减少,可以建立一个动力系统模型。根据此模型运用MATLAB编程计算得到住房抵押贷款的序列图列,达到后续每月应还款额预测的最终目的。向学生讲授类似的实际数学模型与数学应用的案例,让学生切实感受到“数学在身边”,培养学生在日常生活中实际应用所学数学知识的能力。

如经济活动中常见的函数,复利公式:设现有本金A0,每期利率为r,期数为t0,若每期结算一次,则第一期末的本利和为A1=A0+A0r=A0(1+r),将本利和A1再存入银行,第二期末的本利和为A2=A1+A1r=A0(1+r)2,再把本利和存入银行,如此反复,第t期末的本利和为At=A0(1+r)t,这是一个以期数t为自变量,本利和At为因变量的函数。每期按年、月和日计算,则分别得出相应的复利公式。如按年为期,年利率为R,则第n年末的本利和为An=A0(1+r)n(A0为本金)。

2.医学数学模型

在中医药院校数学教学课程中加入实际操作的能力,实际问题通过分析得出数学模型,最终还是要靠数据去计算数学模型,得出其解。在计算过程中,不可能像传统数学应试中的简单计算,而是涉及大量数据的计算,此时不可能靠手算得出结论,必须依赖计算机进行处理。所以计算机和数学软件的使用,给处理繁琐的中医药数据和实际问题带来许多便利,提高了数学运算速度和解决实际问题的效率,特别在医学统计课程中更是如此。在讲解此类数学课程中不能只讲空洞的理论,一定要结合实例,讲解相关软件的操作,增强学生的动手能力。学校已经在部分院系开设了数学建模选修课,我们在授课时特安排了三分之一学时专门进行相关数学软件的计算机操作,以教师讲为辅、学生练为主,重点培养学生利用计算机技术和数学软件解决数学问题的能力,提高学生动手处理数据的能力。下一步设想在限选和必选数学课程中加入数学软件课程的一些上机操作,学生对此也比较感兴趣,借此可进一步探索我院数学教学的改革。

四 提高高职高专学生的创造力

高等职业教育的培养目标是:以就业为目的,以能力为本位,为生产、服务、管理第一线培养高素质、高技能的应用型人才。根据这个目标,高等数学的教学应以应用为主,理论为辅,加强数学应用性的教学研究,加强数学思维能力的训练和培养,培养学生理论联系实际的能力,并通过数学建模的教学提高学生的创造力。

数学建模突破了传统的教学方式,以实际问题为中心,能有效地启发和引导学生主动寻找问题、思考问题、解决问题。同时,由于其题目的开放性、教学方法的灵活性,对青年学生非常具有吸引力,以培养学生的数学应用意识,训练学生用数学知识解决实际问题的能力为主要突破口,开展数学建模应该是推动高职数学教学改革进程一个很好的办法。

五 将MATLAB与教学相结合

传统数学教学以理论教学为主,不少学生对数学望而生畏,特别是针对高职高专学生,尤其数学底子薄、基础差的学生更是一项难度较高活动,因此,需要在实践过程中不断探索适用于高职院校所有学生的数学教学方法,只有这样才能真正使高等数学的教学满足学生的要求、满足社会的要求、满足时代的要求。其实计算机水平发展至今,在高等数学以及经济数学的教学中借助成熟的数学软件进行教学,让学生以此为工具进行探索是非常必要的。我们应在科研和教学上都能积极地与其他专业老师(经济、管理、计算机等类)展开合作,争取成为既懂数学又懂经济管理和计算机的老师。在本校的高职高专经济数学、高等数学教学中引入MATLAB数学实验,可以提高学生的学习积极性以及学习成绩。但是,对于高职经济数学、高等数学课程,如何使MATLAB软件与其教学过程更融洽地结合,还需要我们继续进行研究和探索。

六 结束语

总之,高职高专院校的数学侧重于应用,而不是理论。教学时应尽量将数学通俗化、直观化、简单化,对高职高专院校的学生而言,关键是要学会用数学建模方法去解决实际问题,能用数学的思维去考虑问题,只有沿着这个方向,开展高职高专院校数学改革才能走得更远。

参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2011

[2]颜文勇.数学建模[M].北京:高等教育出版社,2011

[3]陈益健.经济数学及应用[M].北京:北京航空航天大学出版社,2012

数学建模模型分析篇4

关键词:数学建模 日常生活 数学化生活

一、数学模型和数学建模基本含义

数学模型:在准确把握事物系统内部具体突出特征和关系的基础上,整合抽象关系表现,运用数学语言进行近似概括和表达,生成一种数学结构系统。数学模型的建立是类似性反映客观存在形式和各种复杂关系的方式。[1]

数学建模:是在现实生活中建立数学模型来解决问题。

二、数学建模程序

数学建模在理论上只是对于具体数学模型的宏观规范,需要在实际操作中进行必要具体问题的具体分析,达到数学建模形式的灵活运用。[2]

数学建模的一般程序:

