高中数学问题情境创设探析

《普通高中数学课程标准（实验）》在教学建议中指出:“数学教学要体现课程改革的基本理念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能，以及它们所体现的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。”由于数学教学往往要在一定的问题情境中进行，数学内在的价值与生命力也往往存在于从一个问题到另一问题的不断转换的数学活动过程中，因此，充分利用高中数学教学内容的背景材料和自身特点，创设合理的数学问题情境，不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能，而且可以构建学生渴求知识、发展能力、陶冶情操的学习场，使学生更好地体验高中数学教学内容中的情感，使看似枯燥、抽象的高中数学知识变得生动形象、妙趣横生，从而提高高中数学教学的质量和效率，对于实现高中数学课程教学目标具有十分重要的现实意义。我结合自己的数学教学实践，初步探讨在高中数学课堂教学中创设数学问题情境的基本要求。

1.高中数学问题情境

高中数学问题情境是一系列与当前数学活动有关的刺激模式、事件和对象，在本质上，它是数学教学中具有特殊意义的教学环境。这种教学环境除了物理意义上的存在外，还有心理意义上的存在。从物理意义上讲，它具有客观性，是一个看得见、摸得着的数学教学背景，它可以是现实生产、生活材料，也可以是数学学科的问题，还可以是与数学学科相关的其他学科的内容等。从心理意义上讲，它充分反映了学生对数学学习的主观愿望，能激发学生的数学学习兴趣，唤起学生对数学知识的渴望和追求，让学生在数学学习中伴随着一种积极的数学情感体验，使他们积极主动地投入到数学学习活动中去。基于高中数学问题情境展开的高中数学教学活动过程，其基本特征是有一个由问题引出的情境、实验或悬念，启发学生去动手、动脑，并在数学活动过程中发现、产生新的问题，进一步思索、猜想、反思、寻求方法……使学生在思考、探究问题的过程中，建构灵活的知识基础，发展有效地解决问题的能力。

前苏联教育家赞科夫曾告诫广大教师：“不管你花费多少力气给学生解释掌握知识的意义，如果教学情境设计得不能激起学生对知识的渴求，那么这些解释就将落空。”在高中数学教学活动中，数学问题情境是产生数学概念、发现数学问题、提出数学问题和解决数学问题的背景、前提、基础和条件，只有设计合理有效的数学问题情境，才能激起学生对知识的渴求，才能使学生更好地理解抽象的数学知识，发展学生的数学思维能力。高中数学问题情境是高中数学教学中其它教学情境的载体，其它数学教学情境必须负载在具体的数学问题情境之上才具有数学教学的内在价值，并因此而使高中数学课堂充满生机和活力。

2.高中数学问题情境的创设

高中数学学习是对一个数学新情境的适应，因数学活动的性质不同，高中数学教学中常常需要创设不同类型的数学问题情境。比如，为了让学生形成新的数学认知冲突，唤起对数学新知识的渴望和探求，教师常常需要设置一些障碍性的数学问题情境；为了引导学生发现相关数学问题的特征或内在规律，形成数学概念，教师常常需要呈现一定的背景材料，创设高中数学中相关问题的发现情境；为了让学生围绕如何解决某一数学问题去组织学习，展开数学认知、探究活动，教师常常需要创设问题解决型的数学问题情境。

2.1从问题内容看，创设数学问题情境应注意问题的现实性、激励性和可探索性。

数学问题情境作为组织数学教学的启动器和动力源，将数学教学内容以数学问题的形式融入具体的情境中得以展开，无疑数学问题的质量决定了数学问题情境的教学效力，为此，它特别要求作为情境的数学问题其内容应具有一定的现实性、激励性和可探索性。所谓现实性，要求能从学生的现实生活世界中提取相关素材创设数学问题情境。比如，在“余弦定理”的引入教学中，我创设了如下的问题情境：请同学们考虑下面的问题，数学课代表（称为B）的家距学校（称为A）2500米，数学老师（称为C）的家离学校3500米，问这数学教师和数学课代表的家相距多远？有的同学回答:1000米或6000米，而有的同学不同意，认为BC间的距离不确定。那么究竟谁是谁非，从中我们又可以获得哪些数学启示呢？我画了一个图（如右图），AB=2500m，AC=3500m，这时BC间的距离随角A大小的变化而变化。设BC=a，AC=b，AB=c，第一位同学的回答实际上就是当A=0°时，a=c-b；当A=180°时，a=c+b，为了考察a与b，c，A间的关系，我们再看几个特例：当A=90°时，a=b+c；当A=45°时，作出高CD，利用勾股定理，得a=（b）+（c-b）=b+c=bc；当A=120°，a=b+c+bc；…对上述过程进行归纳，可以得到一般的表示，即有a=b+c+kbc，那么，这里的k与角A有哪些必然的联系呢？通过进一步的分析，引导学生得出k=-2cosA，于是余弦定理呼之欲出。

