浅析物理量的相互依存和制约关系

摘要： 解答有关运动学的问题，一般是选用适当的公式或推论解题。如果题目涉及不同的运动过程，则重点要寻找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系。在解决这类问题时如果能够理清物理量之间的依存和制约关系，会使问题变得简单易解。本文主要探讨如何理清运动学的三个物理量的依存和制约关系，训练学生的思维变通能力。

关键词： 运动学 物理量 规律

运动学中最重要的物理量是位移s、速度v和加速度a，描述物体的运动状态时，这三个量既相互依存又相互制约。位移s、速度v和加速度a在某一个量取特定值时，另一量恰好取极值，这一量的特定值又给求另一量的极值提供了条件。分析理清三个量的依存和制约关系，准确识别极值条件，正确求出极值，有利于锻炼学生的洞察力，训练思维变通能力。下面笔者就以具体问题来进行说明。

1.在速度取特定值时位移有极大值

例1.一列火车在平直的轨道上以v=36m/s的速度运动，当火车刹车后以a=4m/s 的加速度做匀减速运动，求10s内火车前进的位移是多少？

错误解答：本题如果不假思索就按s=v t- at 进行求解，则有：

s=36×10- ×4×10 =160（m）。

这个解答是错误的，原因是刹车后火车没有向前运动10s钟就已经停下了。所以，这里速度为零，即v =0，是速度的特定值，在速度为零时，火车就停下来了，位移达到最大值。

正确解答：根据题意有：v =v -at，s=v t- at 。

代入数值有：0=36-4t，求得t=9s。

代入后面的方程有：s=36×9- ×4×9 =162（m）。

这道题是在时间上设下“陷阱”，速度取特定值（零）是识破“陷阱”的关键。

2.在速度取特定值时加速度有极大值

例2.如图1所示，质量为m的带电量为q的小球，在倾角为θ的足够长的摩擦系数为μ的斜面上自由滑下，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向向外，求小球在斜面上的最大加速度？

解析：小球滑动后受到四个力的作用，如图1所示。沿斜

面方向的加速度为：a= ，

又有N+qvB=mgcosθ，

得到：a= 。

从该式可见，当速度v增加时，加速度a也增加。

当v= 时，a=gsinθ。以后小球将离开斜面。

可见N=0，v= 是加速度a取极大值的条件，

加速度的极大值为：a=gsinθ。

3.在加速度取特定值时速度有极大值

例3.一宽度为L的足够长的“U”形金属框架，竖直放在磁感应强度为B的匀强磁场中，如图2所示。整个装置除固定电阻外，其它部分的电阻不计。当质量为m的均匀导体棒ef与框架良好接触没有摩擦地自由下落的过程中，其最大速度为多少？

解析：导体棒在下落开始时只受地重力作用，但当它有了速度后，框架和棒组成的回路中就有感应电流产生，由右手定则可知，棒中的电流方向是由e到f，所受安培力的方向竖直向上，则导体棒此时要受到两个力的作用了。根据牛顿定律有：

mg-BIL=ma，得到：a= （1）

由电磁感应定律有：E=BvL，

则感应电流为：I= （2）

从上面两式可见，随棒的下落速度的增大，感应电流增大，而感应电流增大则加速度减小。在加速度a=0时，速度v不再增大。所以这个问题是以在加速度a=0的特定值，来求得速度的最大值。由上面的式子解得：v = 。

这个问题如果变化，如果金属框架与水平面有一个夹角，或磁场的方向与水平面有一个夹角，无论条件如何，加速度a=0时，速度v为最大的条件是不会变的。即所谓“抓住不变，可应万变”。

4.加速度和速度互求极值的条件

例4.质量为m带正电荷电量为q的小环，沿着穿过它的竖直足够长的绝缘杆下落，环与杆间的摩擦因数为μ，整个装置处在如图3所示的电磁场中。求小环下落的最大加速度和最大速度？

解析：小环只要开始下落后就要受到四个力的作用，重力mg、电场力qE、洛仑兹力qvB和摩擦力f，受力情况如图3所示。由牛顿第二定律有：

mg-f=ma?摇?摇f=μ（qE-qvB）

则有：a=

由于有加速度a，速度v会增加，速度v增加，加速度a也增加，小环做加速度越来越大的变加速运动。当qE-qvB=0，即v= 时，加速度a有极大值，a =g。v再增大，qE-qvB＜0，N的方向改变，f的方向不变，此时加速度a= ，只要有加速度a存在，速度v就增大，而在这种情况下，v增大a减小，小环作加速度越来越小的变加速运动，当a=0时，速度v不再增大，取极大值。

由mg-μ（qE-qvB）=0得到：v = 。

从这个例题看到，加速度a和速度v互为极值条件，揭示了a、v之间联系的丰富内涵和复杂的制约关系。揭表透里，抓住精髓，能够锻炼思维的判断性。

从前面几例中可以看到一些特殊条件的因果关系，判断在什么情况下某量的特殊值怎样成为另一量取极值的因，执因导果，领略新意，就能够磨练洞察力，学会变通思维，锻炼创造能力。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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