1.准备模型。此阶段的实现是建立在对于实际问题的熟悉基础上,熟悉问题出现的原因、背景,明确数学建模所要实现的目的。

2.建立模型。在准备的基础上,对于收集的数据和资料进行分析和处理,利用数学语言找出假设条件,保证数学语言的相对精确性。具体问题所涉及到的相关变化因素以及其中的不确定关系需要数学工具的恰当协作,建立起数学模型。其具体数学模型可以包含方程、不等式、图形函数和表格等。注意在建模时,为了达到模型的广泛普及和推广,应该力求数学工具的简单化。简单化的建模工具可以贴近现实生活,可以广泛被采纳、接受和运用。

3.求解模型。求解模型需要利用数学工具,数学工具可能使用到方程、逻辑推理和证明、图解等直观或间接方式。模型求解的结果需要根据实际问题各因素关系的正确分析加以确定,结果分析中需要根据结果预测数学公式、完成最优决策的选择和控制的最佳实现。最优决策的选择是解决实际问题中比较常见的难题,在综合衡量多种选择的前提下,进行最优的选择是关键的决定,而数学模型的建立可以在数学工具的辅助下,更快、更简洁、更直观的实现选择最优化,解决实际问题。

4.检验模型。模型建立后综合分析的结果完成后,需要及时将分析结果归于实际生活中,进行检验。检验模型建立的正确性和科学性要利用实际现象和数据对模型相对应的数据和结果进行对比分析,分析其吻合性和出入性,准确把握数学模型的合理性和实用价值。数学建模的成功性认定,一般要求模型在解释已知现象的基础上,还有进行超越性的预测未知现象的能力和价值。建模检验过程中,模型假设可能存在问题,其确定原因一般来源于检验过程中,结果与实际不符合,但是求解过程无差错的情况。模型假设错误的弥补措施主要是及时修改和适当补充,以弥补其错误性。在修改和补充模型假设时,当结果相符合,精度达到规定要求时,可认定为模型假设可以使用,那么模型也可以实现其应用价值和推广功能。

三、数学建模与生活中最优化问题

最优化问题包括工农业生产、日常生活等方面,方案优化的选择、试验方案的制定等均涉及到数学建模的应用。对于最值问题,一般的方法是通过建立函数模型的方式,将实际问题和方案转化为函数形式,求最值问题。方案的最优化类似也是建立起不同方案的相应函数。[3]

例如:

1.有关房间价格最优化问题

星级旅馆有150个客房,其定价相等,最高价为198元,最低价为88元。经营实践后,旅馆经理得到了一些数据:当定价为198元时,住房率为55%;定价为168元时,住房率为65%;定价为138元时,住房率为75%;定价为108元时,住房率为85%。如果想实现旅馆每天收入的最高值,每间客房应怎样定价?

数学建模分析:

据数据,定价每下降30元,入住率提高10个百分点。也就是每下降1元,入住率提高1/3个百分点。因此,可假设房价的下降,住房率增长。

建立函数模型来求解。设y为旅馆总收入,客房降低的房价为x元,建立数学模型: y=150×(198-x)×0.55+x 解得,当x=16.5时,y取最大值16 471.125元,即最大收入对应的住房定价为181.5元。这里建模的关键是把握房价与住房率的关系,模型假设二者存在着某种线性关系。

2.生活中的估算―挑选水果问题

关于挑选水果挑选最大个的水果合理性问题分析与思考

首先从水果的可食率角度分析。水果尽管种类繁多形状不规则,但总体来说较多的近似球形。因此,可以假设水果为球形,半径为R,从而建立一个球的模型。

挑选水果的原则是可食率较大。依据水果的果肉部分的密度是比较均匀的原理,可食率可以表示为可食部分与整个水果的体积之比。

2.1对于果皮厚、核小的水果,如西瓜、橘子等。假设水果的皮厚度差异不大,且是均匀的,厚为d,可推得:可食率==1-

2.2对于果皮厚且核大的水果,如白梨瓜等。此类水果可食率的计算需要去掉皮和核,才能保证其可食率计算的准确性。设核半径为k*R(k为常数)。那么,可推知:可食率==1-3-k3 ,其中d为常数,R越大说明水果越大,水果越大,其可食率越大,越合算。

2.3有些水果皮薄,但出于卫生考虑,必须去皮食用,如葡萄等。此类水果与(1)类似,可知也是越大越合算。

关于挑选水果最大合理性的数学建模的关键在于:首先从可食率切入,模型假设之前分析水果近似球形的较多这一特性,假设球型,建立数学模型,将求算可食率转为求算水果半径R的便捷方式。

生活中涉及到数学建模的应用很多,初等数学知识是解决实际问题的重要途径和有效方法。数学建模应该紧密的联系生活实际,将数学知识综合拓展,使数学学科的魅力和情景呈现出新的形式和样貌,充满时代特征。数学建模生活中的应用有利于解决实际生活的种种难题,进行最优选择和决策,同时还可以培养思维的灵活性和深刻性,增加思维方式转变的速度和知识的广泛性和创造性。

参考文献:

[1] 《中学数学应用》 金明烈 新疆大学出版社 2000

[2] 《中学数学建模教与学》 卜月华 东南大学出版社 2002

数学建模模型分析篇5

教学以传授理论知识为主,虽然也讲培养能力,但主要是解题能力,很少体现自学能力,分析解决实际问题的能力。传统的数学教育普遍存在着脱离实际,重理论,轻应用的倾向。这样的教学内容使学生感到的是数学的枯燥,远离生活实际,同时也使学生的创造性得不到充分发挥,不利于能力的培养。 尽管目前大部分高校都开设了“数学建模”选修课,但仅此一举,对培养学生能力所起的作用是微弱的。一方面,由于“数学建模”所包含的内容非常广泛,对不同问题分析的方法又各不相同,真正掌握难度很大。另一方面,数学建模教育实质上是一种能力和素质的教育,需要较长的过程,单靠开设一门选修课还远远不够。另外,“数学建模”作为一门选修课,学习的人数毕竟是有限的,因此解决这一问题的有效办法是在数学教学中渗透数学建模思想,介绍数学建模的基本方法。 一、数学教学过程中数学建模思想培育 1.数学建模的思想内涵 数学建模是指人们对各类实际问题进行组建数学模型并使用计算机数值求解的过程。数学建模一般要经历下列步骤。(1)调查研究。在建模前,建模者要对实际问题的历史背景和内在机理有深刻的了解,对『廿】题进行全面深入细致的调查研究。(2)抽象简化。建模前必须抓住问题的主要因素,确立和理顺因素之间的关系,提出必要的、合理的假设,将现实问题转化为数学问题。(3)建立模型。这一步是调动数学基础知识的关键,要将问题归结为某种数学结构。(4)用数值计算方法求解模型。这要求建模者熟练地使用Mauab、Mathtype、Spss等软件。(5)模型分析。对所求出的解,进行实际意义和数学理论方面的分析。(6)模型检验。虽然并非所有模型都要进行检验,但在许多问题中,所建立的模型是否真实反映客观实际是需要用已知数据去验证的。(7)模型修改。对不合理部分,如变量类型、变量取舍、已知条件等进行调整,使模型中的各个因素更加合理。(8)模型应用。数学模型及其求解的目的应该是对实际工作进行指导及对未来进行预测和估计。由此可见,数学建模是一个系统的过程,在进行数学建模活动的过程中需要利用各种技巧、技能以及综合分析等认知活动。 2.高校数学教学的现状及其弊端 我国高等院校数学课课程在授课内容上,主要着眼于数学内部的理论结构和它们之间的逻辑关系,存在重经典、轻现代,重分析、轻数值计算,重运算技巧、轻数学方法,重理论、轻应用的倾向。过分强调数学的逻辑性和严密性。在教学方法上,数学教学越来越形式化,注重理论推导,着重训练学生的逻辑思维能力,而忽视理论背景和实际应用的传授,致使学生不知如何从实际问题中提炼出数学问题以及如何使用数学来解决实际问题。数学应用的讲解,也仅仅停留在古典几何和物理上,忽视数学在实际工程问题中的应用,导致学生主动应用数学的意识淡薄,不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,不能满足后续专业课的需要。教学过程中以教师课堂讲授为主。多采用注入式。缺乏师生间必要的沟通与互动,不利于学生能力的培养,更不利于创造性思维和创造能力的培养。 二、数学建模思想融入数学教学中的有效途径 由于教材对原始研究背景的省略、教师对原始研究背景的重视不够和课堂有限的学习时间等各种因素,传统数学教育很少对前人的数学探索过程进行再现。然而,这正是数学建模思想的点睛之处。任何一门数学分支学科都是由于人类在探索自然规律过程中的需要而发展起来的,所以,重要概念的提出、公式和定理的推导以及整个分支理论的完善都是前人对现实问题进行数学建模的结果。 那么,如何将前人的建模思想在传授知识的过程中再现给学生呢?经过长期教学实践,笔者认为,可以通过如下两个途径来实现。 一是尽量用原始背景和现实问题,通俗的比喻,直观的演示引入定义、定理和公式,然后再由通俗的描述性语言过渡到严谨的数学语言。这样不仅使学生真正了解到知识的来龙去脉,熟悉了这类问题的本质属性,而且掌握了处理这类问题的数学建模方法,即学会了如何从实际问题中筛选有用的信息和数据,建立数学模型,进而解决问题。同时还让学生认识到数学不是孤立的,它与其他领域紧密地联系着。数学模型所表现的符号美、抽象美、统一美、和谐美与严谨美更让学生浸润在数学美的享受之中。例如,教材中以“户矿、“户Ⅳ”语言给予形式化精确描述的极限概念,由于这种描述高度抽象与概括,造成初学者难以用自己的思想去思考、理解它的含意,只能把它看做是一些干巴巴的数学符号,不加理解地死记它,久而久之就失去了学习的兴趣。如果我们从刘徽的“割圆术”讲起,并利用课件进行动态数值模拟演示。尽可能地向学生展示极限定义的形成过程,挖掘极限定义的实质,然后再利用“P矿、。户Ⅳ”语言给出准确的定义,从而使学生理解“极限”这个概念模型的构建过程。这样既省时又直观,教学效果自然更佳。 二是精选数学应用例题,进行建模示范,启发学生用数学解决实际问题的意识。我们本着减少经典、增加现代、减少技巧、增加应用的原则,弃去了原书中部分经典例子,加入既能反映问题,又能开阔学生眼界的例子。这样教学,很容易牵动学生的数学思维,加深了他们对知识的理解,让他们体验到了应用数学解决实际问题的乐趣,激发了他们用数学的思维和方法积极地探索现实世界。 三、数学建模思想融入数学教学中的一些教学案例 1.数学建模思想融入微积分教学中的教学案例经典微积分学理论是近代科学的伟大创造。它的背景包含了前人数学建模的过程,蕴藏着丰富的创造性思维的轨迹。“无穷小量分析”和“微元分析”是微积分学的主要思想方法,微分和积分的基本概念就是运用这两个思想方法,在解决实际问题中,分析和处理变与不变、直与曲、局部与全局、近似与精确、有限与无限的矛盾中建立和发展起来的。#p#分页标题#e# 下面以定积分定义的教学为例,谈谈如何切入数学建模的思想。 设计如下教学过程:(I)实际问题。如何求曲边梯形的面积?(2)引导学生利用“无限细分、化整为零、以直代曲取近似、无限积累聚零为整取极限”的微积分的基本思想,得到问题的表达式。