高中数学教学中问题情境的现实性一方面要求教师考虑问题题材能与时俱进，体现时代特征，另一方面则要求能以学生的实际经验为基础，素材背景必须接近学生的现实生活，因地制宜。有些老师由于没有能注意到这一点，而使得问题情境的效果大打“折扣”甚至产生一些负效应。比如，有的老师不考虑农村学生的实际经验，以按揭购房、房屋装修等充满城市文化气息的素材来创设数学问题情境，必然会使学生摸不着头脑。同样的，类似于鱼塘中的数学、种子发芽率等素材的数学问题情境也让城里的学生感到很遥远。

高中数学教学中问题情境的激励性要求问题情境能紧扣学生的认知冲突，富有问题性和挑战性，而可探索性则要求问题的难度必须适宜，能够立足于不同层次学生的学习实际。例如，在学习“球面距离”时，可借助动画等直观手段引导学生探讨：在通常情况下，大海中的轮船应该沿怎样的航线航行？空中的飞机应该沿怎样的航线飞行？学习用基本不等式求最值时，可引导学生从数学角度看易拉罐:为什么通常把易拉罐设置成圆柱体?它的直径与高的比是否合理?这些问题由于较好地把握了高中学生的数学基础，不仅具有现实性，而且具有激励性和可探索性。可探索性数学问题情境的实质是学生可借助于“脚手架”式的数学问题进行数学认知。如在学习“二项式系数的性质”时，提供比外国人发现早将近600年的“杨辉三角”，然后由学生自己去归纳、总结、发现、提出数学猜想，进而探索其中的奥秘。由于所提供的数学背景含有丰富的数学信息，每个学生都能发现、提出许多问题，且不同的学生会提出不同的问题，因此这样的情境能为每个学生提供足够的探索、研究和发展的空间，使每个学生都能进行“再发现”。

2.2从思维效果看，创设数学问题情境应注意遵循思维发展规律。

没有数学思维，就没有真正的数学学习，数学问题激发学生思维的效果如何，与学生的年龄特征及数学思维的发展特点紧密相关。在高中阶段，学生抽象逻辑思维的成分逐渐加大，创设数学问题情境应当遵循这种思维发展规律，注意运用合理的教学手段，展现数学应有的思想和方法，让学生体验数学思想方法在解决数学问题时的重要作用，学会用数学的思想方法去获取知识。例如，在立体几何“空间的平行直线与异面直线”的教学中，可创设问题情境：“垂直于同一条直线的两条直线互相平行吗？”大部分学生会由原有认知得出结论：“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。”此时，教师可让学生观察教室墙角三条直线的位置关系，学生便会发现自己的观点与现实产生了矛盾。这时学生会继续探索，借助于逻辑思维便可得出“如果三条直线共面，命题成立；如果三条直线异面，则命题不成立”的完整结论。这样，学生不仅能学会直线平行与异面的判别，而且会认识到在平面几何中正确的结论在立体几何中不一定成立，不同环境、不同问题应予以区别对待。为了有益于学生思维的训练，应注意创设有益于学生思维纠偏、反省、顿悟的数学问题情境，特别的，应注意创设一些与学生认知结构不和谐或规律性变化中的某些特殊问题。例如:求函数y=-（x-3）+的最大值，学生肯定能很快回答。若求函数y=-（cosx-3）+的最大值，大多数同学会毫不犹豫地回答“”。又如求函数y=的周期，学生也会脱口而出：因为y==tan2x，所以函数的周期为“”。这时教师通过实时点拨和引导，可使学生认识到答案是错误的，并且积极地分析出错的原因，将有利于学生数学严密性和敏捷性的培养。

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2.3从教学媒体看，创设数学问题情境应注意发挥信息技术优势，凸显数学问题的情境性。

