中学数学开放题教学及其对策

摘要： 真实的课堂教学必须是开放的。课堂教学是中学一线教师的基本优势，它在一定程度上确证了我们生动的教育现场。本文力图通过扎实有效的个案教学呈现中学数学开放题教学过程及其课堂策略，并通过对教学实践的分析与反思，提炼出具有创新性的教学方法，从而培养学生的良好的思维品质和开放的数学观。

关键词： 课堂教学 开放题 思维能力

长期以来，传统数学教学存在着两种常见的宿弊，一是缺乏开放机制，对教材内容原型的输出，只局限于封闭式传授，没有揭示出其中潜在的动态因素和开放性联系。二是缺乏实践意识，只注重结论，缺乏结论传授过程中思维能力的训练和结论之后的延伸巩固。因此，面对以上状况，必须积极引入开放题加强数学教学的实践性。近年来，本人对中学数学开放题教学进行了一些探索。具体做法分如下三个层次来谈。

一、展示思维过程

真实的数学思维过程是数学教学中最具有教育意义的成份。而数学开放题的精髓就在于注重解答的过程。这个过程实质上就是学生思维过程的体现。目前中学数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记教学结论而设计的，在这种情况下，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向。因而在教学中要适当引入开放题，通过多种不同的解法，或多种可能的解答，充分展示思维过程。如我在教授等腰三角形的性质定理证明时，是这样设计的：

师：请同学们认真观察模具，然后回答看到等腰三角形的什么特性。（学生在观察过程中，教师不断将模具做些变化）

生：等腰三角形的两个底角折叠后可重合。

师：两角重合从大小角度来讲是什么关系？

生：等腰三角形的两个底角相等。

师：请同学们想一想如何证明自己所得的结论？

生：作顶角的平分线，证明两三角形全等（通过观察到的折线直观启发）

师：同学们回答得非常好。（与学生共同完成证明过程后，又问）能不能将这条辅助线变成其它的线？

生甲：作底边上的中线。

生乙：作底边上的高线。（教师肯定学生的回答）

师：请同学们自己用后两种方法证明，并回答这三条辅助线的位置关系如何？

生：互相重合。

师：通过上面大家的证明，同学们不仅懂得了等腰三角形两底角的关系，更重要的是还发现了等腰三角形的“三线合一”的性质。

这样，使学生在朴素的问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，探讨命题的内部关系和规律，进而掌握命题的实质，牵一发而动全身。同时通过学生思维的充分暴露和展示，使教师能够掌握学生思维的进展程度和层次，并作出相应的对策，从而优化整个教学过程。

二、多角度审视命题

开放题相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或者结论不确定。也正因为这样，开放题的解题策略也往往是多种多样的。对于这类问题，我通常通过启发诱导，要求学生多角度审视命题，充分发挥辐射性思维，找出多维结论。下面是我在教学中运用的一个开放题实例。

求证：顺次连接平面四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。

引导学生将本题证毕。（见图）

师：证明本题的关键是什么？

生：作辅助线，即连结四边形的两条对角线。

师：为什么要这样作辅助线？

生：应用三角形中位线定理可证明是平行四边形。

师：这两条对角线有没有什么限制？

生：没有。

师：连结四边中点而得的四边形，若变成矩形，菱形、正方形，两条对角线应该作什么变化？（学生根据上面平行四边形的证明过程，认真思考，讨论，操作后回答）

生甲：两条对角线互相垂直时，是矩形。

生乙：两条对角线相等时是菱形。

生丙：两条对角线相等且互相垂直时是正方形。

师：同学们能证明自己的结论吗？（这时，所有的学生都会迅速模仿本例的证明法去证明，同时老师不失时机地加以指导，从而验证了学生的回答是正确的。教师总结。）

这样通过对结论的穷追不舍，使学生在开放性结论中加强了对问题和知识点的把握，并且使结论不断丰满起来，活跃起来。同时培养了学生发散性和探究性思维能力。

三、迁移延伸结论

数学开放题的一个重要特点和功能是发展性和创新性。在教学中学生对一个命题有了相对结论之后，我往往要求学生趁热打铁，将结论进行顺向迁移延伸，或在由结论而重新设定的情境中寻找新的结论。（如图）

已知ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

教师引导学生证毕此题后，要求学生进一步思考：本结论还能得到哪此结论（用法）？

学生进一步思考后，得出：

1.点P也在第三个角的平分线上。

2.三角形三条角平分线必相交于一点。

3.如何作一点，使其到三角形三边距离相等。

又如对梯形中位线定理的证明（如图），将梯形的中位线转化成某一个三角形的另一边，一定过梯形另一腰的中点，梯形的一个底应在三角形第三边上，得出梯形中位线与三角形中位线的关系：将梯形中位线公式中的上底取O，公式变成了三角形中位线公式。这种开放题的训练，能够引导学生由结论去发现新的结论，从而培养学生去探究新知，探求新的思维方法和创新能力。

几年来的实践证明：数学开放题教学，能引导学生积极参与，使课堂教学充满生机和活力，有利于培养学生的探索能力和创新精神，有利于学生形成全面、深刻的数学观。总之，数学教学向来无定法可循，数学开放题作为一种题型在实践中的效果如何，取决于教师会不会随机活用。只要注意开放题问题开放的适度性与合理性，避免问题所涉及知识的随意性，只要符合教学实际，提高学生的数学思维能力，就一定是行之有效的、好的教学模式。