(3)概括总结,抽象出数学模型,从而引出定积分的定义。(4)回到实际问题中。数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易,便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题(这样的习题在教材和相关教辅上很多)。 2.数学建模思想融入线性代数和空间解析几何教学中的教学案例在讲Gauss消元法时,我们向同学们介绍了计算机层析X射线照相术。教学过程大致如下:(1)实际问题。计算机层析扫描仪根据仅从病人头外部测得的X射线,来计算此病人大脑的图像,这样做合理吗?(2)模型建立。引导学生用点线图(点代表人体某个器官,线代表X射线)来描述扫描仪的工作原理,建立相关的线性方程组。(3)模型求解。可让学生利用刚学的Gauss消元法求解。(4)模型分析。解释计算机层析x射线照相术的合理性。这样让学生领悟到这样简单的数学知识也能应用到如此神秘的仪器中,学生学习线性代数的愉悦感油然而生。 这种给形式化的抽象的数学问题赋予实际意义的做法,使学生认识到数学既源于生活、又高于生活,缩小了“形式化”的抽象数学与现实之间的差距。 3.数学建模思想融入概率论与数理统计教学中的教学案例 在讲全概率公式时。我们向同学们介绍了常染色体遗传模型。教学过程大致如下 (1)实际问题。在常染色体遗传中,后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型。植物园中某种植物的基因型为AA、Aa和aa。计划AA型的植物与各种基因型植物随机相结合的方案培育植物后代,经过若干年以后,这种植物的第n代的三种基因型分布会发生什么变化?通过这样的方法是否可以纯化品种? (2)模型建立。引导学生利用全概率公式建立起第n代的三种基因型分布与第n-I代的分布的递推关系式。 (3)模型分析和评价。通过取极限的结果来解释用这种方法纯化品种的科学性. 4.数学建模思想融入常微分方程教学中的教学案例 建立常微分方程,解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。因此,教师在传授常微分基础理论的同时,还应多花时间讲授在实际问题中那些可用此方法建模、如何提炼出微分方程模型。 下面以分离变量法的教学为例,谈谈如何切入数学建模的思想。设计如下教学过程:(1)实际问题。根据国家计划生育委员会估计,中国总人口的峰值年是2044年,峰值人口数达到15.6.15.7亿。如何建立一个数学模型,合理的论证计生委的估计及如何准确定位、保持人口合理增长?(2)模型基本假设。假定人口总数是随时间连续可微地变化,并假定单位时间内人口增长量与当时的人口成正比。(3)模型建立。引导学生用微分来刻画人口增长率,用一阶齐次微分方程建立模型。事实上就是著名的Malthus人口模型。(4)模型求解。可让学生利用刚学过的分离变量法求解,“热炒热卖”以便巩固。(5)模型分析与检验。可让学生课后查阅计划生育委员会的统计数据,进行检验及完善。 这种将数学问题赋予生活内涵的教学法,可唤起和支配学生学习数学和研究的兴趣。更重要的是,在人口统计方面的惊人数字给学生的震撼力,可引导着学生关注社会、关注未来。通过对模型的检验,使学生体验到对数学问题解答的合理性进行检验的必要性,从而培养了学生敢于质疑、善于反思、精益求精的治学态度。 5.数学建模思想融入运筹学教学中的教学案例 运筹学是一门应用性很强的数学科学,目前几乎涉及社会的各个方面。除在产品的市场销售、生产计划的制定、物资的库理、运输问题、设备更新、工程的优化设计、城市管理、财政与会计、人事管理、计算机信息系统、军事领域有广泛系统的应用以外,在建筑、纺织、水利、邮电、科学研究、工农业及农林医等方面也有它们的身影。运筹学在解决这些实际问题时,按研究对象的不同所采取的建模方法各异。运筹学模型可分为确定性模型和随机性模型。确定性模型包括:线性规划模型、目标规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、网络分析中的模型。随机性模型包括:动态规划模型、捧队论模型、存储论模型、对策论与决策论中的模型。因此,从一定意义上说,数学建模属于运筹学的一部分,所以,教师在运筹学的教学中更应该突出数学建模的思想,强化学生的数学建模能力,增强学生的数学应用意识。 运筹学在解决大量实际问题过程中形成了自己的工作步骤,所以教师在讲授运筹学时,因尽量遵循如下步骤。(1)提出和形成问题。教师应尽可能选取贴近学生实际的问题。(2)建立模型。引导学生分析问题的要旨(属确定性问题还是随机性问题),用准确的数学语言表述问题,并帮助其建立起模型。(3)模型求解。可让学生利用Lindo、Lingo或Matlab自行求解。(4)解的检验。在作灵敏度分析时,需要建模者一定的实践经验,教师应对学生的所做结果给出及时的肯定和指正。(5)解的控制和实施。此步是对问题的决策者提出相关建议,也是将所得的研究结果用通俗易懂的语言进行再次“翻译”。 四、教学中渗透数学建模思想需要注意的几个问题 数学建模不仅是数学知识的应用和升华,而且是一种数学思想的表达和教学方法,实际上基本概念、公式、定理都是一个数学模型。所以,数学教学的实质就是数学模型教学。在教学过程中贯穿数学建模的思想和方法时,应注意如下几点。(1)模型的选题要大众化。应选择密切联系学生,易接受、且有趣味、实用的数学建模内容,不能让学生反感。尽量讲清数学模型的运用范围,即它可以解决怎样的现实问题。(2)设计颇有新意的例子,启发学生积极思考,循序渐进,发现规律。(3)在教学中举例宜少而精,忌大而泛,冲淡高等数学理论识的学习。没有扎实的理论知识,也谈不上什么应用。(4)应从现实原形出发,引导学生观察、分析、概括、抽象出数学模型。(5)要循序渐进,由简单到复杂,逐步渗透,逐步训练学生用所学的数学建模知识解决现实生活中的问题。#p#分页标题#e#

