中学数学思想方法在解决中学物理问题中的应用

数学思想是对数学事实与理论概括后产生的本质认识；在中学数学中，数学思想有集合思想、化归思想、极限思想和对应思想等。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，数学方法有数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。对于中学物理问题，如能恰当地利用数学思想方法，可以获得很好的解题效果。下面探讨在中学物理问题解决中比较重要的几种数学思想方法。

1.数形结合方法

数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决。在物理问题中，也可以借助解析几何中数与形的来展示物理学中的物理量、表达各种现象的物理过程和物理规律。

例1.假设步枪发射子弹时，子弹在枪筒里前进时子弹受到的合力与时间的关系为F=f-kt，且子弹运动到枪口处合力刚好为零。若子弹质量为m，试确定子弹射出枪口时的速度。

解：子弹在枪筒中运动时所受合力为变力，无法直接求变力冲量。依题意可用图1所示阴影部分“面积”表示合力冲量大小。

由动量定理，

得 •f• =mv-0

因此v=

例2.用铁锤将木桩打入泥土中，如果泥土对桩的阻力与桩进入泥中的深度成正比，在铁锤打击第一次时，木桩进入的深度为10厘米，若铁锤仍以第一次相同的速度打击木桩，问能把桩再打进多深？

解：桩所受的摩擦力f与进入泥土深度x成正比，则f=kx，可得图2中阴影部分面积表示桩进入过程中摩擦力做的功。

依题意：两次打桩后，桩进入泥土过程中初、末速度相同，由动能定理可知摩擦力在两段过程中所做的功相等。

可得Vx=4.1cm即为桩第二次打入的深度。

2.函数法

函数法是指用函数的观点、方法，去观察分析运动变化过程中的变量间的关系，揭示规律，建立函数关系，从而运用函数知识解决问题的方法。

例3.如图3所示，n摩尔的某种理想气体沿直线AB由A态变化到B态，P 、V 、P 、V 为已知，试问在直线上哪一点温度最高？等于多少？

解：由解析几何知：

= ，

可得PV= •V- •V 。

因为PV=nRT，

所以T=- V + V。

令a= ，

b= ，

显然a＞0，

则得函数T=-aV +bV（V ＜V＜V ），

由一元二次的知识得T = 。

3.化归思想

化归思想是指人们在解决数学问题时，常常是将要解决的问题A通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，通过对问题B的解决可得原问题A的解答。化归的基本功能是生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间的相互联系、相互制约的观点看待问题，对所要解决的问题进行变换、转化，使问题得以解决。

例4.在空间某点以同样的速率V在铅直平面内沿各个不同的方向同时抛出几个物体。证明这些物体在同一时刻总是散落在同一圆周上。

证明：以抛出点为坐标原点，在竖直平面内，建立水平，竖直方向的直角坐标系，对于某任意方向的抛射角有：

x=V cosθ•t（1）

y=V sinθ•t- gt （2）

消去参数θ得：

x +（y+ gt ） =（V t）

因此，各物体正处在以（0， gt ）为圆心，半径为V t的圆上。

4.极限思想

极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。它不仅包括极限过程，而且完成了极限过程。

例5.铁夯从高处落下时将一钢桩砸入地中，设地对钢桩的阻力与桩进入地深度成正比，而夯每一次将桩打入地的深度远小于夯落下的高度，若夯第一次将桩打入地中10cm，以后连打8次，桩在后8次打击下进入地多少厘米？

分析：题设中阻力是变化的。功是力在空间中的积累，若变力与位移的关系函数为F=F（S），则变力做功可采用极限求和的方法求得（如图4）。

用任意组分点将区间［a，b］分成n个S的小区间，其中S 小区间（i=1，2……n）内力可以看作是恒力F（S ），在这一小区间内所做的功dW=F（S ）S 即为图中斜线部分面积，整个过程中变力所做的总功近似为W≈ F（S ）VS ，其中准确值为W=F（S ）VS ，

即W的数值为F（S）曲线与X轴所围的面积，因此上题可做下解（如图5）。

设A 和A 分别为铁夯第一次和后八次砸钢桩所做的功，A 为OB C 的面积，A 为梯形B C C B 的面积。则

A = f X = （KX ）X = KX

K=tan∠B OC

A = （f +f ）X

= X

= K（2X +X ）X

根据题意，铁夯每次对钢桩做功相同，由A =8A 。

K（2X +X +（X ） ）=8× K（X ） ，

所以X =20cm。

即：后8次打击，钢桩进入地20cm。

从上可以看出，中学物理教学中，教师应该有意识地运用数学方法，这不仅有利于物理教学，而且对于培养学生解决物理问题的能力也是有益的。

参考文献：

［1］任志东.函数思想与中考解题.数学讲坛，2007，（z3）.

［2］许青林.中学数学化归思想及其应用.吕梁高等专科学校学报，2007，（01）.

［3］白淑珍.对极限思想的辩证理解.中国校外教育下旬刊，2008，（02）.

［4］毕保洪，贺家兰.中学教与学，2007，（01）.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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