高中数学课程标准倡导的基本理念明确提出注重信息技术与数学课程内容的整合。在传统的教学媒体下，部分数学问题的情境性难以得到有效的再现，而通过发挥现代信息技术的优势，则能部分地弥补这种缺陷，即能使数学问题的情境性（特别是情境的真实性或仿真实性）得到再现。信息技术可以作为计算、作图、数据处理的工具，可以作为信息处理的工具，可以作为多元认知工具，可以展示和发展数学思维。因此，应当充分发挥信息技术的优势，创设有效的数学问题情境。例如，在“抛物线概念”的教学中，我们可以借助信息技术创设如下的问题情境：（1）折线活动：在纸片2厘米处设置点，如下图左，将纸折20到30次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓；（2）观察猜想：众多折痕围出一条抛物线；（3）建立坐标系，画图，发现与y=x很接近；（4）几何画板动态演示折纸过程及抛物线；（5）活动：（如下图右）画3条平行于y轴的直线，折纸，发现结论1：其反射线经过y轴上一定点；（6）几何画板演示这一过程（证明可让学生课后完成）；（7）形成焦点的概念（一组平行于y轴的直线经抛物线反射后汇聚到焦点，由焦点出发的直线经抛物线反射后成一组平行线）；（8）发现结论2：抛物线上的点到焦点的距离等于到纸边的距离，定义准线的概念；（9）师生共同总结形成抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。再例如，为了帮助学生建构“三角函数”的概念，课堂上可利用几何画板创设正弦函数概念的形成过程情境：任意作出一个角的终边，从终边上任意取一点P，度量出点P的坐标（x，y），计算该点到原点的距离，再计算比值，拖动P点改变位置，发现比值不变；再取一个角的终边，进行同样的操作，发现比值仍然不变，但是前后两个比值不同，引起学生的思维冲突，主动调整认知结构，对相关信息进行同化和顺应，这样通过教师与学生、学生与学生相互“协作”，学生在观察比值、动画P点、转动终边的过程中通过“会话”，能逐渐发现比值与终边点的位置无关而与终边的位置有关，最终达到对正弦函数概念的“意义建构”，认识到比值确实是角的函数。

2.4从学生内化看，创设数学问题情境应注意问题情境的多层次性及学生积极参与。

学生的数学学习最终要通过自己才能理解和掌握，教师的任何努力最终要通过学生的内因才起作用。因此，创设数学问题情境必须突出学生的自主参与，强调师生的互动性。而这一点也显然与学生的思维层次有关。根据学生在完成认知任务时的思维水平，学生数学学习有不同的层次，它既与数学问题境材料的性质有关，又和学生的数学思维策略有关。例如，在“直线方程的四种基本形式”的教学中，为了能让所有的学生（包括学困生）都能参与到问题探究中，可以一通过开放题设计成数学问题情境：（1）直线的斜率为2，过点?摇?摇?摇?摇?摇，使得直线的方程为y=2x+1；（2）若直线的方程为y=2x+1，直线应满足什么条件？再如，已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①mn.；②αβ；③nβ；④mα。如果以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，那么，可以得到哪些真命题？由于在这样的数学问题情境中，条件和结论都不是固定的，而是可变的，因此相应的解答就需要学生积极认真地思考、分析、尝试、猜想、论证，显然，这种开放性的数学问题情境有利于学生的积极探索。

2.5从目标方法看，应注意数学意义的丰富性和数学关系的系统性。

创设问题情境的根本宗旨在于培养学生创新意识与实践能力，而不是为了外表的热闹与活跃，思维活、方法活才是真正的活。为此，应善于用结构的眼光看数学，从数学知识的逻辑发展中提出数学问题。例如，立体几何中不仅各节教材内容编排结构很相似，而且各种角与距离的概念也具有很强的结构性与相似性；等差数列与等比数列，椭圆与双曲线，平面向量与空间向量等内容的结构都很相近。根据等差数列的概念与性质，可大胆合理地猜想等比数列的概念与性质；根据椭圆的几何性质，可大胆合理猜想双曲线的几何性质及其研究思路方法；根据平面向量的性质和算法，可完全类推出空间向量的性质和算法。

苏霍姆林斯基说:“在人的心理深处，都有一种根深蒂固的需求，这就是希望自己是一个发现者、研究者与探索者。”适时恰当的问题情境不仅要能满足学生的这一需要，而且应能使数学问题情境，以及所出现的概念拥有丰富的数学意义，更容易构成数学概念关系网络。例如，在学完直线方程的点斜式与两点式后，可以让学生填写下表，并探究如下的问题：（1）对于过点（x，y）且与x轴垂直的直线，也存在相应的方程形式吗？（2）是否存在可表示直角坐标平面上任何直线的方程形式?

“教学有法，但无定法，贵在得法”。高中数学教学，培养学生数学能力，提高学生数学素养是最终目的，创设数学问题情境是为实现数学教育教学目的，特别是一节具体的数学课堂教学目标的一个重要手段。有效的数学问题情境，不仅能形成认知冲突，激发学生的求知欲，拓展学生思维，引导学生继续学习，而且能把教师的教与学生的学有机自然地结合起来，实现师生有效地合作、互动与交流，有利于提高数学教学的质量与水平。

项金项目：江苏省泰州市311培养对象“基础教育阶段学生数学素养构建的理论与实践研究”课题阶段性成果之一；江苏省教育科学“十二五”规划课题“义务教育阶段数学有效教学的深化研究”阶段性成果之一。

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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