数学建模模型分析篇6

     1.数学模型建构的方法及分析

     数学模型是通过建立数学系统,对生命现象进行量化,以数量关系描述生命现象,再运用逻辑推理、求解和运算等达到对生命现象进行研究的目的。

     数学模型的建构一般方法为:模型准备---模型假设---模型建立---模型检验---模型应用

     1.1  数学模型的建构方法(以《建构种群数量增长模型》为例)

     模型准备----研究对象,提出问题;在自然界中如何有效地控制有害细菌的繁殖,必须先找出细菌增长的规律;

     模型假设—--合理简化,提出假设;在自然界影响细菌生长的因素很多,我们先抛开次要因素,假设在“理想环境条件下,即资源和空间无限多的环境中,细菌的种群增长不会受种群密度增加的影响。

     模型建立----理清关系,建立模型;在理想条件下,若某细菌每繁殖一代所用的时间为20min,则随着时间的推移,则Na=2n,在坐标图上呈“J”型增长。

     模型检验----实践检验,修正模型;上述得出的公式和增长曲线,在自然界是否也是这样的呢?需经过实践的检验(举例检验)。实际上在自然界生物生存的空间和资源总是有限的,当种群增加到一定数量时,种群的增长就会停止,有时会稳定在一定的水平,如果用坐标图来表示的话,就会呈“S”型。

     模型应用----实际应用,产生效应。利用“S”型曲线,可以指导我们正确利用野生生物资源,取得经济效益、生态效益和社会效益的全面丰收。例如对捕鱼业的指导等。

     1.2分析

     1.2.1 在此模型的建构教学中,引导学生循着现象本质现象,或者具体抽象具体的思路,通过分析问题探究数学规律解决实际问题建构数学模型的方法,让学生体验由具体到抽象的思维转化过程;此模型的也是数学模型建立的典范,给我们呈现了数学模型建构的一般方法。

1.2.2  培养学生透过现象揭示本质的洞察能力和严密的思维品质。如在遗传规律的模型建构教学中,以一对相对性状的遗传实验为基础,首先让学生从F2及测交后代不同表现型具体的数量中抽象出3:1,1:1的比例关系,从而理解含一对等位基因的杂合子产生的配子种类、子代基因型及表现型的种类及比例,然后借助遗传图解和概率的计算,推理出两对位于非同源染色体上的非等位基本的遗传结果,最后揭示出含n对非等位基因的杂合子的遗传行为和结果,在此过程中培养学生严密的思维品质。

    

2.物理模型建构方法及分析

   物理模型是指直观反映认识对象的形态结构的实体或图画。本文探讨的是实体模型,即采用把原型缩小或放大一定的几何尺寸并经简化处理而制成的模型。。

实体模型的建构一般方法为:提出问题---根据假设建立模型----检验模型----得出结论。

  

   2.1物理模型建构方法(以《生物膜的流动镶嵌模型》为例)

   提出问题:J. D. Robertson罗伯特森在电子显微镜下观察细胞膜显示的暗—明—暗三层结构,他提出:两边暗色的部分是蛋白质层,呈对称排列;内部浅色部分是双分子层,提出单位膜模型。

  模型建立:学生独立构建单位膜模型。

检验模型:由理化特性来验证一下模型的正确性。任何一个模型的提出,必须经得住实践的检验。①利用冰冻蚀刻技术得到的蛋白质排布模式图,从实验结果可以看出有些蛋白质是嵌入磷脂内部的,且排布并不均匀也不对称。②1970年,Larry Frye等利用荧光标记小鼠细胞和人细胞融合实验?证明了蛋白质分子也是可以运动的。③动物细胞吸水膨胀时,磷脂双分子层的厚度变小,说明磷脂分子也可以运动的.

 得出结论:蛋白质分子有的镶嵌在磷脂双分子层表面,有的部分或全部嵌入磷脂双分子层中,有的横跨整个磷脂双分子层,修正了膜呈对称排列的观点。

2.2分析

2.2.1 物理模型的构建是通过抽象建立物理对象,通过类比和假说建立物理过程,并进行实验模拟的过程。在此案例教学中,让学生学会从复杂性的物理现象(暗—明—暗的三层结构)中抽取出来并简化;

2.2.2 物理模型不仅反映了原型的直观形象,揭示了原型的主要特征,抓住了主要因素,而且要以观察所积累的知识和实验事实为依据,经过分析、综合、比较、抽象、概括、推理等一系列严格的逻辑论证而建立起来,它不仅能解释已有的现象,而且有预见性;由此可以培养学生分析、综合等能力;

2.2.3 物理模型的建立与建立者的学识、胆识、观察能力、实验能力、对原型的简化方式有极大的关系,因为建立的模型带有一定的主观性。有的模型被证明是正确的,有的在一定的范围内适用,有的则被证明是错误的。由此引导学生一要对立辨证的观点;二要激发学生的创新意识,加强创造能力的培养。

2.2.4 在中学生物中还有许多物理模型如DNA双螺旋结构模型(必修二第3章第2节)、生态系统的结构模型(必修三第5章第1节)等,在教学中可以采用上述的建模方法进行教学。

物理模型具有形象直观性、应用广泛性、综合性等特点;在教学中建立物理模型时,要注意流程的合理性,指导的科学性,从而使学生在掌握模型方法的同时培养学生的探究能力。

3.概念模型建构的方法及分析

   概念模型是指以文字表述来抽象概括出事物本质特征的模型。它的建模过程:明确任务---明确各因素的特性---建立各因素之间关系---确定各因素之间的影响方式,完善模型。

 3.1概念模型建构方法(以《建立激素反馈调节模型》(必修三:第2章第2节)为例)

     明确任务:熟悉所构建要求。研究的是激素反馈调节模型的建立,以甲状腺激素分泌的调节为例,所以分析的着眼点应放在反馈调节上。

明确各因素的特性:从甲状腺激素的反馈调节看,与此相关的因素有①甲状腺激素;②甲状腺;③细胞代谢;④促甲状腺激素(TSH);⑤垂体;⑥促甲状腺激素释放激素(TRH);⑦下丘脑;

   建立各因素之间的关系,构建初始模型:从分析上述各因素的特性,可以由学生构建简单的初级模型。如:下丘脑---TRH—垂体—TSH---甲状腺—甲状腺激素---细胞代谢。

确定各因素之间的影响方式,完善模型:带领学生分析上面的概念图,发现隐含着许多问题,特别地,其中各级要素间只是一种递阶结构关系,即级与级间不存在反馈回路。但在分析实际问题时,名级要素间则往往是存在着反馈回路的,例如甲状腺激素的多少会影响垂体和下丘脑的分泌活动也就是说甲状腺激素分泌过 多,抑制垂体和下丘脑的分泌,甲状腺激素分泌过少,会促进垂体和下丘脑的分泌,从而形成一个负反馈回路。由此,可构建出更为完善的概念模型。

 3.2分析:

  3.2.1 各因素即为实体,实体是指客观存在并且可以相互区别的事物。实体的属性即为实体的特性。

   3.2.2有助于理解和把握生物学的核心概念。在建立光合作用过程的模型过程中,能够帮助学生理解该节内容所含的一些核心概念:如“光合色素”、“光合膜”、“光反应的过程”、“暗反应的过程”、“光反应和暗反应的联系”,而且学生只有掌握了这些核心概念,才能顺利建立模型。

参考文献:

数学建模模型分析篇7

一、数值分析在模型建立中的应用

在实际中,许多问题所研究的变量都是离散的形式,所建立的模型也是离散的。例如,对经济进行动态的分析时,一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型,也可建立离散模型,但在研究中,并不能时时刻刻统计它,而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面,对常见的微分方程、积分方程为了求解,往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型,最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k表示时间,记xk为变量x在时刻k的取值,则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分,称Δ2xk=Δ(Δxk)=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k,xk,及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时,发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪,引起体重下降,达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便,所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w(k),第k周吸收热量为c(k),热量转换系数α,代谢消耗系数β,在不考虑运动情况下体重变化的模型为w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)[2],k=0,1,2,…,增加运动时只需将β改为β1+β,β1由运动的形式和时间决定。

二、数值分析在模型求解中的应用

插值法和拟合法在模型求解中的应用

1.拟合法求解

在数学建模中,我们常常建立了模型,也测量了(或收集了)一些已知数据,但是模型中的某些参数是未知的,此时需要利用已知数据去确定有关参数,这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是:寻找最适合的模型参数,使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。

假设已建立了数学模型y=f(x,c),其中,c=(c1,c2,…,cm)T是模型参数。已有一组已知数据(x1,,y1),(x2,y2),…,(xk,,yk),用最小二乘确定参数c,使e(c)=∑ki=1(yi-f(xi,c))2最小。函数f(x,c)称为数据(xi,,yi)(i=1,2,…,k)的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f(x,c)具有足够的可微性,则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e(c)cj=-2∑ki=1(yi-f(xi,c))f(xi,c)cj=0,j=1,2,…,m。

2.插值法求解

在实际问题中,我们经常会遇到求经验公式的问题,即不知道某函数y=f(x)的具体表达式,只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值,即已知一部分精确的函数值数据(x1,,y1),(x2,y2),…,(xk,,yk)。要求一个函数

yi=φ(xi),i=0,1,…,k,(2)

这就是插值问题。函数yi=φ(xi)称为f(x)的插值函数。xi(i=0,1,…,k)称为插值节点,式(2)称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法,在工程计算中样条插值是非常重要的方法。

3.模型求解中的解线性方程组问题

在线性规划模型的求解过程中,常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的,很多计算问题都归结为解线性方程组,利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组,再求三角线性方程组,理论上直接在有限步内求得方程的精确解,但由于数值运算有舍入误差,因此实际计算求出的解仍然是近似解,仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组,因此当n≥4时,可以采用迭代法进行求解。

迭代法先要构造迭代公式,它与方程求根迭代法相似,可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单,易于编制计算程序,通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下,假设建立一个线性规划模型

Ax=b

其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann,x=x1x2xn,b=b1b2bn,即A∈Rn×n,可将A改写为迭代的形式

x=Bx+f

并由此构造迭代法

xk+1=Bxk+f,k=0,1,2,…,

其中B∈Rn×n,称为迭代矩阵。将A按不同方式分解,就得到不同的迭代矩阵B,也就的带不同的迭代法,例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。

由于计算过程中有舍入误差,为防止误差增大,就要求所使用的迭代法具有稳定性,即迭代收敛,收敛速度越快,误差越小。若x=Bx+f中,ρB

4.数值积分在模型求解中的应用

模型求解过程中可能遇到积分求解问题,用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa,使定积分计算变得简单,但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数,例如∫10e-x2dx,或者即使找到表达式也极其复杂。另外,当被积函数是列函数,其原函数没有意义,因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。

假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b,则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi,称其为机械求积公式,其中xi(i=0,1,2,…,n)称为求积节点,αi与f无关,称为求积系数或权数,机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均,即取∑ni=0αifxi≈fξ

得到的。由于这类公式计算极其便捷,是计算机计算积分的主要方法,构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。

5.数值分析在求解微分方程中的应用

在数学建模中,所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程,这些方程求解析解是很困难的,而且即使能够求得解析解,由于所用数据的误差得到的解也是近似值,所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。

三、误差分析

在数学模型中往往包含了若干参变量,这些量往往是通过观察得到的,因此也带来了误差,这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的,所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析,区间分析法,及概率分析,但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差,因此在建模过程中更着重误差的定性分析,也就是算法的稳定性分析。

在误差分析中,首先要分清问题是否病态和算法是否稳定,计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失,应该注意下面若干原则:一是避免用绝对值小的数作除数;二是避免数值接近相等的两个近似值相减,这样会导致有效数字严重损失;三是注意运算次序,防止“大数”吃“小数”,如多个数相加减,应按照绝对值由小到大的次序运算;四是简化步骤,减少算术运算的次数。

四、结论

数学建模模型分析篇8

关键词:多因子;数据处理;预报模型;沉降变形监测

中图分类号:K826.16文献标识码:A 文章编号:

沉降变形监测是工程建设施工、运营等各阶段的一项重要工作,其工作的好坏严重影响着建筑物的使用安全。随着现代测绘数据处理技术的不断发展,考虑到监测形体沉降变形因子的多元化,在进行沉降变形监测多因子数据处理时,可用于变形监测多因子数据处理的方法日趋增多,如多元线性回归模型、逐步回归模型、基于定权的多因子模型等。但就每一种多因子模型在实际数据处理中模型精度以及预测效果如何,本文通过实例分析,进行比较,并藉此验证多元线性回归、逐步回归以及基于定权的多因子模型在沉降变形监测多因子数据处理中的可靠性和实用性。

1 多因子数据分析模型

1.1 多元线性回归模型

多元线性回归分析模型研究一个变量与多个变量因子之间非确定关系的模型,在变形监测数据处理中,多元线性回归模型方程可表示为:

, (1)

式(1)中,为通过最小二乘求解得到的变量因子的权,为变量因子对应的数值,则可利用回归模型方程分析变量与多个变量因子之间的关系。

1.2 逐步回归模型

逐步回归分析模型是利用变形监测观测值建立相应的正规方程,通过逐步引入和剔除自变量因子,选取影响显著的变量因子,最后通过求取残差和自变量因子的均值,可得模型拟合值,残差。

1.3 基于定权的多因子拟合模型

基于定权的多因子拟合模型是利用自变量因子对监测变化量建立最优阶次曲线拟合模型,进行曲线拟合,根据残差大小确定该因子对变形的影响程度;再利用求得的自变量因子影响程度和曲线拟合模型拟合值进行多因子线性拟合,则拟合值可表示为:

, (2)

式(2)中,为自变量因子影响监测变化量的权,为监测变化量对于每个自变量因子的曲线拟合值。

2 实例检验分析

2.1 模型精度比较

根据常规多元线性回归模型及以上两种多因子拟合模型建模原理,利用某城市建筑物41年的沉降数据和与之相关的三个因子(时间因子、地下水采用量与回灌差和降雨量与蒸发量差)的监测数据,取其中连续的25期(见表1,(前20期用于建模,后5期用于模型预测效果评价))进行建模分析。

对实验数据做多元线性回归建模分析,得到多元线性回归拟合方程:

(3)

在建立逐步回归模型过程中,经计算得到、、三个因子对沉降量的的贡献值分别为、、,根据选入和剔除因子的条件,剔除第三个因子,得到逐步回归拟合方程:

(4)

从表1中可以看出,地表沉降累积量逐渐增大,时间因子、地下水采用量与回灌累积差也是不断增大的,而降雨量与蒸发量累积差在监测期间呈现升降变化,有时出现突变。因此,考虑连续性变化的要求,不选用第三个因子。对基于定权的多因子线性拟合模型经计算求得,即线性拟合表达式可写为:

(5)

式(5)中,为单因子曲线拟合值,为基于定权的多因子线性拟合模型拟合值。

利用(3)、(4)和(5)建立的模型方程,对用于建模的前20期数据进行拟合,具体结果如表1所示。(为观测时间,即时间因子,、分别对应其他两个变量因子(地下水采用量与回灌累积差/万m³和降雨量与蒸发量累积差/mm),为沉降监测值/m,为多元线性回归模型拟合值/m,为时的逐步回归模型拟合值/m,为基于定权的多因子模型拟合值/m)

表1实际监测值与三种模型拟合值

对以上建立的多元线性回归模型、逐步回归模型和基于定权的多因子拟合模型进行模型精度检验。根据后验差法,分别计算、、和:

可得,后验差比值:

,, (6)

小误差概率:

,, (7)

根据(6)、(7)的结果和后验差法模型精度等级表可判定:

,,且,,

即上述建立的多元线性回归、逐步回归和基于定权的多因子拟合模型都具备较高的模型精度,且模型等级精度为1级(好)。

从以上实验数据检验可以看出,基于定权的多因子拟合模型模型精度要稍好于多元线性回归和逐步回归模型;而逐步回归模型又是在多元线性回归模型的基础上,经过检验和计算因子间的相关关系,剔除影响较小的因子,使计算量减少,从而实现多因子监测数据中因子间线性相关问题的解决,并保证了逐步回归与多元线性回归模型同等精度的要求。因此,在满足模型精度要求的条件下,逐步回归模型可以替代多元线性回归模型来分析处理建筑物变形监测数据,在进行数据处理时可以考虑采用逐步回归模型和基于定权的多因子拟合模型两种模型。三种多因子模型拟合效果具体如图1所示。

图1 实际沉降量与三种模型拟合值

2.2 逐步回归和基于定权的多因子拟合模型预测分析

利用2.1所建立的逐步回归和基于定权的多因子拟合模型,对未来三期(第19、20、21期)城市沉降量进行预报分析,结果如表2所示(为观测时间,为实际沉降监测值,为逐步回归模型预测值,为逐步回归模型预测误差,为基于定权的多因子拟合模型预测值,为基于定权的多因子拟合模型预测误差):

表2 城市沉降监测值与逐步回归模型预测值

由表2可以看出,1995年逐步回归模型预测误差为0.0088m,基于定权的多因子模型预测误差为0.01m;1996年逐步回归模型预测误差为0.0236m,基于定权的多因子模型预测误差为0.0257m,两种多因子模型预测精度相当,且模型预测值与实际测量的沉降值相差较小,误差率低,但从1997年开始,再往后两种预测模型差值开始变得很大。一般情况下,逐步回归模型和基于定权的多因子拟合模型预测值会随着预测期数的增加误差率逐渐增大,当误差率增大到一定值(一般为10%)则建立的拟合模型不再适用于预测。因此,在实际预测分析中要控制预测的周期数(一般控制在3期内),进行短周期预报分析。

3 小结

通过数据分析,验证了多元线性回归、逐步回归模型和基于定权的多因子拟合模型等三种模型的实用性和可靠性。结果表明,相对于常规多元线性回归模型,逐步回归模型具有自动剔除影响不显著因子的能力,在多因子地表沉降监测数据处理中可以得到较好的预测分析效果;基于定权的多因子线性拟合模型也具有较好的预测分析效果,可用于处理变形监测中与多个因子相关且呈线性连续变化的测量数据,并进行短期预报分析。

参考文献:

[1] 黄声享,尹晖,蒋征.变形监测数据处理[M].武汉:武汉大学出版社.2010.

[2] 葛朝霞,薛梅,宋颖玲.多因子逐步回归周期分析在中长期水文预报中的应用[J].河海大 学学报(自然科学版).2009,37(3).

[3] 赵言,花向红,李萌.逐步回归模型在地表沉降监测中的应用研究[J].测绘信息与工程.2012,21(4):6~8.

[4] 赵言,花向红,尹志永.基于定权的多因子线性拟合方法研究[J].测绘工程.2012,36(5):5~8.

[5] 陈正松.上海地区地面沉降的分析与预测[D].武汉大学,2008,30~31.

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